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 les suites

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Aroline



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MessageSujet: les suites   Sam 2 Oct - 20:04

Bonsoir,
j'ai besoin d'aide pour deux exercices que je dois rendre lundi :

Exercice 1 :
Démontrez par récurrence la propriétés suivantes, pour tout entier naturel n different de 3, 2n superieur ou égal à n²
(indication : on pourra montrer cette propriété pour les entiers n supérieur ou égal à 4, puis pour les autres.

Voilà ce que j'ai commencé à faire :

Pour tout entier naturel n different de 3 on a P(n) = 2n supérieur ou égale n²
Initialisation : l'inégalité 2n supérieur ou egale à n² est vrai lorsque n = 0, les deux membres sont alors égaux à 0.
Transmission : supposons que P(n) est vrai pour un certain entien n different de 3 et ensuite je suis completement bloquer et je ne sais pas comment faire intervenir l'indication j'ai vraiment besoin d'aide

Exercice 2 : (un) est la suite définie par u0=1 et un+1= (un+1)/(un+3 pour tout entier natural n.
1. démontrer que pour tout n, 0 inférieur ou égal à un inférieur ou égal à 1
Voilà ce que j'ai fait :
démontrons par récurrence la double inégalité, pour tout n appartient à N, on a P(n) = 0 inférieur ou égal à un inférieur ou égal à 1
initialisation : montrons que p(0) est vraie
Ceci est vraie pour n = 0 car u0 = 1 donc 0 inférieur ou égal à u0 inférieur ou égal à 1
Transmission : supposons que pn soit vraie pour un certain entier n donc 0 inférieur ou égal à un inférieur ou égal à 1
et là je suis encore bloquer, merci d'avance pour votre aide
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: les suites   Sam 2 Oct - 22:08

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

La date d'échéance de l'exercice importe peu en mathématiques. Le but réside surtout dans la compréhension des choses et non dans la résolution brute des exercices.

Par conséquent je vais m'arrêter dès le début de ta rédaction. En effet, il y a une erreur de fond très grave dès la première étape de ta récurrence:

Citation :
Pour tout entier naturel n different de 3 on a P(n) = 2n supérieur ou égale n²

Si tu écris cela tout ce qui suit n'a aucun intérêt. Pourquoi? Car tu viens d'écrire que tu supposais le résultat P(n) vraie pour tout entier n différent de 3. Par conséquent, tu suppose exactement ce que tu souhaites démontrer ce qui est absurde en quelque sorte.

Est-ce que tu comprends l'erreur que tu as faite? Pour te donner un parallèle avec un autre domaine, c'est comme si tu me disais: "Je suppose que x=1. Démontrons que x=1". Tu ne m'aurais jamais écrit cela je pense et pourtant en écrivant le début de ton raisonnement par récurrence c'est presque cela que tu as écrit.

Donc, on commence le raisonnement plutôt ainsi:

Soit un entier n différent de 3, on pose P(n): "2n supérieur ou égale n²"

On se donne un entier n quelconque et on définit une propriété qui dépend de n qu'on note P(n). Le but est de démontrer que cette propriété est vraie pour toutes les valeurs de n différentes de 3. En conséquence de quoi on ne peut pas définir cette propriété pour tout n car on ne sait pas encore qu'elle est définie pour tout n justement. De plus, une propriété n'est pas égale à quelque, c'est quelque chose. Donc on n'écrit pas "P(n)= ...."; on définit P(n) de la manière suivante: P(n) : "....". La propriété est ce qu'il y a entre les guillemet tout simplement.

Je préfère être un peu dure dans l'explication mais c'est vraiment fondamentale. Vu qu'on effectue une démonstration, les hypothèses sont donc capitale et sans appel. Il faut être rigoureux sur celle-ci.

Est-ce que ceci est plus clair maintenant au niveau de la démarche initiale d'un raisonnement par récurrence?

Ensuite, dans le raisonnement lui-même, il y a un soucis de compréhension je pense. En effet, tu souhaites démontrer que quelque chose est vrai pour des entiers différent de 3. Le raisonnement par réccurence lui nous permet à partir du moment où on a intitialisé de démontrer que c'est vrai pour toutes les valeurs de n supérieures à la valeur initiale.

