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 Nombre complexe

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Kikou76



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MessageSujet: Nombre complexe   Mar 21 Déc - 20:35

Bonjour à tous, j'ai quelques exercices de cours, et j'aurais voulu savoir si mes résultats étaient correcte! Smile.

1) Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants:
- z1 = (4-6i)/(3+2i). J'ai trouvé -2i.
- z2 = (-1+3i)² - 2(4-i). Je trouve -10-4i mais mon professeur m'a dit qu'on devait trouvé -16-4i, mais je ne trouve pas mon erreur...

2) Résoudre l'équation suivante dans C :
z² - 2(1+√2)z + 2(√2 + 2) = 0. Donc on calcul le discriminant soit ∆ = 4, et √∆ = 2. Soit z1 = 2√2 + 2 et z2 = 2√2 - 2 ?

3) Soit l'équation z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = 0. (E)
a) Montrer que cette équation admet une solution réelle pure notée z1. Ici, je sais qu'il faut calculer le discriminant comme dans la question précédente, mais ce z^3 me perturbe et me bloque. Que dois-je en faire?
b) Déterminer les 2 nombres complexes a et b tel que pour tout nombre complexe z, on ait z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b). Pour ceci, dois-je développer, puis passer de l'autre côté afin d'avoir une équation égale à 0 et aisin déterminer a et b? Je bloque aussi...
c) Résoudre alors l'équation (E).

4) Soit z = x + iy et Z = X + iY. On pose Z = (z-2+i)/(z+2i).
a) Ecrire Z sous forme algébrique et donner Re(Z) et Im(Z). Je remplace donc les z par x + iy dans Z, et j'obtiens un énorme calcul, où je ne vois pas la fin... Pourriez vous m'aider pour celle-ci aussi ?
b) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un imaginaire pur.
c) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un réel pur.
d) Représenter ces 2 ensembles de points dans le plan complexe (O, u, v).

5) Dans le plan complexe (O, u, v), on considère les points A, B, C d'affixes respectives zA = 1,5i, zB = 3,5+i, zC = 1-1,5i.
a) Déterminer les affices des vecteurs AB, AC et BC. Je trouve graphiquement les résultats, mais ici on nous demande par calcul, or je ne sais pas trop comment m'y prendre ni quel formule il faut utiliser pour ceci.
b) Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer ce point. Quel formule faut-il utiliser?
c) Déterminer l'affixe de M, centre du parallélogramme et placer M. Comment faire également ?

Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Kikou.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Mar 21 Déc - 21:30

Bonsoir,

Il s'agit en effet d'un panel d'exercices de révision sur les complexes.

Pour l'exercice 1), il s'agit de savoir manipuler les nombres complexes. En gros, il s'agit surtout de se familiariser avec les nombres complexes dans les calculs. Je suis d'accord pour le premier calcul et je rejoins ton professeur pour le deuxième calcul. Ton erreur est sans doute due à ton développement du carré. En effet, il faut faire très attention, lorsqu'on met un complexe au carré: (3i)²=3²*i²=9*(-1)=-9 !!!!!

Je te laisse reprendre tes calculs du coup.

Pour l'exercice 2), il y a une erreur. Tu aurais d'ailleurs dû la détecter. En effet, la valeur 2(1+√2) est inférieur à 2(√2 + 2). En conséquence de quoi, il est sûr et certain que le discriminant est négatif. ET ceci est d'autant plus logique que nous sommes en pleine révision sur les complexes.

Pour l'exercice 3), la première question, il n'y a pas de discriminant à calculer car nous n'avons pas en face de nous une équation du second degré tout simplement (il existe en fait des discriminant pour le degré 3 et 4 mais bon ceci est hors programme). Il faut donc réfléchir autrement. Qu'est-ce qu'une racine ? Combien peut-on en avoir au maximum? Que se passerait-il si j'avais que des racines complexes ? (après tout dire qu'il y a une racine réelle revient à se dire qu'il ne peut pas avoir que des racines complexes, donc on peut légitimement se poser la question de savoir ce qui se passerait s'il y avait que des racines complexes).

