suites récurrentes et hérédité

bonjour à tous !
voilà j'ai un exercice sur les suites récurrentes mais je n'ai jamais eu aucun cours dessus , et voilà qu'on me demande :

montrer que Q(n) : 1+3+5+...+(2n-1)=n² est héréditaire
montrer que 5^n-1 est multiple de 4
montrer que 5^n+1 est multiple de 4

quelqu'un pourrait m'indiquer les marches à suivre s'il vous plait ?

merci d'avance !

Bonsoir et bienvenue au sein du forum! J'espère que celui te sera agréable et que tu trouveras ce que tu es venu y chercher.

Alors pour commencer un peu de vocabulaire:

Dire qu'une propriété P(n) est héréditaire c'est simplement dire que si je suppose que P(n) est vraie alors P(n+1) est vraie.

On retrouve la définition du langage français d'ailleurs du mot "hérédité" car il y a bien la notion de passage à la génération suivante (la génération étant représentée par n en mathématiques).

Est-ce qu'avec cela, tu pourrais montrer la première question?

Pour le raisonnement par récurrence, il s'agit simplement de définir pour un n donné, une propriété P(n) puis ensuite, il faut montrer que celle-ci est vraie pour le premier rang qu'on souhaite avoir (le plus souvent c'est P(0) mais ça peut être P(1) aussi ou un autre rang ou encore plusieurs rang). Ensuite, il faut savoir si en plus d'être vraie pour les premiers rang elle est vraie tout le temps et c'est le caractère héréditaire qui va nous donner cela.
Le raisonnement par récurrence se limite donc à ceci:

""""Si c'est vrai pour le départ et si c'est héréditaire, alors c'est vraie tout le temps""""""

C'est très informelle ce que j'ai écrit mais c'est en tout as l'idée qu'il y a derrière.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

bonsoir ,
tout d'abord merci pour ta réponse, et désolée du temps que j'ai mis à la lire,je n'ai pas pu aller beaucoup sur internet ces derniers jours...

pour la première question,j'ai demandé des précisions à mon prof de maths , et j'ai réussi, malgré tout c'est pour les deux dernières que je n'y arrive pas

alors j'ai essayé de faire pour n=0
5^0-1=1-1=0
et 5^0+1=1+1=2

mais ça ne m'avance pas beaucoup ,je peux en déduire que deuxième est un multiple de 4 alors que la première non ?

Bonjour,

En effet, pour n=0, les deux expressions ne sont pas des multiples de 4. Car je rappelle qu'un multiple de 4 est un nombre qui s'écrit 4*k avec k un entier.

Du coup, qu'est-ce que cela signifie concrètement? Et bien simplement que ce que tu veux démontrer n'est pas valable pour n=0. Il va donc falloir chercher la valeur de n pour laquelle la propriété est vraie. Pour cela on teste le plus souvent n=0, n=1 et n=2. Car si ce n'est pas l'un des trois, tu devrais être guidé par l'exercice à ce moment là.

La première chose est donc de rechercher l'initialisation du raisonnement par réccurrence pour les deux propriétés. Ensuite, tu supposeras que la propriété est vrai au rang n c'est à dire qu'il existe un entier k tel que 5ⁿ-1=4*k. Et tu cherchera à démontrer qu'il existe un autre entier p (par exemple) tel que 5ⁿ⁺¹+1=4*p.

Est-ce que le raisonnement te semble plus clair ainsi?

Bon courage et ne t'inquiète pas pour le "retard", il faut travailler à son rythme tout simplement.