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Bella_cuicui



Féminin Nombre de messages : 7
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MessageSujet: Suites adjacentes   Sam 5 Fév - 10:22

Bonjour , voila j'ai un petit exercice , simple d'apparence mais qui me pose problème , pourriez vous m'aider ?
Merci beaucoup.

(Un) est la suite définie par :
U1=1 et pour tout n ) 0 , Un+1=V(2+Un)

1- Démontrez par récurrence que (Un) est croissante et majorée par 2.

2- Trouver la limite de la suite (Un)

Merci Smile
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Blagu'cuicui
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Masculin Nombre de messages : 5009
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MessageSujet: Re: Suites adjacentes   Sam 5 Fév - 14:52

Bonjour,

L'exercice te donne la démarche pour y arriver pourtant. En effet, il te dit de faire une récurrence d'une part et te donne même la récurrence à faire en te disant que la suite sera croissante et majorée par 2.

Mais que signifie concrètement que (Un) est croissante ? Il faudrait avoir une relation concrète qu'on puisse manipuler pour passer d'un rang n à un rang n+1.

Bon courage et n'hésite pas poser tes questions surtout!

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Bella_cuicui



Féminin Nombre de messages : 7
Localisation : Paris
Date d'inscription : 27/10/2010

MessageSujet: Re: Suites adjacentes   Dim 6 Fév - 8:53

Il faut donc écrire

Au rang 1 U1=1 donc U1(2

On vérifier si l'inégalité est vraie au rang p, on le démontre pour p+1 ?

Up+1=V(2+up)
et après ?
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Blagu'cuicui
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Masculin Nombre de messages : 5009
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Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Suites adjacentes   Dim 6 Fév - 11:26

Bonjour,

Tu démarres le raisonnement par récurrence à première vu donc autant pour moi, je vais reprendre.

Le raisonnement par récurrence, on pose pour un entier naturel n donné, une propriété qui dépend des termes d'une suite et le but est de démontrer que cette propriété est vraie pour toutes les valeurs de n.

Ainsi, on pose pour un entier n donné, P(n) qui sera notre propriété.

Après la démonstration par récurrence repose sur l'image d'une échelle. En effet, il faut vérifier d'abord que tu as assez de barreau en bas de l'échelle pour pouvoir commencer à montrer. Donc on va vérifier que P(0) ou P(1) est vraie (tout dépend à partir de quel rang est définie la suite) si notre récurrence est simple ce qui est souvent le cas en terminale. Et ensuite dès qu'on peut au moins monter sur un barreau de l'échelle, il nous reste à savoir si on peut passer d'un barreau à l'autre. C'est à dire qu'on suppose que le barreau P(n) est construit et on cherche à savoir si on peut poser le pied sur le barreau P(n+1).

Et si c'est le cas pour n'importe quelle valeur de n, le passage d'un barreau à un autre et bien nous avons démontrer qu'on pouvait monter au premier barreau et qu'on pouvait passer d'un barreau à l'autre donc notre propriété P(n) est vraie pour toutes les valeurs de n tout simplement.

Ici, ce qu'on souhaite démontrer réside dans le fait que la suite est croissante. Pour cela, on pose pour un n donné, P(n):"Un+1>Un" cela signifie bien que notre suite est croissante.

Et maintenant, il faut vérifier si P(1) est vraie.
Puis après, il faut supposer que P(n) est vraie c'est à dire qu'on a bien Un+1>Un pour un certain n, et on va chercher à démontrer que P(n+1) est vraie c'est à dire que Un+2>Un+1.

Je te laisse donc revoir ce que tu as fait. N'oublie pas qu'on peut travailler sur des inégalité en ajoutant ou soustrayant quelque chose ainsi qu'on appliquant une fonction croissante ou décroissante (cela change ou non le sens de l'inégalité mais nous pouvons garder des informations toujours sous la forme d'une inégalité et c'est ce qu'on cherche à faire).

En espérant que la démarche soit plus claire ainsi et sinon n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Suites adjacentes   Aujourd'hui à 16:33

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