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 Fonction logarithme népérien.

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Buckethead8702



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MessageSujet: Fonction logarithme népérien.   Mar 30 Nov - 15:57

Bonjour à vous ! Je viens à nouveau faire appel à vous afin que vous puissiez m'aider du mieux que vous puissiez.
Voici l'énoncé de l'exercice :
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +infini[ par : f(x)= 1/2(lnx)² + ex - e

1) Soit x appartenant à ]0 ; +infini[. Vérifier que f'(x) = g(x) (avec g(x)= (lnx)/x + e
2) Determiner les limites en 0 et +infini
3) Dresser le tableau de variation de f
4) Determiner une equation de la tangente C à Cf en son point d'abscisse 1. Préciser la position de Cf par rapport à C
5)Tracer C et Cf

Voilà, alors pour la 1), j'ai trouvé, il y a aucun soucis !

Pour la 2) : lim f(x)= +infini (quand x tend vers +infini)
lim f(x)= +infini (quand x tend vers 0, avec x>0)

Pour la 3) : J'ai pris l'expression de g(x) comme dérivée de f(x).
J'obtiens alors sur ]0 ; 1[ une courbe décroissante car g(x) est négatif.
Et j'obtiens une courbe croissante sur ]1 ; +infini[ car g(x) est positif.

Pour la 4) C'est là que j'ai besoin de votre aide, j'ai vraiment du mal pour determiner une équation de tangente... !

Pour la 5) ce ne sera pas vraiment un problème, on me donne toutes les echelles.

Voilà, en espérant que vous puissiez me venir en aide le plus rapidement possible Smile.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Fonction logarithme népérien.   Mar 30 Nov - 22:05

Bonsoir,

Il s'agit d'une étude de fonction via une fonction auxiliaire qu'on nomme donc G ici. C'est assez classique ce genre de manipulation d'ailleurs mais il faut bien savoir manipuler ce genre de raisonnement, c'est presque la seule difficulté.

La dérivée étant donnée, il ne reste qu'à effectuer les calculs tout simplement. Ensuite pour la limite, cela repose sur les limites classiques des fonctions exponentielle et logarithme népérien donc c'est encore du cours si j'ose dire. Enfin pour la question où on doit déterminer le tableau de variation, il faut en effet déterminer le signe de la fonction G. En revanche, j'ai l'impression que tu as été très expéditif sur la détermination de ce signe là (en effet, G(1)=e>0 par exemple). Comment as-tu procédé?

Sinon, pour l'équation d'une tangente, il faut savoir qu'une tangente est une droite donc son équation est de la forme y=a*x+b. Ensuite, comment détermine-t-on le coefficient directeur de cette tangente?

Bon courage!

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Buckethead8702



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MessageSujet: Re: Fonction logarithme népérien.   Jeu 2 Déc - 8:38

Pour l'étude de signe, nous avions une question a traiter dans la Partie précédente de l'exercice. Je ne vous ai donné que la partie B car la première partie a été corrigée avec le professeur, donc j'ai tout ce qu'il me faut. Donc j'ai simplement repris la réponse qui avait été donné sur l'étude de g(x). Nous avions trouvé que sur ]0 ; (1/e)[, la fonction était décroissante, et que sur ](1/e) ; +infini[ la fonction était croissante. Donc les signes étaient - puis +
Pour la tangente... Le coefficient directeur d'une droite, c'est l'expression de sa dérivée ! Donc f'(1) (vu qu'ici c'est au point d'abscisse 1)
J'ai donc une équation commencant par f'(1)*(x-1) + ?.
L'ordonnée a l'origine correspondrait donc à f(1) ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Fonction logarithme népérien.   Jeu 2 Déc - 19:34

Bonsoir,

Je préfère 1/e à 1 en effet Wink. Sinon, tu as donc le coefficient directeur de notre tangente ce qui nous amène donc à une équation du type y=F'(1)*x + b

Or le point de coordonnées (1,F(1)) appartient à la courbe représentant F mais il appartient aussi à notre tangente! Ainsi, nous n'avons plus qu'à résoudre une équation dont la seule inconnue est b.

Je te conseille d'ailleurs de regarder la forme générale de l'équation d'une tangente en prenant un point de coordonnées (a,F(a)) par exemple, tu vas retrouver la forme générale de l'équation ainsi.

Bon courage!

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Buckethead8702



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MessageSujet: Re: Fonction logarithme népérien.   Mer 8 Déc - 20:18

Désolé de ce long retard à répondre, j'ai dû changer d'opérateur internet et donc ma connexion n'était pas rétablie ^^'.
J'ai rendu le dm, en ayant obtenu un 7,5/10 !
J'avais trouvé que l'equation de la tangente était égale à f'(1)x + f(1). Je n'avais donc plus qu'à remplacer f'(1) et f(1) par leur expression, et le tour était joué !
Je vous remercie de l'aide apportée concernant la tangente ! Very Happy
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Fonction logarithme népérien.   Mer 8 Déc - 22:17

Bonsoir,

La note importe peu même si cela fait toujours plaisir d'avoir une bonne note bien entendu. Pourquoi, dire que cela importe peu? Car d'une part c'est vraie et d'autre part c'est sur le long terme que tu constatera réellement ta compréhension et non à l'instant t où tu apprends les choses. C'est le gros défaut des mathématiques mais bon à l'instar du piano, il faut longtemps avant de savoir jouer une bonne démonstration en quelque sorte Smile.

D'ailleurs, ton tour n'a pas du être réussi car même sans remplacer F'(1) et F(1), l'équation que tu proposes pour la tangente au point d'abscisse 1 reste toujours fausse. En effet, si je considère le point (1,F(1)) qui appartient à la tangente (par définition!), on devrait avoir F'(1)*1+F(1) égale à F(1) ce qui n'est pas le cas pour le coup. Il y a donc un soucis dans ton équation, je te laisse revoir la valeur del 'ordonnée à l'origine c'est à dire la valeur du b qui n'est donc pas égale à F(1).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Fonction logarithme népérien.   Aujourd'hui à 4:05

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