Démonstration de l'inégalité triangulaire nombre complexes

Bonjour,
Je ne comprends pas la démonstration de l'inégalité complémentaire de l'inégalite triangulaire ||z| - |z'|| < | z+z'| (< étant un inférieur ou égal).

J'ai compri |z+z'| < |z| + |z'| (< étant un inférieur ou égal).
Le prof dans le cours admet que grâce à |z+z'| < |z| + |z'| on peut dire que
z= z + z'-z' <=> |z|< |z+z'| + |-z|

Et donc d'ici jusqu'à la fin je ne comprends plus la démonstration.

Merci d'avance

Bonjour,

En fait, tu as démontré que |z+z'|<|z|+|z'|

Maintenant, on sait que z=z+z'-z' (en effet j'ai ajouté 0=z'-z' tout simplement).

Deux nombres complexes égaux implique l'égalité des modules. Par conséquent, on a:

|z|=|z+z'-z'|

Maintenant, si je regroupe les termes ainsi z+z'-z'=(z+z')+(-z'), on a:

|z|=|(z+z')+(-z')|

Si on applique l'inégalité triangulaire au membre de droite avec pour premier terme z+z' et pour deuxième terme -z', on a bien: |z|<|z+z'|+|-z'|

Or |-z'|=|z'| (je te laisse revoir cette propriété)

On a donc montré que |z|-|z'|<|z+z'|

Et nous cherchons à démontrer que | |z|-|z'| | < |z+z'| <=> -|z+z'|<|z|-|z'|<|z+z' (j'utilise simplement la définition de la valeur absolue là).

Est-ce que maintenant, tu pourrais conclure?

Bon courage!|