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 dériver une fonction auxiliaire

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chiquita17



Nombre de messages : 2
Localisation : Vienne
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MessageSujet: dériver une fonction auxiliaire   Dim 24 Oct - 14:53

Bonjour à tous (:

Je suis en train de faire mon DM et je bloque déjà sur la première question :/

Pour l'étude des variations d'une fonction, il arrive que l'on ne puisse pas étudier directement le signe de la dérivée: il est alors demandé d'étudier une fonction auxiliare liée à cette dérivée afin d'en déterminer le signe.

Soit la fonction f définie sur ]0;+infini[ par f(x)= x - 6 + [(12x + 9)/x^2]

1) f' étant la fonction dérivée de f, calculer f'(x) sous la forme d'un quotient.
Justifier que f'(x) a le même signe que x^3 - 12x - 18.

Alors, j'ai commencé par mettre la fonction f sous forme de quotient et je trouve f(x)= (x^3 - 6x^2 + 12x + 9)/x^2

La fonction est donc de la forme u/v avec:
u(x)= x^3 - 6x^2 + 12x + 9
u'(x) = 3x^2 - 12x + 12

v(x) = x^2
v'(x) = 2x

En utilisant la formule (u'.v - v'.u)/v^2 je trouve:
(x^4 + 12x^2 - 18x)/x^4

Or ce que je trouve en numérateur, n'est pas le résultat démande (x^3 - 12x - 18).
Où est alors ma faute?

Merci de me répondre Wink
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Dim 24 Oct - 17:23

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

En effet, lors de l'étude d'une fonction, l'une des principale difficulté est de trouver le signe de la dérivée pour en déduire les variations de la dite fonction. Après la recherche du signe de la dérivée est des fois un exercice en soi car il va falloir faire l'étude de la fonction dérivée pour déduire son signe en utilisant ses variations. C'est pour cela qu'il faut étudier une fonction auxiliaire qui n'est autre le plus souvent que la fonction dérivée.

Mais dans tous les cas, on commence bien sûr par calculer la fonction dérivée sur le domaine de dérivation de la fonction. Je te conseille donc dans un premier temps de ne pas oublier que la fonction initiale tout comme la fonction dérivée ne sera pas définie sur R mais sur ]0;+Inf[. Donc nous avons comme hypothèse, x>0.

Ensuite, ta démarche pour calculer la dérivée m'a l'air juste mais le résultat est en effet faux dû à une erreur de signe. Pourrais-tu détailler tes calculs intermédiaires pour que je puisse visualiser l'erreur?

Pour conclure, il faudra simplement simplifier le quotient pour le rendre irréductible.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

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chiquita17



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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Dim 24 Oct - 18:12

Merci de me répondre (:

f'(x) = [(3x² - 12x + 12)*x² - 2x*(x^3 - 6x² + 12x + 9)] / x^4

f'(x) = [3x^4 - 12x^3 + 12x² - 2x^4 + 12x^3 - 24x² - 18x] / x^4

f'(x) = [x^4 - 12x - 12x² - 18x] / x^4

Je ne vois absolument pas d'erreurs :/
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Dim 24 Oct - 20:04

En effet, ton erreur est dues à la recopie sur le forum tout simplement car tu écrivais ceci:

Citation :
En utilisant la formule (u'.v - v'.u)/v^2 je trouve:
(x^4 + 12x^2 - 18x)/x^4

Alors que là, dans ton détail, tu as bien un signe "-" qui apparaît devant le terme en x².

Tu arrives donc à l'expression suivante:

Pour tout x>0, on a: F'(x)=(x4- 12x² - 18x)/x4

Est-ce qu'il ne serait pas possible d'effectuer une factorisation du numérateur? Si 'est le cas, effectue cette factorisation et conclut pour cette première question du coup.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

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Vanitas



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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Dim 21 Nov - 15:56

Bonjour, j'ai exactement le même exercice et je bloque également dessus.
Malheureusement je n'ai pas compris les explications puisque je n'ai pas trouvé la même dérivée que chiquita17.

J'ai donc f(x) = x - 6 + [(12x + 9)/x²]

u = 12x + 9 u' = 12
v = x² v' = 2x

f' (x) = 1 + [(12*(2x) - (12x + 9)*2x)/(v²)²]
f' (x) = 1 + [(24x - 24x& + 18x)/x^4]
f' (x) = 1 + [(24x² + 6x)/x^4]

Je suis donc très éloigné de la solution que je suis censé trouver, à savoir x^3 - 12x - 18 ..

Où est mon erreur ?
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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Dim 21 Nov - 16:12

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Il y a une erreur dans ta dérivée dès la première ligne en fait:

Citation :
f' (x) = 1 + (12(2x) - (12x + 9)*2x)/(v²)²]

Tu utilises deux fois la dérivée du dénominateur ce qui n'a pas de sens en soi. Je te laisse donc corriger cela dans un premier temps.

Puis dans un deuxième temps, le but serait de mettre tout sur le même dénominateur pour mieux visualiser les choses surtout qu'on sait déjà que le dénominateur est strictement positif ce qui permet donc de n'avoir que le signe du numérateur à regarder à ce moment là.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

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Vanitas



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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Dim 21 Nov - 16:35

J'ai corrigé mon erreur, j'arrive donc à ce résultat :

f'(x) = [(-12x² - 18x)/x^4]

Je n'arrive pas à aller plus loin dans mon calcul pour atteindre le résultat demandé.
De plus je n'ai pas inclus le 1 dans mon calcul, le résultat ci-dessus est seulement la dérivée du quotient.
Je ne me souviens pas comment tout mettre au même dénominateur .

Enfin une dernière question, je ne vois pas d'où va sortir le x^3 dans la dérivée finale !

Merci beaucoup pour les réponses, ayant beaucoup de lacunes en maths c'est vraiment utile de obtenir des explications avec des profs en dehors du lycée sans pour autant aller payer 30€ de l'heure.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Mar 23 Nov - 19:37

Bonsoir,

Désolé pour le décalage de la réponse. Comme tu le précises, il manque une partie de la dérivée, ce que tu proposes n'est pas F'(x) mais une partie de F'(x).

En tout cas, la dérivation du quotient est en effet, plus juste. Il s'avère par contre, que sans l'autre partie la mise au même dénominateur risque d'être difficile. Tu vas voir apparaître le polynôme qu'on te propose lorsque tu auras réduit au même dénominateur et que tu auras simplifier la fraction que tu obtiens.

Le but est d'y aller par étape et de ne pas chercher à faire apparaître le résultat mais plutôt de faire en sorte que tout reste cohérent et à ce moment là le résultat apparaîtra de lui-même.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dériver une fonction auxiliaire   Aujourd'hui à 4:06

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