Pour la question suivante, il s'avère que nous sommes face à un polynôme en z et nous pouvons comme dans les polynômes à coefficient réels appliquer la méthode d'identification.

Pour la question où on souhaite exprimer Z en fonction de x et y, il n(y a pas de mystère, il faut prendre son temps et aller au bout de ton calcul. C'est le même principe que pour calculer z1 dans le premier exercice en fait. D'ailleurs, ne développe pas le dénominateur cela n'a pas d'intérêt tu sais qu'il est réel lorsque tu as fait ta manipe. Ton seul but est de mettre en évidence la partie réelle et la partie imaginaire dans le calcul après tout.

Je pense qu'avec cela nous avons déjà beaucoup de travail. Il ne sert à rien de se lancer tête baissée dans tous les exercices d'un coup, le but est plutôt de comprendre les choses étapes par étapes pour éviter l'overdose d'une part mais surtout pour mieux assimiler les technique de calcul et surtout les méthodes qui sont associées.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

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Kikou76



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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Mar 21 Déc - 22:29

Merci pour l'exercice 1, j'ai bien repérer mon erreur et j'y ferais attention à l'avenir!

Pour ce qui est de l'exercice deux, mon professeur m'a dit que je devait trouver un discriminant égal à -2 soit √∆ = 2i². Mais je ne trouve pas... Voici mon calcul :
∆ = [2(1+√2)]² - 4*1*(2√2 + 2) = 4(3+2√2) - (8√2 + 8) = 12 + 8√2 - 8√2 - 8 = 4 ... D'où √∆ = 2 ...

Pour l'exercice 3), question a), je ne sais vraiment pas comment m'y prendre et quel calcul il faut faire puisque ce n'est pas une équation du second degré...
De même pour la question suivante, l'identification est très compliqué et très difficile à faire... Je me perd dans mes calculs et à la fin je ne sais plus où j'en suis...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Mer 22 Déc - 10:23

Bonjour,

Une légère erreur d'inattention dans l'exercice 2). En effet, que vaut 2(√2 + 2) si je développe cette expression ?

Pour l'exercice 3), j'ai peut-être répondu un peu vite car ton équation de degré 3 n'est pas à coefficient entier donc c'est plus compliqué à démontrer pour la première question. On va^essayer d'être malin du coup. En effet, montrer que notre équation admet une solution réelle cela reviendrait à mettre en évidence cette solution après tout.

Et pour cela, d'après toi, quelle serait la solution réelle évidente de cette équation? (penser à tester, -2; -1; 0; 1 et 2 pour avoir une solution simple et si c'est quatre nombres là ne sont pas solutions c'est que la démonstration est d'un autre ordre).

Bon courage!

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Kikou76



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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Jeu 23 Déc - 0:39

Bonjour, et merci !
Pour l'exercice 2), avec ∆ = -4 = 4i², on alors √∆ = √4i² = 2i. Je trouve donc comme racine z1 = 2√2 + 2i et z2 = 2√2 - 2i.

Pour la 3)a), je n'ai toujours pas très combien compris, mais dois-je calculer f(-1), f(0), f(1), ... ?
Cela donnerait...
f(-1) = (-1)^3 - (4+i)*(-1)² + (7+i)*(-1) - 4 = -16.
f(0) = -4.
f(1) = 0.
Mais que doit-on en déduire? Je n'ai pas très bien compris.

Pour la 3)b), je développe donc ce qui est à droite, ce qui donne donc:
z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b)
= (z²-2z-2zi-z+2+2i)(az+b)
= (z²-3z-2zi+2i+2)(az+b)
= az^3 - 3az² - 2az²i + 2azi + 2az + bz² - 3bz - 2bzi + 2bi + 2b
= az^3 - (3a-2ai+b)z² + (2ai+2a-3b-2bi)z + (2i+2)b
Donc évidement, a=1. Mais je n'arrive pas à déterminer et trouver b...

Pour la 3)c) donc, je n'ai pas très bien compris la démarche que je devais suivre afin de répondre à cette question.

