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 Continuité et Adhérence

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rwano

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MessageSujet: Continuité et Adhérence   Mer 26 Oct - 21:00

Bonsoir,

J'ai deux exercices qui me posent soucis....

Tout d'abord, la continuité à montrer pour f(x) = x*sin(1/x) si x!=0 ou f(x)=0 si x=0 .
Avec la dérivée ça se montre facilement, mais on doit le montrer sans ça juste avec les définitions de continuité limite et ce qui va avec (sauf dérivé)
Mais je vois pas par où commencer du fait qu'on doit montrer la continuité en tout les points et non au cas par cas....


Ensuite on doit montrer que une fonction f admet une limite finie en x0 ssi
( |x'-x0|<delta , |x"-x0|<delta alors |f(x')-f(x")|<epsilon )

Je suppose qu'il faut partir sur la continuité , mais après ... panne sèche.

Si tu as des conseils, et je pense que tu en as, je suis preneur, parce que là...
Merci d'avance !
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Mer 26 Oct - 21:13

Bonsoir,

La notion de continuité n'est pas des plus simple à manipuler mais ce qu'il faut avoir en tête dans un premier temps serait le fait qu'une fonction est continue en un point si elle est continue autour de ce point et si la limite à gauche est égale à la limite à droite de ce point et est égale à la valeur de la fonction en ce point bien entendu.

La continuité autour du point nous permet d'avoir accès à la notion de limite car sans continuité, on ne peut pas faire tendre quelque chose. Je pense que cela est assez intuitif mais n'hésite pas à demander des précisions si tu ne comprends pas pourquoi il faut une continuité autour du point.

Ensuite, on arrive à la définition de la continuité en utilisant la notion de limite c'est à dire ue la limite à gauche est égale à la limite à droite et est égale à la valeur au point.

Ici, notre fonction est-elle continue en tout point de R\{0} (pour être correct, je devrais d'ailleurs dire sur R-* et sur R+* vu qu'on ne parle de continuité que sur un intervalle et non sur une réunion d'intervalle)? Si oui, pourquoi ?

Ensuite, cela reste une affaire de limite c'est à dire pourquoi la limite à gauche est égale à la limite à droite est égale à 0 (la valeur au point).

Bon courage!

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rwano

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Mer 26 Oct - 21:43

Du coup j'ai envie d'encadrer
-1<=sin(1/x)<=1
-x<=f(x)<=x

Donc en 0, lim f(x) = 0 (théorème des gendarmes)
Mais on sait aussi que f(0) = 0 donc on peut en déduire que f(x) est continue en 0.

Ca suffirait dont à montrer la continuité ?
Bien sur avec la bonne rédactions et les epsilon qui vont bien, mais l'idée est là, n'est ce pas ? Very Happy


Sinon pour ma deuxième question, il faut bien partir sur la même base que la démonstration pour la continuité ?
Je partirais bien là dedans mais il se fait tard, je le ferais demain, mais si l'idée est bonne, du moins ressemblante, je foncerais !

Merci pour l'aide ! Razz
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Mer 26 Oct - 22:25

Du coup j'ai envie de dire que tu as fait une erreur classique.

EN effet, nous sommes autour de 0, il n'est pas rare d'avoir un x négatif, non ? Du coup, la multiplication par x nous pose de gros soucis.

Cependant, comment s'en sortir surtout lorsqu'on cherche une limite nulle ?

Pour l'autre exercice, je n'ai pas encore réfléchi pour l'instant mais on dirait bien en effet qu'on part sur la même base que la continuité en un point sauf qu'on change la caractérisation en prenant l'idée du point d'adhérence (c'est à dire qu'on s'aglutine à epsilone près autour de la valeur exacte).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Mer 26 Oct - 22:44

Ca ne change rien si on prend un x négatif :
-1 < qqchose < 1

Si x=-y on a -x > qqchose >x => y > qqchose > -y
Si x=y on a -x < qqchose < x => -y < qqchose < y
C'est la même chose...

Je vois pas en quoi ça change vu que l'on fait ça sous valeur absolue si je puis dire ! Question
Je comprends ta remarque, mais dans mon cas, je ne vois pas bien sa place! ...
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 11:02

Bonjour,

Je suis tout à fait d'accord qu'il s'agit du même résultat que x soit positif ou que x soit négatif. Le soucis étant que lors de la multiplication si tu souhaite être rigoureux, tu devrais écrire ce que tu viens de faire au message précédent.

