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 Etude d'une fonction

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CarolinaL



Nombre de messages : 5
Localisation : France
Date d'inscription : 10/03/2012

MessageSujet: Etude d'une fonction   Dim 11 Mar - 9:54

Bonjour, J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est correct.
Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0;+l'infini] par f(x)=(x²+1)/(x²+x+1). Et C sa courbe représentative.
1.a) Etudier les variations de f sur [0;+l'infini]
J'ai trouvé : f'(x)=(x²-1)/((x²+x+1)²)
f'(x) est du signe x²-1 donc f'(x) négative sur [0;1] et positive sur [1;+l'infini]. Donc f décroissante sur [0;2/3] et croissante sur [2/3;+l'infini]

b)Montrer que C admet une droite asymptote.
J'ai trouvé que C admet une asymptote horizontale d'équation y=1 mais je ne sais pas trop comment le démontrer.

Merci d'avance pour l'aide.
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Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Etude d'une fonction   Dim 11 Mar - 11:34

Bonjour,

La dérivée est exacte et l'analyse sur celle-ci aussi. Cependant la conclusion n'est pas exacte.


En effet, lorsqu'on dit qu'une fonction est croissante sur [....], ce qui varie est la valeur de x et s'est donc l'image par F qui est de plus en plus grande lorsque x varie. Donc la fonction F est croissante non pas sur les valeurs de l'image mais sur les valeurs prises par la variable x.

Est-ce que tu comprends l'erreur dans la conclusion. Il s'agit d'une erreur de logique ici et cela reviendrait à dire par exemple qu'une voiture a eu une accélération sur [0;100] en kilomètre au lieu de dire qu'elle a eu une accélération de 0 km à 100 km SUR 15 km de trajet (donc sur l'intervalle [0;15] (je démarre la voiture ; j'arrive à 15 km) ce qui correspond bien à la variable initial à O km parcouru j'aurai 0 km au compteur et à 15 km parcouru j'aurai 100 km au compteur).

Pour l'asymptote, il faut revenir à la définition d'une droite asymptotique à une courbe. En effet, cela signifie qu'à l'infini (lorsque x tend vers l'infini) les deux courbe se rapproche de plus en plus l'une de l'autre c'est à dire que la différence entre les ordonnées, lorsque les abscisses tendent vers l'infini, tend vers 0.

On a donc à montrer que la différence entre F(x)- (a*x+b) tend vers 0 (x |-> a*x+b étant l'équation d'une droite). ET si on trouve une valeur de a et une valeur de b qui permettent d'avoir une telle limite et bien nous aurons bien une asymptote à la courbe.

Maintenant comment trouver les valeurs de a et de b si elles existent ?

Et bien si on suppose que ses valeurs existe, nous pouvons dire que la différence temps vers 0 c'est à dire qu'on peut écrire cela:

F(x)- (a*x+b) tend vers 0


En l'infini, la limite ne changera pas si je divise la quantité par x (on a le droit de le faire car nous sommes vers l'infini et donc nous divisons pas par 0) ? En effet, d'après la propriété de la multiplication le produit de deux fonction tendant vers 0 tend lui aussi vers 0. Vu que x|->1/x tend vers 0 à l'infini, nous avons bien le produit de deux fonctions tendant vers 0.

Que vaut [ F(x) - (a*x + b) ] / x sans remplacer F(x) par sa valeur juste en éclatant le quotient en une somme et différence de quotient ?
D'après la limite de cette quantité (égale à 0) que peut-on dire de la limite de F(x)/x ?
Conclure sur la façon de trouver la valeur de a.

Connaissant a, que peut-on dire de la limite de F(x) - a*x ?
Conclure sur la manière de trouver la valeur de b.

Voici une démarche qui permet de trouver l'équation d'une droite asymptotique (la démarche ne fonctionne pas pour les courbes asymptotiques mais l'exercice vous guidera s'il s'agissait d'autre chose que d'une droite asymptotique).

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si la démarche proposée n'est pas claire!

_________________
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CarolinaL



Nombre de messages : 5
Localisation : France
Date d'inscription : 10/03/2012

MessageSujet: Re : Etude d'une fonction   Dim 11 Mar - 18:34

Oui grâce à vos explications je comprend mieux.
Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer tout ça, ça va bien me servir.
Bon courage à vous!
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MessageSujet: Re: Etude d'une fonction   Aujourd'hui à 4:05

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