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 fonction bijective et continue en aucun point

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Myrtille



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MessageSujet: fonction bijective et continue en aucun point   Mer 29 Déc - 13:43

Bonjour!

J'aurais encore une fois besoin de votre aide =)
Voilà mon problème:

Soit f de [0,1] dans [0,1] définie pas f(x)=x si x est un rationnel et f(x)=x+(1/2)-E(x+(1/2)) sinon. (E est la fonction partie entière)

Premièrement il faut imaginer la représentation graphique de f, je n'arrive pas vraiment à le faire mais ce n'est pas le plus important =)
Ensuite il faut montrer que f n'est continue en aucun point et je pense que j'ai réussi en résonnant par l'absurde en supposant que f admet une limite l appartenant à R en a appartenant à [0,1]
Et ensuite il faut déterminer fof et en déduire que f est bijective. C'est là que je bloque, je n'arrive pas à trouver fof =/... si x E Q fof=x il me semble et sinon je ne trouve rien de convainquant...

Merci pour votre aide =)
Bonne journée!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Mer 29 Déc - 22:25

Bonsoir,

Voilà une drôle de bête que cette fonction. Le but est sans doute de trouver un exemple concret de fonction non continue en tout point et pourtant bijective ce qui n'était pas si évident à imaginer après tout.

Pour montrer qu'une fonction est bijective en calculant FoF, il est fort probable que la réponse à la question soit donc que FoF=id sur [0;1] (ce qui implique bien que F est injective et surjective c'est à dire bijective).

Sur l'ensemble des rationnels on trouve bien l'identité, il ne reste plus qu'à faire soigneusement le calcul sur l'ensemble des irrationnels maintenant.

Soit X un irrationnel, on a donc F(X)=X+(1/2)-E(X+(1/2))

Et du coup, FoF(x)=F[ F(x) ]= F[ x+(1/2)-E(x+(1/2)) ] = ?

La première question à se poser pour calculer l'image de x+(1/2)-E(x+(1/2)) par F est "x+(1/2)-E(x+(1/2)) est-il un irrationnel ou un rationnel?"

En effet, il faut d'abord savoir à quoi appartient cette élément là pour pouvoir effectuer le calcul. Il est fort probable qu'il s'agisse d'un irrationnel d'ailleurs. Pourquoi ? Car au vu de ce qu'on doit démontrer vu que notre fonction est l'identité sur l'ensemble des rationnel, nous ne pourrions pas conclure vu que nous aurions:

FoF(x)= x+(1/2)-E(x+(1/2)) ce qui ne nous arrangerait pas du tout.

Il s'agit donc contre tout attente d'un irrationnel mais encore faut-il dire pourquoi après tout. ET ensuite que vaut l'image de cette quantité par la fonction F ?

Bon courage!

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Myrtille



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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Mer 29 Déc - 22:53

Si x est un irrationnel on a :

FoF= x+(1/2)-E(x+(1/2))+(1/2)-E[x+(1/2)-E(x+(1/2))+(1/2)] ce qui n'amene rien =O

Mais il faudrait donc qu'on trouve que FoF=x pour x E Q et xE R\Q?
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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Mer 29 Déc - 23:08

Pour montrer la bijectivité c'est l'idée, en effet.

Je ne pense pas que cela donne rien du coup vu que nous n'avons que cela comme base de travail Wink.

On a donc: pour x irrationnel,

FoF(x)= x+(1/2)-E(x+(1/2))+(1/2)-E[x+(1/2)-E(x+(1/2)) + 1/2]

Maintenant, tu ne connaîtrais pas des encadrement pour les parties entières que nous pourrions utiliser pour essayer d'y voir un peu plus clair dans tout ceci ?

Bon courage!

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Myrtille



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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Jeu 30 Déc - 12:59

pour x E R\Q je trouve 0<FoF(x)<1 est ce juste? =O et si oui qu'est ce que cela veut dire?
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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Jeu 30 Déc - 22:47

Bonsoir,

Là tu as tiré un peu trop sur la corde Wink. En effet, l'encadrement que tu proposes est juste mais cela ne nous fait pas avancer.

J'ai été un peu dur, sans doute, en te laissant chercher la finalité de mon indice car je pensais que celle-ci n'est pas si cachée que cela. En effet, quel est le but de l'encadrement que je te proposais de mettre en évidence ?

N'oublions pas nous cherchons à montrer que FoF(x)=x pour tout x de [0;1] ce qui nous montrera du coup, que notre fonction est bien bijective sur [0;1]. Du coup, nous cherchons à montrer une égalité et par conséquent si notre encadrement à la même quantité à gauche et à droite on pourrait en conclure une égalité. L'éidée est juste là
a=b <=> a≤b≤a ou b≤a≤b

Il faudrait donc ne pas se débarrasser des x si possible. D'ailleurs, quel est l'encadrement en fonction de x de E(x) ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Ven 31 Déc - 12:13

Donc on a FoF(x)=x+1-E(x+0.5)-E(x+1-E(x+0.5))

L'inégalité à utiliser est bien x-1<E(x)<ou= x ?

J'ai vraiment essayer dans tous les sens, je finis toujours pas simplifier les x =(
Je ne vois pas comment faire?
Pourriez vous me dire de quelle inégalités partir? =/ et quelle est la technique pour ne pas simplifier les x?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Sam 1 Jan - 23:23

Bonsoir et excellente année 2011 avec la santé d'abord, le bonheur ensuite et la réussite pour couronner le tout!

