[1ère S] sos exo barycentre

Bonsoir pour demain j'ai un exercice à faire sur les barycentres et je bloque complétement alors si vous pouviez m'aider un peu merci

ABCD est un quadrilatère quelconque I milieu de AC et J milieu de BD
On définit les points K et L par vectKA= -2 vect KB et vectDL= 1/3 vectDC

1- Exprimer I, J, K et L comme barycentre de points pondérés

2-on désigne par M milieu de KL montrer que M est le barycentre des points I et J affectés de coefficients que l'on déterminera. En déduire que M, I et J son alignés

Bonsoir et bienvenu parmi nous Nana17 !!

Pour ma part je vais prendre la notation MN= le vecteur MN.

Alors les deux formules qu'il faut absolument savoir pour un barycentre classique de deux points sont:

Si G barycentre de (A,α); (B,β) Alors α*GA + β*GB = 0

De plus, on a pour tout point M du plan, la relation suivante: α*MA + β*MB= (α+β)*MG


La première question de ton exercice, cherche à te faire appliquer la réciproque de ces formules. Cette à dire que si tu as une relation, alors tu en déduis les points pondérés.

Ne pas oublier qu'un milieu, par exemple I milieu de [AC] admet la relation vectorielle suivante:

IA = -IC

Avec celà, tu devrais pouvoir déduire les trois premiers barycentres. Pour le point L, il faut que tu introduises via la relation de Chasle le point L dans DC dans le but de retrouver une des deux formules ci-dessus.

Je te souhaite bon courage pour cette exercice et n'hésite pas à poser des questions si celà n'est pas clair.

Nous étudierons la deuxième question après que la première soit résolue vu qu'elle est indispensable, sauf erreur .

@bientôt au sein du forum!

je vais te donner des réponses, même si pour moi tout cela est un peu loin, Blagu'cuicui pourra te donner des infos plus pointues. Les vecteurs seront en gras.

1-
-Pour I, il est à même distance de A et de C, donc IC = AI
d'où IC - AI = 0, donc IC + IA = 0
donc I est le barycentre de (A,1) et (B,1).
-C'est la même chose pour J.
-Pour K c'est un peu plus dur, on a KA = -2KB.
donc KA + 2KB = 0, donc K est le barycentre de (A,1) et (B,2).
-Pour L il suffit de dire que DC = DL + LC, après c'est comme les autres.

PS: bon je suis trop lent pour répondre apparemment

Bonsoir Nana17,

Je ne sais pas si tu as pu résoudre cette exercice ou pas et si nos indications ont pu éclaircir la démarche pour résoudre cette exercice. Vu que cette exercice date de la semaine dernière, je t'en propose nue correction complète.

Les données:

I milieu de [AC]
J milieu de [BD]
KA = -2*KB
DL = (1/3)*DC

Question 1:

Comme te l'as montré Cuicui Masqué:

I est barycentre de {(A,1) ; (C,1)}
J est barycentre de {(B,1) ; (D,1)}
K est barycentre de {(A,1) ; (B,2)}

Il restait à exprimer L comme barycentre de points pondérés. Nous avons poru l'instant utilisé toute les donnée sauf la dernière égalité vectorielle, il est donc temps de l'utilisé.

On a: DL = (1/3)*DC

Donc DL = (1/3)*(DL + LC) (par relation de Chasle)
D'où DL = (1/3)*DL+ (1/3)*LC

DL - (1/3)*DL - (1/3)*LC = 0

Donc (1-1/3)*DL - (1/3)*LC = 0
D'où (2/3)*DL - (1/3)*LC = 0

Or la relation qu'il nous faut obtenir est de la forme α*LD + β*LC = 0

De plus, DL= -LD

Donc la relation devient: -(2/3)*LD - (1/3)*LC = 0

Je multiplie l'expression pas (-3), ce qui donne:

2*LD + LC = 0

Conclusion: L est barycentre de {(D,2) ; (C,1)}

Il faut donc toujours avoir la forme de ce que nous voulons avoir à la fin et il faut aussi toujours penser à introduire les points que nous voulons voir apparaître par relation de Chasle.


Question 2:

[quote"Nana17"]on désigne par M milieu de KL montrer que M est le barycentre des points I et J affectés de coefficients que l'on déterminera. En déduire que M, I et J son alignés[/quote]

Récapitulatif de ce que nous avons trouvé dans la question 1:
I est barycentre de {(A,1) ; (C,1)}
J est barycentre de {(B,1) ; (D,1)}
K est barycentre de {(A,1) ; (B,2)}
L est barycentre de {(D,2) ; (C,1)}

La donnée que nous avons en plus est que M est le milieu de [KL].

Avant même de trouver que M est le barycentre de I et J affectés des poids correspondant, il faut remarquer que tu peux quand même répondre à la deuxième partie de la question sans avoir la première partie.

En effet, si on admet que M est le barycentre de {(I,α) ; (J,β)}, la deuxième relation fondamental nous donne:

Quelque soit P un point du plan, on a α*PI + β*PJ= (α+β)*PM

Vu que cette relation est valable pour tout P, nous pouvons prendre P=I, ce qui donne:

α*II + β*IJ= (α+β)*IM

Le vecteur II est le vecteur nulle. Nous avons donc: β*IJ= (α+β)*IM

Donc IJ et IM sont colinéaires ce qui implique que les trois points, I, J et M sont dont bien alignés.

Ceci est une astuce à retenir! En effet, ce n'est pas parce que tu bloque sur une partie de la question que tu ne peux pas répondre à ce qui découle de celle-ci comme je viens de le faire. Tu gagnera tout de même des points au lieu de ne rien avoir . C'est une astuce de travail qui peut s'avérer payante pour gagner quelques points lorsque certaines questions ne t'inspirent vraiment pas, tu mets "j'admets que: ........" et tu peux ainsi faire la question qui suit.

Maintenant, revenons à la détermination des poids de I et de J pour que M en soit le barycentre:

Nous savons que: M est le milieu de [KL]

Donc M es t e barycentre de {(K,1) ; (L,1)}

Cependant, nous savons que K et L sont eux aussi des barycentres mais le poids global pour K ainsi que pour L est 1+2=3. Il nous faut donc exprimer M en tant que barycentre des points K et L avec le poids 3 si nous voulons utiliser les relations entre les barycentres que nous connaissons.

Or un barycentre est toujours défini à une constante multiplicative près c'est à dire que:
Si G est le barycentre de (A,α); (B,β)
Alors G est aussi le barycentre de (A,3*α); (B,3*β), par exemple ou encore (A,α/4); (B,β/4) ou autre .....

Donc M est le barycentre de {(K,3) ; (L,3)}

Or K est barycentre de {(A,1) ; (B,2)} et L est barycentre de {(D,2) ; (C,1)}

Donc M est le barycentre de {(A,1) ; (B,2) ; (D,2) ; (C,1)}

Or I est barycentre de {(A,1) ; (C,1)} et J est barycentre de {(B,2) ; (D,2)} (multiplication par 2 des poids pour J)

Donc M est le barycentre de {(I,1+1) ; (J,2+2)} c'est à dire M est le barycentre de {(I,2) ; (J,4)}

En divisant les poids de I et J par 2, on obtient le résultat final suivant:

M est le barycentre de {(I,1) ; (J,2)}


Ceci conclut donc cette exercice. J'espère avoir été assez clair et que ceci pourra t'aider pour la suite. Si tu as des questions sur cette correction n'hésite pas à les poser surtout!

Je te souhaite bon courage et une bonne continuation.

@bientôt au sein du forum