Pour la 4)a), voici mon calcul, mais je n'arrive pas à terminer. Tout est si confus...
Z = (x+iy-2+i) / (x+iy + 2)
= (x+iy-2+i)(x+iy-2i) / (x+iy+2i)(x+iy-2i)
= (x²+xiy-2xi+xiy+(iy)²-2i²y+xi+i²y-2i²) / (x²+xiy-2xi+xiy+(iy)²-2i²y+2xi+2i²y-4i²)
= (x²+2xiy-xi+(iy)²-i²y+2) / (x²+2xiy+(iy)²+4)
= (-xi - i²y) / 2
= (-xi + y)/ 2
= y/2 - (x/2)i
avec Re(Z) = y/2 et Im(Z) = -(x/2)i.

b) Z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. Soit... (Je ne sais pas comment m'y prendre...)
De même pour la question c), Z est réel pur si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Soit...

Pour l'exercice 5 ;
a) AB = ZB - ZA = 3.5 - 0.5i.
AC = 1 - 3i
BC = -2.5 - 0.5i (alors que je devrais trouver -2,5 - 2,5i) ==> Voici le calcul. BC = ZC - ZB = 1 - 1.5i - 3.5 + i .....
Pour la b), ZA + ZB = ZC + ZD soit ZD = ZA + ZB - ZC = 2,5 + i ? (Mais graphiquement, ce n'est pas correcte...)
Pour la c), quelle est la formule du calcul de l'affixe du milieu d'un segment ?

Encore merci pour votre aide!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Jeu 23 Déc - 21:01

Bonsoir,

Je suis d'accord pour le discriminant maintenant. Je te rappelle d'ailleurs que la formule qu'on applique n'est plus la racine carrée du discriminant mais la racine carrée de l'opposé du discriminant qu'on multiplie par le complexe i. Cela a l'air très secondaire mais en fait c'est une erreur fondamentale d'écrire ce que tu as écrit. Pourquoi ? Et bien pour la simple et bonne raison que tu n'as pas défini la fonction "racine carrée" sur l'ensemble des nombres complexes. ET il s'avère qu'il y a deux détermination de cette fonction dans le plan complexe (dû à la possibilité d'effectuer des rotations en quelque sorte dans ce plan là). Donc ne pas écrire racine de delta lorsque le delta est négatif car cela est vrai que dans un certain cas et en l'occurrence tu n'as pas défini cette fonction là tout simplement.

Pour l'autre exercice, pourrais-tu me rappeler ce que signifie "x est racine d'un polynôme P" ? Car j'ai l'impression que tu as exactement écrit la solution (qui est donc sous tes yeux) mais que tu ne l'as vois pas pour l'instant dû sans doute à un problème de vocabulaire (que tu connais mais que tu n'applique pas en l'occurrence).

Pour la question suivante. Comment as-tu trouvé la valeur de a concrètement ? Du coup, comment trouver les valeurs des autres constantes ?

Pour la 3)c), il s'avère qu'une fois que tu as la factorisation en produit de facteur de degré 1, comme dans l'ensemble des réel, nous avons dans l'ensemble des complexes le fait qu'il soit intègre ce qui signifie qu'un produit de facteur est nul si et seulement un de ses facteurs est nul tout simplement.

Pour l'exercice 4), il faut être très méthodique lorsqu'on effectue des calculs avec des complexes. Ici, tu l'as compris, il va falloir utiliser la multiplication par l'expression conjugué du dénominateur. Donc la première chose à faire ce n'est pas d'y aller comme un fou furieux mais plutôt de bien mettre en évidence la partie réelle et la partie complexe du dénominateur car sinon, tu risque (et c'est le cas ici) de faire des erreurs au niveau de l'expression conjuguée et donc d'avoir des calculs à n'en plus finir.

Bon courage!

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Kikou76



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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Dim 26 Déc - 12:45

Bonjour à tous, je vais tout reprendre afin que ce soit un peut plus claire mais aussi afin de bien cibler mes petits problèmes.

Kikou76 a écrit:
1) Donner la forme algébrique des nombres complexes suivants:
- z1 = (4-6i)/(3+2i).
- z2 = (-1+3i)² - 2(4-i).

