Maths Cuicui, l'envolée mathématique

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 dm

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neon



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MessageSujet: dm   Mar 27 Déc - 20:55



Salut !

J'aurai besoin d'aide pour comprendre mon Dm, je ne cherche pas forcément a le réussir ( la moyenne sa pourrait être pas mal) mais plus a comprendre donc si on pouvait me détailler les explications et le raisonnement sa serai cool. Wink

EX 1

je ne sais pas vraiment comment je pourrais commencer mais est-ce que cela revient a dire que :

z solution de z'+λz=z ( équivaut ) a z'+λz=z scratch

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MessageSujet: Re: dm   Mar 27 Déc - 21:24

Bonsoir,

En fait ton exercice 1 est l'étude d'une équation différentielle (non linéaire car si on développe, on aurait un terme en y²) qu'on ne sait pas résoudre de façon classique. En effet, elle n'est pas dans une forme habituelle dont on connaîtrait directement une solution.

Par conséquent, on va essayer de chercher une équation intermédiaire vérifier par une fonction intermédiaire définie à l'aide de l'équation initiale. C'est à dire qu'on va faire ce qu'on appelle un changement de variable car ici ce qui varie c'est y pour la fonction z. En effet, z dépend bien de la fonction y.

Cependant, poser notre fonction auxiliaire n'a d'intérêt qui si on arrive à déduire toutes les fonction z et ainsi pouvoir en déduire par construction toutes les fonction y. Ainsi, il nous faut savoir quelle équation vérifie notre fonction z.

Or ici, on est sympa (bon ok, c'est le cas quasiment dans tous les exercices de terminale lorsque les équations différentielles ne sont pas classique), on te donne la nouvelle équation que vérifierait notre fonction z lorsque y est solution de l'équation (E).

Mais pour être sûr qu'on aura à la fin toutes les fonction y possible, il nous reste à montrer qu'il y a bien équivalence entre ses deux équations différentielles lorsqu'on définie z par la manière proposée.


Enfin, lorsqu'on dit que 2 est solution de l'équation x-2=0, tu ne te poses pas la question de savoir si c'est bien le fait que si je remplace x par 2 cela vérifie l'égalité, j'imagine. Et bien c'est exactement la même chose pour des équations différentielles (car cela reste des équations tout simplement mais on travail sur des fonctions et leur dérivée ici).

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 15:26

Bonjour

Je ne suis pas sur de ma réponse mais que dit tu de sa :

y solution de (E)
( équivaut ) a y'= λ(1-y)y
( équivaut ) a y'= z'+λz (1-y)y [car d'après l'énoncé z'+λz=λ]
( équivaut ) a λ(1-y)y= z'+λz (1-y)y
( équivaut ) a λ= z'+λz
( équivaut ) a z solution de z'+λz= λ

Désolé je n'ai pas trouvé le signe d'équivalence...
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 15:42

Bonjour,

Tu te trompe dès la deuxième ligne en fait. En effet, tu donnes du sens à lambda alors que tu ne sais pas encore que z vérifie l'équation différentielle vu que c'est exactement ce qu'on cherche à montrer en fait.

Pourquoi, ne pas partir du changement de variable: z=1/y donc que vaut y en fonction de z ?
Du coup, que vaut y' en fonction de z et z' ?

Ensuite, continue ton raisonnement à partir de ta première ligne ne remplaçant y et y' par ce que tu auras trouvé.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 16:20

D'accord j'ai fait comme tu me la dit et j'ai trouvé sa :

d'abord, on a z=1/y donc y=1/z
z'= -y'/y² y'=-z'/z²
Donc

y solution de (E)
( équivaut ) a y'= -z'/z²
( équivaut ) a y'= -(-y'/y²)/(1/y)²
( équivaut ) a y'= (y'/y²)*(y²/1)
( équivaut ) a y'= y'
( équivaut ) a y'= λ((1-y)y

on a bien y solution de (E) et donc z solution de z'+λz=λ

Est-ce bon ?

Merci
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 16:41

Toujours pas rigoureux en fait mais il n'y a plus d'erreurs de logique ce qui est déjà une très bonne chose.