Sinon, ta dernière remarque est judicieuse et je ne comprend pas pourquoi, tu ne l'utilise pas directement. A moins que tu ne te souviennes pas de la propriété suivante:

Si Lim |F| = 0 Alors Lim F = 0

Du coup, tu n'as plus de disjonction de cas et reste totalement sur un encadrement brut en quelque sorte.

Ma remarque était plus dans un sens de rigueur que pour t'embêter plus que cela.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 12:18

J'y ai pensé que plus tard en fait ! Smile

Du coup on doit montrer la continuité sur R de cette fonction avec les epsilons.
Or ce que je viens d'écrire avec l'encadrement ne montre que la continuité en 0, il y aurait une méthode pour "généraliser" cette continuité. En plus on m'a dit qu'il ne fallait pas de cette façon, mais vraiment avec les définitions, mais du coup je ne sais pas par où commencer. Un point de départ ?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 14:33

Pour la continuité en 0 nous l'avons seulement si tu as déjà montré la continuité ailleurs vu que tu calculs une limite. En effet, comme je te l'avais expliqué, la notion de limite nous oblige à avoir une continuité de la fonction autour du point limite. Sinon, nous pourrions démontrer tout et son contaire vu que si la fonction n'est pas continue autour de 0, la notion de limite n'existe pas. Car on fait tendre x vers 0 sur l'ensemble des réelles. Donc F(x) doit avoir un sens lors de ce passage à la limite ce qui signifie bien qu'il y a continuité autour du point.

Maintenant, pour montrer la continuité partout sauf en 0, nous pouvons revenir à la définition avec les epsilon, pourquoi pas. Mais il y a peut-être plus simple ici. Que connais-tu comme propriétés liées aux limites de fonction (sommes, différence, produit, quotient, ....) ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 17:39

J'aurais bien dit une histoire de produit et composition de fonctions... mais la prof vient de me dire qu'il ne faut pas partir dans cette direction et bien vers la définition:

On dit que f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point x0 de I.

Du coup il va falloir que je montre x-x0<delta => |f(x)-f(x0)|<epsilon
(quantificateurs trop long à écrire là)

|x.sin(1/x) - x0.sin(1/x0)| < epsilon
|x.sin(1/x)| + |x0.sin(1/x0)| < epsilon

D'où l’intérêt de prendre |x.sin(1/x)| < epsilon /2
[Je ne pense que résoudre l'exercice en remontant dans la démo soit une bonne idée, mais je ne vois que ça ]

Pour l'instant je pars là dedans, j'espère ne pas dire de bêtises....
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 20:11

Fini !

Du coup j'ai :

-1<=sin(1/x)<=1
f(x)<=|x|
f(x0)<|x0|

Par inégalité triangulaire on a :

f(x)-f(x0) < |x+x0|

D'après la définition de continuité on a
|x-x0|<delta
d'où
|x-x0|+2*|x0|< delta + 2*|x0|
|x+x0| < delta + 2*|x0|

Et donc d'après la définition pour tout epsilon, il existe un delta > 0 tel que pour tout x de R si on a
|x-x0|<delta alors |f(x)-f(x0)| < |x+x0| < delta + 2*|x0| = epsilon

D'où f est continue sur R.

Cela marche t'il ?
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 20:14

Bonsoir,

Ok pour le retour à la définition si c'est l'idée de l'exercice pourquoi pas après tout. Mais sinon, dans un cadre général pour montrer des continuité de fonction, il suffit de dire qu'il y a continuité par produit et par composition sur R+* et sur R-*.

Pour revenir à la définition, il va donc falloir prendre un x0 quelconque et montrer que pour tout x proche de x0 (ke fameux delta qui donne le fait que nous restons dans une boule définie) toutes les images restent proche de l'image de x0.

Donc vu qu'il y sur R, une valeur obsolue, il faut bien le faire en deux temps comme tu le proposes. Je te proposerais même de te placer distinctement sur R+* et sur R-* quitte à le faire deux fois ou dire qu'on agit de la même façon sur l'un et sur l'autre intervalle mais au moins, tu es sûr de faire attention au signe au cas où.

Bon courage!

[edit] Il y a une erreur, car lorsque delta sera très petit (c'est à dire tendra vers 0), epsilon ne tendra pas vers 0. Donc ton epsilon dépend de la grandeur de 2*|x0| ce qui met en défaut le fait que epsilon devrait pouvoir être le plus petit possible.

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 20:24

Du coup le 2*|x0| était un élan d'espoir...
Je ne vois plus quoi prendre du coup. No

A quel moment de ma démo il y a un problème ? :S
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 20:47

En fait, là où tu devrais voir l'erreur est à la fin surtout.