2) Résoudre l'équation suivante dans C :
z² - 2(1+√2)z + 2(√2 + 2) = 0.

3) Soit l'équation z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = 0. (E)
a) Montrer que cette équation admet une solution réelle pure notée z1.
b) Déterminer les 2 nombres complexes a et b tel que pour tout nombre complexe z, on ait z^3 - (4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-1)(z-2-2i)(az+b).
c) Résoudre alors l'équation (E).

4) Soit z = x + iy et Z = X + iY. On pose Z = (z-2+i)/(z+2i).
a) Ecrire Z sous forme algébrique et donner Re(Z) et Im(Z).
b) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un imaginaire pur.
c) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un réel pur.
d) Représenter ces 2 ensembles de points dans le plan complexe (O, u, v).

5) Dans le plan complexe (O, u, v), on considère les points A, B, C d'affixes respectives zA = 1,5i, zB = 3,5+i, zC = 1-1,5i.
a) Déterminer les affices des vecteurs AB, AC et BC.
b) Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer ce point.
c) Déterminer l'affixe de M, centre du parallélogramme et placer M.


Pas de soucis pour l'exercice 1), je l'ai terminé!
De même pour l'exercice 2).

Pour la 3)a), j'ai donc calculé f(1), et j'ai trouvé 0. On me demande dans la question, la solution réelle pure de cette équation notée z1. D'où z1 = 0 ?
3)b) En développant z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4 = (Z-1)(z-2-2i)(az+b),
on trouve az^3-(3a-2ai+b)z²+(2ai+2a-3b-2bi)z+(2i+2)b.
Et ainsi, par identification on trouve que :
a=1
4+i=3a+2i-b => 4+i=3+2i-b => 4+i-3-2i+b=1-i+b => b=-1-i ?
7+i=2ai+2a-3b-2bi => 7+i-2i-2+3b-2bi=5-i+3(-1-i)+2i(-1-i)=5-i-3-3i-2i-2i²=4-6i ?
-4=(2i+2)b => (2i+2)(-1-i)+4=-2i-2i²-2-2i+4=-4i+4 ?
et ainsi z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4 = (Z-1)(z-2-2i)(z-1-i)
3)c) z^3-(4+i)z²+(7+i)z-4 = 0
D'où z-1=0 => z=1 ?
z-2-2i=0 => z=2-2i ?
z+1+3i=0 => z=-1+3i ?

Pour l'exercice 4)a), le calcul est assez loud ;
Z = (x+iy-2+i) / (x+iy+2i)
Z = [(x-2)+i(y+1)] / [(x+i(y+2)]
Z = [(x-2)+i(y+1)]*[x-i(y+2)] / [x+i(y+2)]*[x-i(y+2)]
Z = [x(x-2)-i(x-2)*(y+2)+ix(y+1)+(y+1)(y+2)] / [x²+(y+2)²]
Z = [x(x-2)+(y+1)(y+2)]+i[x(y+1)-(x-2)(y+2)] / [x²+(y+2)²]
Z = {[x(x-2)+(y+1)(y+2) / (x²+(y+2)²]} + {[x(y+1)-(x-2)(y+2)] / [x²+(y+2)²]}i
Z = {[x²-2x+y²+2y+y+2] / [x²+y²+4y+4]} + {[xy+x-xy+2x-2y-4] / [x²+y²+4y+4]}i
Z = {(-2x+y) / (2y+2)} + {3x / (x²+y²)}i
Z = {(-x+y) / 2y} + {3x / (x²+y²)}i ?
avec Re(Z) = (-x+y) / 2y et Im(Z) = [3x / (x²+y²)]i ?

Pour la 4)b), Z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle.
Soit Re(Z) = 0. => (-x+y) / 2y =0 => [-x / 2y] = [-y / 2y] => [x / 2y] = [y / 2y] ?
4)c), Z est réel pur si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
Soit Im(Z) = 0. => [3x / (x²+y²)]i = 0 ?