On a comme base celle là:

y solution de (E)
( équivaut ) a y'= λ(1-y)y

Et c'est là que tu changes dans toutes l'égalité y et y' en fonction de z et z'.

<=> z solution de l'équation ???


Bon courage!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 17:25

Ok je recommence, j'obtiens cela :

y solution de (E)
( équivaut ) a y'= λ(1-y)y
<=> -z'/z²= λ(1-1/z)1/z
<=> (-z/z²)/(1/z)= λ(1-1/z)
<=> (-z'/z²)*(z/1)= λ(1-1/z)
<=> -z'/z= λ(1-1/z)
<=> -z'/z= λ-λ/z
<=> -z'/z= (λz-λ)/z
<=> -z/z= λz-z
<=> λ= z'+λz
<=> z solution de z'+λz=λ

Alors ?
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 17:40

Nickel !!!

Pour être un peu plus rigoureux, on pourrait déjà écrire comme suit (car nous sommes avec un raisonnement par équivalence donc il faut essayer d'être rigoureux):

y solution de y'= λ(1-y)y
<=> z=1/y est solution de -z'/z²= λ(1-1/z)1/z
<=> z est solution de (-z/z²)/(1/z)= λ(1-1/z)
<=> z est solution de (-z'/z²)*(z/1)= λ(1-1/z)
<=> z est solution de -z'/z= λ(1-1/z)
<=> z est solution de -z'/z= λ-λ/z
<=> z est solution de -z'/z= (λz-λ)/z
<=> z est solution de -z/z= λz-z
<=> z est solution de λ= z'+λz
<=> z solution de z'+λz=λ

Bonne continuation pour la suite!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 18:27

Ok d'accord donc j'ai eu bon merci

Pour la question 2, j'ai fait comme cela :

z solution de z'+λz=λ
<=> y solution de (E)
<=> z'+λz=λ <=> z'=-λz+λ
<=> f définie par f(x)=Cexp(-λx)+1 avec C appartenant a R

Je suis pas sur de ma réponse...

Merci
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 21:29

Là, tu as trouvé l'ensemble des solutions z de l'équation que vérifie cette équation.

Par contre, n'oublie pas de revenir à l'équation (E) dont on cherche les solutions car c'est le but de l'exercice; la fonction z n'est qu'un intermédiaire qui va te permettre de conclure.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 21:57

Citation :
Là, tu as trouvé l'ensemble des solutions z de l'équation que vérifie cette équation.

Désolé, je n'ai pas très bien compris...


Citation :
Par contre, n'oublie pas de revenir à l'équation (E)

quand tu dis cela c'est-a-dire trouver l'ensemble des solutions a partir de cette équation ?
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 22:02

Ce que tu as fait c'est ceci:

Citation :
z solution de z'+λz=λ

<=> f définie par f(x)=Cexp(-λx)+1 avec C appartenant a R

Or ton F dans ton équivalence vérifie quelle équation différentielle ?

As-tu répondu à la question posé ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 22:15

z solution de z'+λz=λ
<=> y solution de (E)
<=> y'=λ(1-y)y
<=> y'= z
<=> f définie par f(x)=Cexp(-λx)+1 avec C appartenant a R

Alors qu'en dit-tu ?
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 22:24

J'en dis que tu n'es pas dedans ou trop dedans ce qui t'empêche de voir la cohérence des deux questions.

Relis l'énoncé, les questions et surtout le lien entre z et y car là tu as écrit des choses rigoureusement totalement incorrect.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 22:39

Citation :
Relis l'énoncé, les questions et surtout le lien entre z et y car là tu as écrit des choses rigoureusement totalement incorrect.

scratch scratch scratch

Alors la je ne vois pas comment je pourrais continuer...Aurait tu une indication a me donner pour que je puisse avancer ?

Peut-être que au lieu de
Citation :
<=> y'= z
je devrais mettre : <=> y'=z'
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 22:42

Hmmm, que vaut z en fonction de y d'après l'énoncé ?

Du coup, si on connais toutes les fonctions z comment en déduire toutes les fonctions solution de (E) ?

