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 Problème d'intégrale

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Nakor

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MessageSujet: Problème d'intégrale   Ven 31 Déc - 15:39

Salut,

Dans le but de calculer In(x)=∫[0,π][cos(nt)/(1-xcost)]dt, je cherche à calculer I0(x), puis I1(x) et de trouver une relation de récurrence du 2nd ordre vérifiée par In.

Mais je n'arrive pas à calculer I0(x). Un petit coup de main ? Very Happy

Et bonne année si on se croise pas d'ici demain. Wink
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Nakor

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MessageSujet: Re: Problème d'intégrale   Ven 31 Déc - 17:35

Bon j'ai essayé le changement de variables u=tan(t/2), mais je suis pas trop sur.

u=tan(t/2)
du=0.5*(1+u²)dt
cost=(1-u²)/(1+u²) (c'est cool de tester des trucs, cette formule trigo je viens de la découvrir et de comprendre pourquoi le tan(t/2) arrange souvent bien les choses après quelques efforts)

I0(x)=∫[0,a][2/(1+x)u²+1-x)]du lorsque a tend vers l'infini.

I0(x)=2/(1-x)∫[0,a][1/(1+(1+x)/(1-x)u²)]du

I0(x)=2/(1-x)*sqrt((1-x)/(1+x))*[arctan(sqrt((1+x)/(1-x))u)]0a

I0(x)=π/(1-x) * sqrt((1-x)/(1+x))

Mais après pour en déduire I1(x), pas sur que j'ai calculé I0(x) par la bonne méthode pour ainsi pouvoir en déduire I1...


Edit: j'ai testé ça graphiquement avec geogebra en comparant l'aire sous la courbe à la fonction trouvée, ça a l'air de marcher.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Problème d'intégrale   Dim 2 Jan - 0:15

Bonsoir et bonne année 2011 avec la santé surtout et les réussite aux concours en supplément sans oublier d'ajouter le bonheur dans le lot Wink.

Pour le calcul de I0(x) je suis d'accord. Il faut sans doute que x soit entre -1 et 1 strictement si nous voulons pouvoir définir tout ça mais je pense que c'est le cas.

Ainsi, on pourrait entrer &/(1-x) sous la racine ce qui nous donnerait en simplifiant:

I0(x)=π*sqrt[1/(1-x²)]


Sinon, d'où te viens l'idée d'une récurrence d'ordre 2 pour cette intégrale? Car vu la forme, je ne pense pas qu'il y ait une récurrence de type Intégrale de Wallis vu qu'il n'y a pas de puissance mais une multiplication dans le cosinus. Mais peut-être as-tu creusé plus en profondeur ce qui te permet d'affirmer cela.

Enfin, il s'agit d'un calcul sorti de son contexte, y a-t-il un contexte à ce calcul? Car s'il s'agit d'une limite à calculer par exemple, il n'est peut-être pas nécessaire d'expliciter l'intégrale après tout (même si je ne distinguerai pas plus comment calculer la dite limite à l'heure actuelle mais bon).

Donc pour le moment, je t'avoue que je suis tout aussi dans le flou car le passage en complexe n'aboutit pas de mon point de vu et je ne vois pas comment calculer ne serait-ce que le terme suivant de cette suite car il me reste encore une limite.

J'ai par contre exprimer ceci:
I1(x)=I0(x) + 2/(1-x) * Lim ∫[0,A] u4/[1+[(1+x)/(1-x)]*u²] du

Mais bon cela ne donne rien de probant ainsi sachant qu'en plus, pour l'instant on travaille en supposant que toutes les intégrales ont un sens.

Bon courage!

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Nakor

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MessageSujet: Re: Problème d'intégrale   Dim 2 Jan - 8:23

C'est en fait un exercice guidé en 4 questions dans le but de calculer In(x). C'est de tête:

1) Calculer I0.
2) En déduire I1
3) Trouver une relation de récurrence entre In+2, In+1 et In
4) Calculer In

Et oui x est bien strictement compris entre -1 et 1 et différent de 0, j'ai oublié de le préciser.

J'avais aussi pensé à développer en série entière la fonction sous l'intégrale pour la question 1. Comme on peut intégrer terme à terme vu le domaine de définition de x et le rayon de convergence, on pourrait peut-être se ramener à deux sommes de série entière de termes généraux deux intégrales de Wallis ou un truc dans le genre.

J'ai pensé à ça puisque l'exercice suivant (un problème plutôt) fait intervenir dans quelques questions une intégrale de Wallis (celle de cos^n). Donc je pourrai peut-être utiliser directement les résultats de cet exercice.

Mais comme ça, ça me parait compliqué de calculer une telle somme.

Sinon je sais pas trop.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Problème d'intégrale   Mar 4 Jan - 20:35

Bonsoir,

Désolé pour le retard mais je retrouve à nouveau une connexion limitée (et oui, je n'ai toujours pas de net continu mais peut-être que dans la semaine mon opérateur va enfin trouver la solution, l'espoir fait vivre comme on dit).

L'idée de développer en série n'est pas mauvaise après tout mais je ne vois pas comment nous allons pouvoir nous en sortir avec la récurrence ce qui reste un problème en soit. Sachant que le dénominateur ne change pas, en gros il est intéressant de trouver une relation de récurrence directement sur la suite (Cos(nt)) mais je n'en trouve pas pour ma part.

En tout cas, j'ai épuisé mes anciennes techniques de calcul d'intégrale et je ne vois pas l'astuce de calcul à mon grand regret d'ailleurs. Je suis désolé en tout cas mais pour le coup, je ne vois pas comment aboutir.

N'hésite pas à proposer des pistes ou une solution si tu corrige ton DM un de ces 4.

Bonne continuation!

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