Pour finir avec l'exercice 5),
5)a), AB = ZB - ZA = 3.5 - 0.5i.
AC = 1 - 3i
BC = -2.5 - 0.5i (alors que graphiquement, je devrais trouver -2,5 - 2,5i) => Voici le calcul. BC = ZC - ZB = 1 - 1.5i - 3.5 + i ...
b), ZA + ZB = ZC + ZD soit ZD = ZA + ZB - ZC = 2,5 + i ? (Mais graphiquement, ce n'est pas correcte...)
c), quelle est la formule du calcul de l'affixe du milieu d'un segment ?

Merci pour tout. Kikou.
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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Mar 28 Déc - 21:55

Bonsoir,

Bonne initiative d'avoir voulu faire un bilan cela aide souvent de bien visualiser l'évolution de la recherche. Et cela permet surtout de visualiser les avancées et donc de ne pas se démotiver dans la recherche.

Alors dans un premier temps, tu as fait une erreur de frappe ou une erreur de fond c'est à voir lorsque tu écris cela:

Citation :
Pour la 3)a), j'ai donc calculé f(1), et j'ai trouvé 0. On me demande dans la question, la solution réelle pure de cette équation notée z1. D'où z1 = 0 ?

Si F(1)=0 la valeur de la racine est laquelle pour le polynôme F ?

Pour la question suivante, tu aurais dû voir d'ailleurs que z1=0 n'est pas cohérent vu qu'on factorise par quel polynôme de degré 1 ?

Ce qui te gêne dans cette question est le fait qu'on travaille dans l'ensemble des complexes et par conséquent, le polynôme est à coefficients complexes. Nous n'y pouvons rien le polynôme de départ étant à coefficients complexes, la factorisation sera donc à coefficients complexes elles aussi. En conséquence, nous cherchions des constantes a, b et c complexes. Il ne faut donc pas s'étonner qu'ils soient complexes à la fin. Le seul moyen d'être sûr de ces calculs c'est de redévelopper tout simplement le polynôme factoriser pour voir si nous retrouvons bien le polynôme de départ. En tout cas la méthode a l'air d'être bonne ce qui augure donc une bonne réponse modulo des erreurs de calculs bien entendu.

Pour l'exercice suivant, le plus difficile est de garder une concentration assez bonne pour éviter les erreurs de calculs.

Citation :
Z = {[x(x-2)+(y+1)(y+2) / (x²+(y+2)²]} + {or=red]-(x-2)(y+2)] / [x²+(y+2)²]}i
Z = {[x²-2x+y²+2y+y+2] / [x²+y²+4y+4]} + {[xy+x-xy+2x-2y-4] / [x²+y²+4y+4]}i

Sauf erreur la première ligne est bonne. En revanche la deuxième ligne devient fausse. Le "-" en rouge est devant toute la parenthèse. Il y a donc des changements de signe sur tout les calculs du développement que tu as effectué et non seulement sur le premier calcul.

Sinon, attention aux simplifications excessives. En effet, x²/(x²+1) ne se simplifie pas et surtout pas par x² !!!!!! On a le droit d'effectuer des simplification de fraction lorsqu'on a réussi à mettre en facteur au numérateur ET au dénominateur le MÊME nombre. Je te laisse donc reprendre la fin de ton calcul. Je te conseille d'ailleurs de ne pas développer le dénominateur qui est très bien sous forme factorisée pour la première question.
Enfin, attention, la partie imaginaire est un nombre réel. Il s'agit du nombre qui est en facteur du complexe "i" mais la partie imaginaire ne contient pas le complexe "i".

Les méthodes pour les questions suivantes sont justes. Il faut juste conclure ensuite sur la forme de la solution en question.

Nous verrons l'exercice 5) par la suite, il y a déjà de quoi travailler sur les deux autres pour l'instant.

Bon courage en cette période de fêtes!

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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Mar 28 Déc - 23:16

Bonsoir et merci pour votre réponse.

Pour la 3)a), dû fait qu'on a f(1) = 0, j'avais pensé à calculer le discriminant afin de trouver les racines, mais étant donné qu'on a un z^3, l'équation n'est pas un polynome et il n'y a donc pas de racine... ? Je suis bloquée.

Sinon, mes calculs de la 3)b) sont ils corrects?

