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 étude d'une fonction rationnelle

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tono



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MessageSujet: étude d'une fonction rationnelle   Sam 30 Oct - 15:49

Bonsoir a tous , quelques difficultés pour mon DM ... voici l'énoncé ;

On considère la fonction f définie sur ] - 1 ; + l'infini [ par
f(x) = x3 + 2x² +4 / (x+1)²
C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O;i;j ) d'unité 2 cm.
a) Montrer qu'il existe 3 réels a, b, et c tels que pour tout x de ] - 1 ; + l'infini [, f(x) = a*x + b/(x+1) + c/(x+1)²
Comment je démarre ?


Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 30 Oct - 17:59, édité 1 fois (Raison : mise en forme)
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Sam 30 Oct - 18:02

Bonsoir,

Dans un premier temps, on peut constater que la fonction est bien définie vu que sur l'ensemble que propose l'énoncé, le dénominateur de la fonction ne s'annule pas. C'est déjà une bonne chose après tout.

Sinon, pour ce qui est de la question, le but est de montrer une égalité. À partir de là, nous savons que dans une égalité, il y a deux membres et que par conséquent soit on considère le membre de gauche puis par des manipulation on arrive au membre de droite soit on considère le membre de droite et par des manipulation on arrive au membre de gauche. Les deux possibilités sont viables mais je te conseillerai de partir du membre de droite pour retrouver l'expression de F(x).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Sam 30 Oct - 18:12

je pense qu'il faut que je mette l'expression au même dénominateur .
dONC f(x) = a*x + b/(x+1) + c/(x+1)²
f(x) = ax²/(x+1)² + b²/(x+1)² +c/(x+1)²
c'est ca ?
et après silent pale
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Sam 30 Oct - 19:01

Il y a un soucis de fond et de forme là.

EN effet, nous ne savons pas encore que F(x)=a*x + b/(x+1) + c/(x+1)². donc on ne peut pas écrire cette égalité là.

On écrira donc: a*x + b/(x+1) + c/(x+1)² = ax²/(x+1)² + b²/(x+1)² +c/(x+1)² si je réécris ce que tu proposes.

Et là, c'est le problème de forme, en effet, comment mets-tu au même dénominateur par exemple 1/2 et 1/(x+1) ?

Je te laisse reprendre tes calculs.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 17:13

1/2 + (x+1) +1 / (x+1) ???
donc ax² +b² +c / (x+1) ² c'est ca ? et après ?
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 18:32

Hmmm, il va falloir réviser les calculs fractionnaires car tu risques très gros à être approximatif surtout en mathématiques.

a) Comment calculerais-tu 1/3 + 1/4 ?
b) Comment calculerais-tu 1/x + 1/2 ?
c) Comment calculerais-tu 1/(x+1) + 1/5 ?

Maintenant, essaie de reprendre ton exercice, si les trois questions précédentes te semblent acquises.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 18:37

b/(x+1)= b(x+1)/(x+1)² ?
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 18:41

donc réduction au même dénominateur =ax(x+1)²/(x+1)² + b(x+1)/(x+1)² + c(x+1)²/(x+1)²
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 18:49

C'est déjà plus cohérent ! Sauf pour le dernier terme car c était déjà sur (x+1)².

Alors maintenant si on additionne le tout, on arrive à l'expression suivante: [ax(x+1)² + b(x+1) + c] / (x+1)²

Maintenant, on sait que a/d=b/d <=> a=b

En conséquence, de quoi, on ne s'intéresse plus qu'au numérateur qu'on va essayer de développer et de réduire pour faire une identification avec le numérateur de l'expression F(x).

Est-ce que la démarche te paraît claire maintenant?

Je te laisse faire cette dernière étape pour conclure cette première question.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 18:58

ok donc numérateur =ax(x+1)² + b(x+1) + c
développer = ax(x²+1) + bx + b + c = ax3 +ax +bx +b +c ?
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 19:26

Ok, on peut factoriser un peu les choses pour mettre en évidence le coefficient du terme en x pour faciliter l'identification des termes avec l'expression de F(x).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 19:32

développer = ax(x²+1) + bx + b + c = ax3 +ax +bx +b +c
factoriser = x(ax² +b + ?)
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 19:43

Hmmmm,

Je parlais de factoriser les termes en x et non tous les termes. Nous cherchons à effectuer une identification pour conclure, je te le rappelle.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 31 Oct - 19:47

développer = ax(x²+1) + bx + b + c = ax3 +ax +bx +b +c
= x(ax²+a+b) ??
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Lun 1 Nov - 10:23

Bonjour,

Prenons les choses autrement car j'ai l'impression qu'il y a une incompréhension entre ce que je demande et ce que j'attends exactement.

À partir de la forme qu'on avait sans factorisation. Maintenant, le but est de dire qu'il faut que ce numérateur là soit égal au numérateur de F(x) et on procède donc à une identification.

Comment effectuer cette identification du coup?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Ven 5 Nov - 19:42

ax(x²+1)+bx+b+c=(a+b)x+b+c

après je fais comment ? Peut-tu me l'avancer stp car mon DM est pour lundi et j'en suis qu'à la 1ère question Crying or Very sad Crying or Very sad Crying or Very sad
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Sam 6 Nov - 14:01

Bonjour,

L'égalité que tu as écrite n'existe pas. En effet,à gauche, tu as un terme de degré 3 alors qu'à droite le terme de plus haut degré n'est que de degré 1.

En revanche, on arrive bien au fait que le numérateur est bien égal à a*x*(x+1)² + b*x + b+c= a*x*(x² + 2*x + 1) + b*x + b+c

Ensuite, on cherche les valeurs de a, b et c telles que [a*x3 + (a+b)*x + b+c] / (x+1)² soit égal à F(x) pour toutes les valeurs de x.

Il s'avère que cette égalité revient en fait à chercher les valeurs de a, b et c telles que a*x*(x² + 2*x + 1) + b*x + b+c = x3 + 2x² +4

Je te laisse avancer à partir de là. Il s'agit d'effectuer une identification simple après avoir développer l'expression de droite. C'est un classique qu'il faut absolument savoir faire lors d'une étude d'une fonction rationnelle.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 7 Nov - 14:45

Terme en x^3 : à gauche : a x^3, à droite 1. x^3 donc a vaut 1
Terme en x² : à gauche 2 a x², à droite 2 x² donc 2a = 2
Terme en x : à gauche (a+b) x, à droite zéro, donc a+b = 0
Terme constant : à gauche (b+c), à droite 4 donc b+c=4

C'est ca ?
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MessageSujet: Re: étude d'une fonction rationnelle   Dim 7 Nov - 19:27

Bonsoir,

C'est tout à fait ça. Tu peux donc déduire les valeurs de b et c connaissant celle de a qu'on déduit directement comme tu le constantes.

Bon courage!

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