J'ai peut-être fait une erreur de calcul après tout pourquoi pas. Alors vérifions cela ensemble.

Je suis d'accord sur l'encadrement de E(x) pour toutes les valeurs réelles x.

Maintenant, appliquons simplement cette double inégalités là; on a:

(x+0.5)-1 < E(x+0.5) ≤ x+0.5

Donc x+1-(x+0.5) ≤ x+1-E(x+0.5) < x+1 -[x+0.5-1]

C'est à dire: 1-0.5 ≤ x+1-E(x+0.5) < 1+0.5 <=> 0.5 ≤ x+1-E(x+0.5) < 1.5

Or la fonction partie entière est croissante, donc je peux l'appliquer sans changer l'ordre des termes des inégalités ce qui nous donne:

0 ≤ E(x+1-E(x+0.5)) < 1

D'où -1 < -E(x+1-E(x+0.5)) ≤ 0

De plus, nous avons vu que 0.5 ≤ x+1-E(x+0.5) < 1.5

Et si on garde l'inégalité large pour éviter des soucis, nous concluons donc que: -0.5 ≤ FoF(x) ≤ 1.5


Ce qui ne nous permet pas de conclure en effet. Bon comme tu l'as déjà remarqué et je ne m'en cache pas le moins du monde dès qu'on arrive sur des exercices technique de niveau L1 ou L2, j'ai dès fois un peu de mal à remettre la machine en marche car il est vrai qu'on perd assez vite lorsqu'on ne pratique plus assez ce qui est mon cas. Et j'utilise et surtout propose donc des méthodes de résolution intuitive avant toute chose ce qui permet souvent de faire des révisions ce qui n'est pas du temps perdu en soi mais cela ne permet pas de conclure à tous les coups comme tu le constates.

En revanche, j'aime assez chercher et persévérer dans celle-ci pour trouver des méthodes de résolution pouvant débloquer tout de même lorsque les méthodes dites de réflexions basiques ne fonctionnent plus ce qui m'oblige à ressortir papier/crayon mais surtout intuition précise sur l'exercice en lui même et non via des méthodes plus générales. Et donc après quelques réflexions, il y a un moyen radicale de conclure cette question qui paraît évidente une fois trouvé mais qui prend un temps fou à retrouver comme démarche Wink.

Alors allons-y. La méthode classique consistait donc à considérer F comme une fonction basique ce qui est assez logique en soi mais en fait, on peut aller plus loin dans la réflexion pour essayer d'expliciter concrètemetn ce que fait la fonction sur le nombre x qu'elle prend en tant qu'objet.

Bon pour les rationnels c'est assez simple à conclure, nous prenons un rationnel et on nous redonne le même rationnel. Et maintenant pour un irrationnel que se passe-t-il?

Et bien on prend un irrationnel, on lui ajoute 1/2 puis on prend sa partie entière. Bon admettons que cela puisse être intéressante. Ensuite, nous faisons quoi? Et bien on va soustraire cette partie entière à un nombre. Mais quel est ce nombre exactement? Oh, tiens, c'est bizarre le nombre auquel nous allons soustraire quelque chose est égal à notre irrationnel toujours auquel nous ajoutons encore 1/2.
Mais si on prend un peu de recule sur le calcul que nous effectuons, on constante donc qu'on à un nombre qu'on va appeler X qui est égale à notre irrationnel auquel nous avons ajouté 1/2. Ainsi, X=x+1/2.

Ainsi, donc qu'effectuons-nous comme calcul concrètement? Et bien, on prend notre nombre X qui est un irrationnel (on ajoute un rationnel à un irrationnel, il y a fort à parier qu'il s'agisse encore d'un irrationnel) et que lui faisons-nous? On lui enlève tout simplement sa partie entière !

Mais du coup, que nous renvoie F(x) pour un x irrationnel? Simplement, la partie de X qui se compose seulement des nombre après la virgule. Sur un exemple, plus simple en prenant la même fonction mais cette fois-ci on travail sur les décimaux, cela nous reverrai si X était un décimal, simplement sa partie décimale!

Mais alors, avec la même réflexion que nous renvoie FoF(x) ??? Peut-on conclure que nous avons bien ce que nous cherchions c'est à dire que FoF(x)=x pour toutes les valeurs de x ?

Bon courage et désolé pour la recherche "inutile" mais bon, je cherche ne même temps que toi en quelque sorte ce qui est à mon sens le plus intéressant pour comprendre les modes de pensée à adopter face à un exercice avec l'espoir d'avoir la méthode qui permette d'aboutir mais bon cela ne fonctionne pas à tous les coup Smile.

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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Dim 2 Jan - 13:15

Je ne sais pas mais je crois que j'ai trouvé comment faire. Enfin ca me parait un peu simple pour le coup =O

Enfaite comme x E [0,1], il suffit de distinguer les cas x<1/2 et x>1/2 pour pouvoir simplifier la partie entière. =O
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: fonction bijective et continue en aucun point   Mar 4 Jan - 20:48

Bonsoir,

En effet, cela permet de calculer les parties entière sans trop de difficultés du coup. Comme quoi les solutions les plus simples sont souvent les meilleures.

Bonne continuation!

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