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 Propriété logarithme népérien

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atra27



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MessageSujet: Propriété logarithme népérien   Mer 23 Fév - 18:48

Bonjour,

J'ai quelques problémes pour comprendre un exercice que je n'ai pas réussi malgrés la correction.

En effet, ils semblent dans la correction utiliser un procédé qui n'apparait pas dans le cours, et que je n'arrive pas reproduire en décomposant.

A un moment, ils utilisent un raisonnement tel que:
ln(1/(x+racine(x²+1))) <=> ln(-x+racine(x²+1))

Je vois pas vraiment comment passer de l'un a l'autre, et ça n'est pas détaillé plus que sa dans la correction...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Propriété logarithme népérien   Mer 23 Fév - 21:41

Bonsoir.

Il est en effet impossible de passer de l'une à l'autre forme. Il s'agit d'une erreur de correction pour le coup ou une erreur de frappe comme on dit entre prof. Après tout nous sommes tous humain et faire des erreurs au tableau ou dans un document écrit cela arrive malgré les relectures.

En fait, ici, on cherche à utiliser la propriété suivante:

Pour tout réel x>0, Ln(1/x)=-Ln(x)

Cette propriété résulte d'ailleurs deux propriétés fondamentales du logarithme qui est:

Pour tout réel a et b, Ln(a*b)=Ln(a)+Ln(b) et Ln(1)=0

Si tu poses pour x>0, a=x et b=1/x, on retrouve bien la formule que ton professeur a utilisé avec une faute de frappe pour le coup.

Je te laisse donc corriger l'égalité qu'il devrait y avoir et n'hésite pas si tu as des questions en tout cas.

Bonne continuation!

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atra27



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MessageSujet: Re: Propriété logarithme népérien   Jeu 24 Fév - 10:28

Le probléme ici est que l'on cherche a démontrer que f(x)=ln(x+racine(x²+1)) est impaire (symétrique par rapport a 0)

Donc tout d'abord on montre que l'ensemble de définition est symétrique par rapport a 0.

Ici la fonction est définie sur R car |x|<x+1

Ensuite, on montre que f(-x)=-f(x)
donc:
f(-x)=ln(-x+racine(x²+1))
-f(x)=-ln(x+racine(x²+1))=ln(1/(-x+racine(x²+1)))
ici on utilise la propriété que -ln(A)=ln(1/A)

Et la, tout le reste de la démonstration tient debout du fait justement que
ln(1/(x+racine(x²+1))) = ln(-x+racine(x²+1))
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Propriété logarithme népérien   Jeu 24 Fév - 10:36

Bonjour,

C'est donc toi qui fait une erreur et tu l'as réécrite en plus.

Citation :
-f(x)=-ln(x+racine(x²+1))=ln(1/(-x+racine(x²+1)))

Ce "-" n'existe tout simplement pas car comme tu l'as pourtant bien écrit -Ln(A)=Ln(1/A) pour A>0.

Donc on a tout simplement: -f(x)=-ln(x+racine(x²+1))=ln(1/(x+racine(x²+1)))

Est-ce plus clair ainsi ?

Ensuite, il va falloir travailler avec ce qu'il y a à l'intérieur du logarithme en utilisant par exemple une expression conjuguée bien choisi.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Propriété logarithme népérien   Jeu 24 Fév - 12:55

Donc finalement on a juste a faire:

ln(1/(x+racine(x²+1)))= (-x+racine(x²+1))/((x+racine(x²+1))(-x+racine(x²+1)))
en dévellopant, on se retrouve avec ln((-x+racine(x²+1))/1)=f(-x)

On a donc bien prouvé que -f(x)=f(-x)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Propriété logarithme népérien   Jeu 24 Fév - 14:03

C'est tout à fait exact !

Il y avait juste une erreur due au "-" qui apparaissaient de je ne sais où tout simplement.

Je te laisse par contre corriger l'erreur de frappe de ton dernier message car l'égalité est vérifiée si nous appliquons le logarithme népérien aux deux côtés de celle-ci.

J'espère que tout ceci est plus clair, il faut juste être vigilent avec les signes dans les calculs car la majorité des erreurs viennent de là.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: Propriété logarithme népérien   Jeu 24 Fév - 18:51

Merci pour l'aide!
Sa m'a vraiment aidé a comprendre la chose la dessus Very Happy

C'est mon gros probléme les signes... C'est vrai que je devrai y faire plus attention.

Merci beaucoup! Smile
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MessageSujet: Re: Propriété logarithme népérien   Aujourd'hui à 16:04

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