Et ma démarche (et solutions) pour la 3)c) est-elle également correcte?

A présent, pour la 4)a), voici mon nouveau calcul : Je n'ai pas développé le dénominateur!
Donc Z = (x+iy-2+i) / (x+iy+2i)
Z = [(x-2)+i(y+1)] / [(x+i(y+2)]
Z = [(x-2)+i(y+1)]*[x-i(y+2)] / [x+i(y+2)]*[x-i(y+2)]
Z = [x(x-2)-i(x-2)*(y+2)+ix(y+1)+(y+1)(y+2)] / [x²+(y+2)²]
Z = [x(x-2)+(y+1)(y+2)]+i[x(y+1)-(x-2)(y+2)] / [x²+(y+2)²]
Z = {[x(x-2)+(y+1)(y+2) / (x²+(y+2)²]} + {[x(y+1)-(x-2)(y+2)] / [x²+(y+2)²]}i
Z = [(x²-2x+y²+2y+y+2) / (x² + (y+2)²)] + [(xy+x-xy+2x-2y-4) / (x² + (y+2)²)]
Z = [(x²-2x+y²+3y+2) / (x² + (y+2)²)] + [(3x-2y-4) / (x² + (y+2)²)] ?
Mais ensuite je reste bloquée là pour le reste du calcul, je n'arrive pas à conclure...

Bonne soirée, et merci ! Smile
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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Mer 29 Déc - 0:10

Bonsoir,

Je repose ma question du coup: "Si x est racine du polynôme P que pouvons-nous dire de P(x) ?". C'est à dire quelle est la définition de "être racine d'un polynôme" qu'il soit réel ou complexe, la définition ne change pas.

Pour la 3)b) comme je te l'ai dit, pour savoir si ton calcul est correct, il suffit de remplacer a, b et c par les valeurs que tu as trouvée puis d'effectuer le développement tout simplement.

La méthode de la question 3)c) est tout à fait juste. Un produit de facteur est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nuls. La propriété que tu connaissais déjà dans l'ensemble des réelles reste tout à fait vrai dans l'ensemble des complexes.

Ton calcul pour la question 4) est presque juste. On ne peut pas aller plus loin et alors où est le problème après tout?
En revanche, il y a toujours une erreur de calcul:

Citation :
Z = {[x(x-2)+(y+1)(y+2) / (x²+(y+2)²]} + {[x(y+1)-(x-2)(y+2)] / [x²+(y+2)²]}i
Z = [(x²-2x+y²+2y+y+2) / (x² + (y+2)²)] + [(xy+x-xy+2x-2y-4) / (x² + (y+2)²)]

le "-" se répercute sur toute la parenthèse qui suit alors que tu ne le fait porter que sur le premier terme. Je te conseille d'ailleurs de laisser une parenthèse englobant les termes du développement. Pour éviter les erreurs cela peut aider de temps en temps.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Ven 31 Déc - 2:00

Bonsoir à tous!
Je m'en suis sorti pour tous les exercices, il me reste encore un petit problème...

Citation :
4) Soit z = x + iy et Z = X + iY. On pose Z = (z-2+i)/(z+2i).
a) Ecrire Z sous forme algébrique et donner Re(Z) et Im(Z). Je remplace donc les z par x + iy dans Z, et j'obtiens un énorme calcul, où je ne vois pas la fin... Pourriez vous m'aider pour celle-ci aussi ?
b) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un imaginaire pur.
c) Déterminer l'ensemble des complexes z tels que Z soit un réel pur.
d) Représenter ces 2 ensembles de points dans le plan complexe (O, u, v).

Pour la a), je trouve enfin Z = Z = [(x²-2x+y²+2y+y+2) / (x² + (y+2)²)] + [(xy+x-xy-2x+2y+4) / (x² + (y+2)²)]
Z = [(x²-2x+y²+3y+2) / (x² + (y+2)²)] + [(-x+2y+4) / (x² + (y+2)²)].

