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 Fonctions réelles et dérivation

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Myrtille



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MessageSujet: Fonctions réelles et dérivation   Ven 14 Jan - 16:21

Bonjour!

Voilà mon petit problème =)

Soit I = [0,+inf[, on note N l'ensemble des fonctions f de I dans R qui verifient :
f(0)=0
quelque soit x E I f(x)>ou=0
f deux fois dérivable sur I
quelque soit x E I f''(x)>ou=0

Pour une fonction f E N on definit g(x)=f(x)/x de ]0,+inf[ dans R

soit f quelconque appartenant à N

montrer que f(x)<xf'(x) et en déduire que g croissant sur ]0,+in[ . Ca j'ai réussi facilement.
Montrer que f(x)+f(y)<ou= f(x+y) pour tout x,y appartenant à I². Et c'est la que je bloque sérieusement. Je crois que j'ai tout tenté... Convexité, croissance de g mais je n'arrive pas au résultat =S

On suppose ensuite que la limite de f' en + inf est +inf.
pour x>0 il faut montrer que (x/2)f'(x/2)<ou= f(x)-f(x/2) <ou= f(x)f(2) . Ici j'ai trouvé l'inégalité de gauche mais pareil je ne trouve pas celle de droite et je me décourage serieusement...
Il faut en déduire que g tend vers +inf

Merci pour votre aide!!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Fonctions réelles et dérivation   Sam 15 Jan - 18:22

Bonsoir,

Encore un problème fascinant!

J'ai déduit les mêmes choses que toi pour l'instant. La 1) se déduit par une étude de fonction tout ce qu'il y a de plus classique. Elle permet de déduire que g est croissante en effet.

Connaissant cela et au vu de la dernière question, il ne nous reste plus qu'à montrer que g n'est pas bornée pour pouvoir conclure en gros.

Donc le reste doit pouvoir montrer que g n'est pas bornée mais je ne vois pas encore tout à fait comment pour ma part. La deuxième question pour l'instant reste un mystère pour moi.

Et si on continue notre raisonnement, il s'avère que pour que notre fonction g puisse être non borné, il va falloir supposer que F' tend vers l'infini à l'infini.

Le fait que F soit convexe oblige toutes les cordes à être supérieur à la tangente et ce qui permet d'avoir accès à la première égalité de façon assez directe en prenant un taux d'accroissement appliqué à h=x/2. Mais pour ce qui est de la deuxième égalité, je sèche tout autant que toi pour l'instant. Et contre tout attente, le fait d'avoir une multiplication à droite me laisse assez perplexe.

Dans tout ceci ce qui me laisse perplexe aussi c'est le fait qu'on ne se serve pas de la question 2) ce qui est en soi illogique vu qu'il s'agit de la seule donnée inutile pour l'instant.

Sinon, après réflexion, la conclusion, tombe d'elle même avec la première inégalité pour la limite de g ce qui est encore plus troublant d'ailleurs. En effet, en divisant tout par x/2, puis en faisant tendre x vers l'infini, on trouve bien que g(x) doit être supérieur à l'infini lorsque x tend vers l'infini ce qui conclu.

Nous devons faire une erreur de raisonnement quelque part, je pense car conclure un exercice sans avoir tout démontrer cela me semble encore plus louche pour le coup.

Ton exercice me laisse pour l'instant assez perplexe comme tu le constates mais je vais continuer de chercher.

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions ou des pistes sur le sujet!

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Myrtille



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MessageSujet: Re: Fonctions réelles et dérivation   Sam 15 Jan - 18:28

Il y avait bien une erreur dans le sujet c'est f(x)-f(x/2)<ou= f(x) !! C'est plus évident maintenant pour montrer l'inégalité!
Par contre pour celle avec f(x) et f(y) je sèche vraiment...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Fonctions réelles et dérivation   Sam 15 Jan - 21:24

Bonsoir,

En effet la dernière inégalité devient trivial vu que F est une fonction positive. Et de surcroît cela conforte le passage à la limite dans l'inégalité pour conclure. Passage à la limite qu'on peut effectuer grâce à la croissance de G vu que cela permet de dire qu'il y a une limite fini ou infini et donc permet le passage à la limite.

Il ne nous reste plus qu'une inégalité à montrer en effet et en plus, elle ne doit pas mobiliser beaucoup de connaissance vu qu'on a tout utilisé dans l'exercice et que cette inégalité ne sert pas par la suite. C'est donc un résultat en soi qui se déduit pour lui même au vu de l'exercice.

Alors j'ai peut-être trouvé quelque chose pour boucler l'exercice en question. En effet, nous savons que la fonction F est convexe et donc que pour tout h>0, on a:

F'(x)< ou = [F(x+h)-F(h)]/h


Or F est une fonction positive

Donc -F(h)/h<0 poru tout h et on peut donc écrire que pour tout x, F'(x) <ou= F(x+h)/h

Du coup, si j'applique cela à notre inégalité 1), on a:

pour tout h>0 et pour tout x>0, F(x)< ou = x*F(x+h)/h et pour tout p>0 et pour tout y>0, F(y)< ou = y*F(y+p)/p

Donc si nous ajoutons les deux inégalités, nous arrivons à:

pour tout h et p >0 et pour tout x,y >0, on a: F(x)+F(y) < ou = x*F(x+h)/h + y*F(y+p)/p

À partir de là, je te laisse conclure, il y a deux cas à considérer pour être rigoureux.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

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Myrtille



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MessageSujet: Re: Fonctions réelles et dérivation   Sam 15 Jan - 21:44

Je ne vois pas vraiment quel cas considérer =S et puis si on met des conditions sur x ou y se ne sera plus vrai dans tous les cas... Et je dois ne comprend pas vraiment pour si -f(h)/h<0 alors f'(x)<ou= f(x+h)/h =/
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Fonctions réelles et dérivation   Sam 15 Jan - 21:52

Alors j'ai fait une erreur dans mes calculs, il n'y a pas de cas à considérer. Mais d'une manière générale faire nue disjonction de cas est toujours possibles x<y et y<x permet d'avoir tous les cas par exemple mais tout compte fait ce que je propose ne fonctionne pas ainsi.

Sinon, pour l'autre question, c'est plus simple, 2-1<2 car -1<0 tout simplement. On ajoute quelque chose de négatif, donc la somme des deux choses considérée est inférieur à seulement une seule chose.

En fait, on arrivait à cela pour tout x,y>0, F(x)+F(y) <ou= (x²+y²)/xy * F(x+y)

Et là, je pensais pouvoir conclure mais il y a un 2 qui arrive et qui me gêne car x²+y² <ou= 2*xy ce qui nous amène donc à F(x) + F(y) <ou= 2*F(x+y)

Frustrant mais le résultat ne tombe pas du coup car être inférieur au double de x n'implique pas d'être inférieur à x. Surtout que cela se montre de façon bien plus simple, juste par croissance de F, x<ou=x+y donc F(x)<ou=F(x+y) et de même F(y)<ou=F(x+y) donc F(x)+F(y)<ou=2*F(x+y).

Désolé pour la fausse piste ce n'était pas voulu. Donc je sèche encore sur le sujet pour l'instant.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Fonctions réelles et dérivation   Aujourd'hui à 9:06

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