Exercice 4

Déterminer et représenter dans un repère orthonormal l'ensemble des points M d'affixe z, tels que le nombre Z = (2-z)(i+z(conjugué)).

1. Soit réel.
2. Soit imaginaire.

Bonjours, désoler j'ai écrit tellement vite l'énoncer que j'ai oublier je dire bonjours et merci d'avance!

Alors j'ai fait:
Z = (2-z)(i+z(conjugué))

Soit z = x + iy ; x et y réels
Soit Z = X +iY ; X et Y réels

X + iY = (2 - x - iy)(i - x + iy)
X + iY = 2i - 2x + 2yi - xi + x² - xyi - yi² + xyi - (yi)²
X + iY = -2x + x² + 2i + 2yi - xi - yi² - (yi)²
X + iY = -2x + x² + 2i + 2yi - xi + y + y²
X + iY = -2x + x² + y + y² + i(2 + 2y - x)

Par identification des parties réels et imaginaire:
X = -2x + x² + y + y²
Y = 2 + 2y - x

1. Si Z réels alors Im_(z) = 0
Donc Y = 0
Donc 2 + 2y - x + 0
2y - x = -2
2y = -2 +x
y = (-2 +x)/2
y = (-2/2) + (x/2)
y = -1 + (x/2)
Soit E l'ensembles des points M d'affixe z tels que Z réel
M appartient a E tels que: Y = 0
2 + 2y - x = 0
Donc M est sur la droite 2 + 2y - x = 0

2. Si Z imaginaire pur alors Re_(z) = 0
Soit T l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z imaginaire pur
M appartient a T tel que: X = 0
-2x + y + x² + y² = 0
x² - 2y + y² + y = 0
(x - 1)² - 1 + (y + (1/2))² - (1/4) = 0
(x - 1)² + (y + (1/2))² = (5/4)
Donc T est la courbe de centre C (1 ; (-1/2)) et de rayon ((racine de 5)/2)

Je n'arrive pas a représenter l'ensemble des points M d'affixe z dans un repère.
Merci de bien vouloir m'aider et de bien vouloir vérifier si je ne me suis pas tromper!
Merci

Bonsoir,

Je t'avoue ne pas avoir refait les calculs intermédiaires mais en tout cas les méthodes sont acquises et parfaitement exécutées. A partir de là, il n'y a pas de raison que cela n'aboutisse pas.

En revanche juste pour la forme, on parle plus de cercle de centre C et de rayon r que de "courbe".

Qu'est-ce qui te pose problème pour la représentation du cercle ? À quoi correspond x et y pour l'affixe z ?

Bon courage!

Merci pour le cercle, en faite le cercle j'arrive a le tracé c'est juste que pour: E l'ensembles des points M d'affixe z tels que Z réel, je ne sais pas comment tracé cette droite!
Merci

Bonsoir,

Pour le tracer de la droite c'est le même principe que le cercle, que représente x et y dans le repère complexe ?

Bon courage!

Bonsoir,
Es-ce que x = -1 et y = 2??
Mais je ne vois toujours pas comment la tracer!
Merci de m'aidez!

Bonjour,

La question que je posais n'était pas "à quoi sont égales x et y?" mais bien "que représentent x et y?".

Tu avais écrit que l'ensemble que nous cherchions c'était l'ensemble des (x,y) tel que y = -1 + (x/2). Maintenant, il faut revenir à ce qu'on cherche c'est à dire l'ensemble des z. Donc que représentent x et y dans le plan complexes ?

Bon courage!

Bonsoirs, désoler de répondre telement de temps aprés,
Pour répondre a votre question, x correspond a la parti réel et y a la parti imaginaire.
Donc si x = -1 et y = 2 sa fera un point et je devrai prendre un autre points 0(0;0) sa fera donc une fonction linéaire.
C'est cela?

Merci de bien vouloir continuer a m'aider!

Bonsoir,

Ce n'est pas une fonction linéaire pour le coup mais plutôt une fonction affine. Donc attention au fait que le point O(0,0) n'appartient pas à cette droite. Sinon c'est bien l'idée, il suffit de tracer la droite dans le plan complexe où y est l'ordonnée (partie imaginaire) et x est l'abscisse (partie réelle).

Bon courage!

Bonsoirs,
Mais si c'est une fonction affine il me faut 2 points pour tracer cette droite mais je n'en est qu'un seul. Quelle autre points je prend?
Merci

Bonsoir,

Et bien tu prends n'importe quel autre point du moment qu'il appartient à la droite après tout. Par exemple, tu prend x=0 et tu calcules l'ordonnée via l'équation de la droite.

Bon courage!