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 22:50

z=1/y d'après l'énoncé

Donc pour trouver les fonctions solution de (E), on fait :

z=1/y ==> l'ensemble des fonctions z sont les fonctions de la forme Cexp(-λx)+1
y=1/z ==> l'ensemble des fonctions y sont les fonctions de la forme 1/Cexp(-λx)+1

Alors ??

Merci
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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 22:58

Nickel !!!

En fait, on est passé par la fonction z pour avoir une équation différentielle qu'on résout de façon classique (solution de l'équation homogène + solution particulière).

Et vu qu'on a un lien entre les solutions de la deuxième équation différentielle et les solutions de la première équation, on peut donc conclure si on a l'équivalence que nous avons déjà démontré en 1 à savoir que si l'une est solution de l'équation différentielle initiale alors l'autre est solution de la deuxième équation.

Du coup, on arrive à conclure de façon directe.

Est-ce que tu comprends mieux la démarche de l'exercice ?

Bon courage pour la suite du DM.

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MessageSujet: Re: dm   Ven 30 Déc - 23:03

Oui je voit ou tu veux en venir, la difficulté m'est venu du fait que l'on ai jamais eu affaire a ce genre d'exercice en classe... Mad

La suite je la ferais demain je suis un peu fatigué mais merci beaucoup pour l'aide que tu ma apportée... Wink
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MessageSujet: Re: dm   Sam 31 Déc - 12:23

Bonjour,

Il est normal que tu n'es pas fait ce genre d'exercice car en fait, il s'agit d'un exercice où tu as tous les savoirs en main pour le résoudre la preuve Smile.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: dm   Sam 31 Déc - 19:27

Bonsoir,

J'ai commencé l'exercice 2.

Pour la 1. a) j'ai pensé a utiliser la récurrence et j'ai fait comme cela:

J'ai mis ² a la place de l'exposant n car je n'ai pas trouver comment faire autrement.

Soit la proposition à démontrer P(n) : pour tout x appartenant a [0;1[ , f(x)=x*(1-x²)/(1-x)

Étape d'initialisation :

On f(0)=0*(1-0²)/(1-0)
=0
Ainsi P(0) vraie

Étape de transmission :

Soit x appartenant a [0;1[ . On suppose P(n) vraie
Or pour x=0, f(x)=x*(1-x²)/(1-x) <1 implique que pour tout x<1 f(x)=x*(1-x²)/(1-x)

Conclusion:

Pour tout x<1 P(n) vraie.

Bon je vous le dis franchement je ne pense pas avoir bon mais bon on sait jamais... Razz
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MessageSujet: Re: dm   Dim 1 Jan - 11:07

Bonjour et bonne année 2012 !

UNE RÉCURRENCE NE SE FAIT QUE SUR DES ENTIERS !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!


donc c'est n=0 si tu veux mais peut-être qu'il y a plus simple que cela à moins que tu n'ais jamais vu cette formule à ce moment là, nous allons la démontrer.

Peux-tu factoriser 1-xn ?

Bon courage!

ps: pour les exposants, il faut sélectionner ce que tu souhaites mettre en exposant puis aller dans "autres" puis cliquer sur "exposant". Même démarche pour les indices mais avec "indice".

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MessageSujet: Re: dm   Dim 1 Jan - 14:26

Bonjour et bonne année 2012 a toi aussi !

Pour factoriser 1-xn je fais comme cela :

1-xn
<=> xn(1/xn - 1)
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MessageSujet: Re: dm   Dim 1 Jan - 21:15

Bonsoir,

Dans ta factorisation, tu sous-entends que x n'est pas nul ce qui n'est pas forcément le cas.

Essayons de commencer doucement à ce moment là:

1) Factorise par 1-x, la quantité: 1-x²
2) Factorise par 1-x, la quantité: 1-x3

Déduire la factorisation de 1-xn par 1-x

Bon courage!

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MessageSujet: Re: dm   Dim 1 Jan - 21:59

Bonsoir

1) 1-x²<=>1²-x² donc (1-x)(1+x)

2)1-x3<=>13-x3 donc (1-x)(1²+x+x²)

donc 1-xn<=>1n-xn donc (1-x)(1n-1+x+xn-1)

Alors ???
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MessageSujet: Re: dm   Aujourd'hui à 16:34

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