Extrema locaux et globaux

Bonjour,

J'ai un exercice qui me posent soucis.

f(x,y,z) = xy + exp (y²+2yz-4y-4z) sur l'ensemble { (x,y,z) / x>=0, y>=0, z>=0, x+y+z=< 3 }

On doit trouver les extrema de f !

J'ai fait les dérivées partielles pour arriver au Gradient, et pour trouver les extrema il faut chercher les valeurs pour lesquelles le gradient est nul.

Sauf que ça ne marche est donc on en déduit (je suppose) qu'il n'y a pas d'extrema dans l'ensemble, et que du coup on va se pencher sur les bornes de l'ensemble.
D'après l'ensemble donné j'ai généralise par x,y,z appartienne à [0,3] et du coup on part dans la matrice Hessienne (que je n'écrirais pas tellement elle est moche et longue)

Mais là je n'arrive pas à savoir quoi faire...
Je pensais partir en remplaçant x,y,z à tour de rôle par 0,3 et voir la tête de la matrice Hessienne pour trouver les points recherchés, mais est ce que cela est la bonne démarche !

Merci de tes précisions.

Bonjour et désolé du "retard" mais en ce moment le temps me manque un peu (remplissage des bulletins et pas mal de correction à faire).

Alors la démarche est bonne jusqu'au gradiant. En effet, jusque là la démarche est tout à fait exacte et ensuite ta remarque est encore juste sur le fait qu'il va falloir rechercher s'il y a des extremum sur le bord. Cependant, il y a un hic dans la suite car tu ne peux pas dire que le bord se résume aux extrémités de l'intervalle [0;3]. En effet, nous sommes dans l'espace ici (et il s'agit de la même remarque pour n'importe quelle dimension) et sauf erreur il ne s'agit pas d'un pavé droit que tu as sous les yeux. Du coup, tu ne peux pas paramétrer de façon brute en considérant que chaque paramètre se balade chacun leur tour sur [0;3].

Il faut vraiment paramétrer le bord et il s'avère que cela est assez compliquer sur des inégalités en fait. Connais-tu la notion d'extrema liés ? Car ici, c'est ce qu'il faudrait utiliser si mes souvenirs sont bons car nous sommes dans le cas de recherche d'extrema sous contrainte d'inégalité (ou d'égalité, cela aurait été de même et cela aurait même été plus simple en soi) c'est à dire que les extréma ne vont pas être déterminé que par la forme de la fonction mais ils vont être lié (d'où extram lié) à la forme de la nappe (plan, courbe, ...) qui détermine le bord du domaine d'étude.

Bon courage!