Donc tu initialises pour n=0 pourquoi pas. Mais le soucis réside dans la suite. En effet, tu cherches à montrer l'hérédité à partir de n=0. Or ce n'est pas possible vu que pour n=3, on te dit que la propriété est fausse! Donc, on ne peut pas commencer la démonstration par récurrence à n=0.

Est-ce que tu comprend pourquoi ce n'est pas logique? Et du coup, l'indication de commencer la démonstration à n=4 est-ele plus claire pour toi?

Je te laisse déjà réfléchir sur cela et essayer de bien comprendre le raisonnement par récurrence à partir de cette base là avant d'entamer l'exercice suivant. D'ailleurs, le plus simple serait que tu ouvres un autre sujet pour l'exercice suivant cari l est d'un autre type même s'il utilise le raisonnement par récurrence.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

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Aroline



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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 7:34

Merci beaucoup tout ceci est deja plus claire, voilà ce que j'ai fait maintenant :

soit une entier n different de 3, on pose P(n) = 2n supérieur ou egale à n²
initialisation : montrons que P(4) est vraie
24=16 et 4² = 16
donc P(4) est vraie
Transmission : supposons que P(n) soit vraie pour un certain entier n appartient à N sauf 3 on a donc P(n) = 2n supérieur ou egale à n²
montrons que P(n+1) est vraie autrement dit que 2n+1supérieur ou égale à (n+1)²

ensuite je n'y arrive pas pouvez vous me montrez un exemple de transmission pour que j'arrive à faire l'autre exercice ?
merci d'avance
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 11:09

Bonjour,

C'est déjà plus cohérent en effet. P(n): "2n supérieur ou égale à n²" serait un peu plus rigoureux mais ce que tu as écrit reste cohérent ce qui est déjà beaucoup mieux.

Ensuite, nous commençons donc à n=4 la récurrence qui est bien vérifié. Après pour démontrer l'hérédité de cette propriété à partir de n=4, il faut en effet supposer pour un entier n>3, P(n) vraie et démontrer que P(n+1) est vraie.

Alors maintenant comment avoir des idées? Déjà essayons de voir ce qu'on doit démontrer exactement c'est à dire qu'il faut expliciter P(n+1). Que doit-on démontrer?

On doit démontrer une inégalité c'est à dire que la différence est positif par exemple. Cela sera peut-être plus simple à voir ainsi.

Je te laisse déjà avancer avec cela mais n'hésite pas si tu as des questions.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 12:52

je comprend un peu mieux le principe de la récurrence.
Mais j'en suis toujours au meme point c'est à dire "montrons que P(n+1) est vraie autrement dit que 2n+1 supérieur ou égale à (n+1)²
ensuite je developpe 2n+1 supérieur ou égale à n² + 2n +1
et que dois-je faire par la suite ?
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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 16:21

Bonsoir,

C'est en effet ce qu'on doit montrer mais cela revient aussi à montrer que 2n+1-(n+1)² est positif ou nul. Et ceci sachant qu'on suppose que 2n est supérieur ou égal à n².

Le but est donc de minoré l'expression: 2n+1-(n+1)². As-tu des idées?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 16:29

bonsoir,
a vrai dire, je suis completement perdu car mon prof de math nous a donné ce dm comme rappel cependant je n'ai pas eu le temps de voir les suites l'année derniere et je ne sais ce que veux dire "minoré".
Merci pour votre aide et une fois que j'aurais compris le fonctionnement de la transmission, tout sera plus claire.
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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 17:01

En fait, la transmission est propose à chaque récurrence et il y autant de récurrence que de propriétés possibles. Ainsi, il faut à chaque fois regarder par rapport à notre propriété.

"Minorer" cela signifie "chercher quelque chose de plus petit"

Ainsi, n² minore 2n par hypothèse de récurrence car 2n>n² tout simplement.

Maintenant, 2n+1-(n+1)² >____ ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 17:46

2n+1-(n+1)² > (n+1)²-2n
est ce juste ?
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MessageSujet: Re: les suites   Dim 3 Oct - 17:52

C'est juste mais le but c'est de démontrer que notre quantité est positive, je ne vois pas très bien comment tu vas avancer à partir de là.

Comment pourrais-tu utiliser l'hypothèse de récurrence à partir de 2n+1, par exemple?

Bon courage!

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