Ainsi, pour la question b), Z est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle. Soit Re(Z) = 0. Le dénominateur étant toujours positif, ainsi Re(Z) = 0 dépend du numérateur.
Il faut donc résoudre x²-2x+y²+3y+2 = 0 afin d'avoir une expression de y en fonction de x ? Mais j'ai vraiment du mal pour le calcul. Pourriez vous m'aider et me donner des indications?

De même pour la c), Z est réel pur si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Soit Im(Z) = 0.
Il faut donc résoudre -xi+2yi+4i = 0 qui donne une expression de y en fonction de x..

Et ainsi pour la d), on a trouvé des équations aux questions b et c, il suffit juste de tracer les droites ?

Merci d'avance! Et passez de bonnes fêtes.


Dernière édition par Kikou76 le Ven 31 Déc - 13:32, édité 1 fois (Raison : Oublis du i en facteur de la question c).)
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MessageSujet: Re: Nombre complexe   Sam 1 Jan - 22:38

Bonsoir et bonne année 2011 par la même occasion avec son lot de réussite et de bonheur mais avant tout la santé!

Pour l'expression algébrique, il y a toujours le "i" qui s'est fait la malle mais sinon c'est déjà plus cohérent en effet.

Maintenant pour trouver l'ensemble des points, il y a une réduction de tes choix à la base ce qui bloque ta réflexion. En effet, vouloir exprimer y en fonction de x est légitime pour le tracer d'une fonction mais là, nous cherchons une courbe mathématique qui n'est pas forcément issue d'une fonction. Je m'explique. Par définition, la représentation d'une fonction est un ensemble de point qui a toutes les valeurs des abscisses associe une seule ordonnées au maximum. Et le au maximum est non négligeable !

EN effet, l'image d'une valeur par une fonction soit elle n'existe pas (par exemple l'image de 0 pour la fonction inverse x|--> 1/x) soit elle existe et à ce moment là cette image est unique et on la note F(x) par exemple si la fonction se nomme F et si la valeur considérée est x.

Or tu connais plein d'objet mathématiques donc la courbe mise dans un plan n'est pas la représentation d'une fonction. Par exemple, un carré (il existe au moins une abscisse qui aura deux images ce qui n'est pas possible pour une fonction). Mais il y aussi toutes les figures planes comme le rectangle, le losange, le parallélogramme mais aussi le cercle et j'en passe et des meilleurs sans doute.

Donc ici, nous cherchons a explicité non pas une fonction mais une équation de ce qu'on appelle un lieu géométrique (l'équation d'un carré, d'un losange, d'un cercle mais bien entendu nous pouvons avoir des droites aussi ce n'est pas exclus ou encore avoir des points tout seul aussi).

Donc je te conseillerais plus de chercher l'équation d'un objet géométrique assez simple dont tu connais déjà la forme de l'équation dans un repère orthonormée comme par exemple un cercle.

Il faut essayer d'être méthodique en mathématiques. Tu constateras sans doute que dans tout mon discours je n'ai fait que dire des banalités et pourtant c'est là que se situe la réflexion sur un énoncé. Il faut essayer de savoir ce qu'on cherche précisément sans obliger l'énoncé à coller et nos a priori. Ici, tu cherchais l'équation d'une droite ce qui est légitime et même logique mais tu t'es trop restreint car l'ensemble de point peut ressembler à bien d'autre chose qu'une droite.

En revanche pour la question suivante, il y a un soucis quelque part car tu as une expression qui dépend de "i" alors qu'une partie réelle ou une partie imaginaire, je te le rappelle, est un nombre réel. Mais l'idée cette fois-ci de chercher à exprimer y en fonction de x est une bonne idée. Pourquoi? Car ici, il n'y a que des terme de degré 1 en y ce qui facilite donc l'isolement des termes dépendants de ce paramètre.

Et pour ta dernière question, tu constates donc suite à la lecture de tout ce qu'il y a au-dessus que se limiter à des ensemble de point formant une droite est bien trop réducteur même si dès fois il s'agit d'une droite. Il ne faut pas oublier qu'un ensemble de point (ou lieu géométrique) peut être vraiment plein de chose voire même plus que ce que tu pourrais imaginer après tout Wink.

Bon courage!

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