En effet, lorsqu'on l'écrit la définition commence par "quelque soit epsilon"; en conséquence de quoi, si tu poses à la fin epsilon= delta +2*|x0|, il y a un problème car epsilon ne peut plus être aussi petit qu'on le souhaite, on reste au maximum dans une bulle de centre F(x0) et de rayon 2*|x0|, imagine que je prenne x0=10 000 (continuité en 10 000, rien de bien étonnant en soi) et bien, notre epsilon devient énorme et donc la fonction pourrait être totalement discontinue à souhait.

Il faut donc changer de point de vu car ici ta majoration est trop brute, il va falloir trouver plus fin pour t'en sortir. Le mieux serait de ne pas partir sur de la valeur absolue de la différence de F(x) et de F(x0). Donc essaie de majorer F(x)-F(x0) dans un premier temps et nous pourrons voir ce qui se passe concrètement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 21:03

Si on cherche à majorer cela on aura :

x*sin(1/x) - x0*sin(1/x0) <= x-x0
Si on part sans valeurs absolues et qu'on majore vraiment !

F(x)-F(x0)<= x-x0

Je ne vois pas quoi en déduire à part que ça recoupe la définition de continuité mais aussi de limite
(Je hais ce Semestre, ce qu'on voit ne me plait vraiment pas)
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 21:12

Ok! Simple mais efficace en effet.

Maintenant, pouvons-nous majorer x-x0 ? Si c'est le cas, nous avons une majoration qui peut fonctionner. Il faut se faire confiance et laisser faire de temps en temps.

En tout cas, c'est si nous sommes sur R+* vu que tu n'as pas changé les inégalités initiale mais ça serait déjà une bonne chose d'avoir un début de résolution, qu'en penses-tu ?

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 21:16

Blagu'cuicui a écrit:

En tout cas, c'est si nous sommes sur R+* vu que tu n'as pas changé les inégalités initiale mais ça serait déjà une bonne chose d'avoir un début de résolution, qu'en penses-tu ?

Surtout quand on doit faire ça pour demain, oui je pense qu'il serait temps . Smile

F(x)-F(x0)<= x-x0 < delta
Mais il faudrait passer par les valeurs absolues du coup, sinon ça ne marche.
Du coup on supposerait que epsilon= delta ?
Original ! Smile
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 21:31

Mais pourquoi repasser à la valeur absolue c'est une obsession Wink.

Si |x-x0|<delta, alors que savons-nous de x-x0 ?

Du coup, même plus besoin de la valeur absolue.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 21:36

Blagu'cuicui a écrit:

Si |x-x0|<delta, alors que savons-nous de x-x0 ?

On sait que x-x0<delta
Ce qui revient a ce que j'ai dit... en effet absolue sert à rien ^^

Mais du coup la démo s’arrête là ?
On dit ça (avec tout ce qui va avec évidement) et donc f(x)-f(x0) < x-x0 < delta = epsilon sur R*+
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 22:03

Ok pour la mojoration et maintenant la minoration, tu t'en sors comment ?

En effet, il est bien question de valeur absolue tout de même en bout de course, il faut donc minorer aussi l'expression sans les valeurs absolue dans un premier temps. Le but étant de pouvoir conclure ensuite avec la valeur absolue pour avori une bonne rédaction.

Tu verras que pour la partie négative, la réflexion est la même ce qui va te faciliter la vie je pense.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 22:11

- epsilon = -delta<-(x-x0) < f(x)-f(x0) < x-x0 < delta = epsilon (J'ai déduit ça mais la rédaction sera là ! )
Mais bizarrement cela me donne envie de repasser par la valeur absolue
|f(x)-f(x0)| < epsilon

On a montrer ici R*- et R*+
En 0 ca se montre après et du coup on conclut après ça ?
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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 22:23

Nickel !!!

Le passage à la valeur absolue n'est pas utile comme tu le ressens mais cela permet de finir la preuve sous une "belle" écriture.

Ensuite, vu que nous avons la continuité partout sauf en 0 la notion de limite est valable partout et donc nous pouvons conclure sans aucun problème avec ta réflexion du début sur les limtes.

Bon courage pour la suite et j'espère que les démarches abordées sont claires malgré l'heure tardive dira-t-on!

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MessageSujet: Re: Continuité et Adhérence   Jeu 27 Oct - 22:39

Oui il est tard, mais merci pour l'aide, je comprends un peu mieux comment majorer sans se prendre la tête ou du moins comment faire ce genre d'exercice sans allez chercher midi à quatorze heure !

Un grand Merci et bonne nuit du coup ! Smile
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Continuité et Adhérence
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