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 Integrale

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neon92



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MessageSujet: Integrale   Jeu 17 Mai - 16:10

Bonjour

J'ai un exercice sur les intégrales a faire et il y a des question que je n'arrive pas a résoudre...

Voici l'énoncé : http://hpics.li/edb8ac8

Voila ce que j'ai fait :

1. a) f(x) = exp(-x)/2-x

f(x) = u/v avec u= exp(-x) donc u'=-exp(-x)
v = 2-x donc v' = -1

f'(x) = (u'v-uv')/(v)²

f'(x) = (-exp(-x)*(2-x)-[exp(-x)*(-1)])/(2-x)²

f'(x) = (-2exp(-x) + x*exp(-x) + exp(-x))/(2-x)²

f'(x) = (exp(-x)*(x-1))/(2-x)²

pour tout x compris entre 0 et 1 on a f'(x) inférieure ou égale a 0 donc f décroissante dans l'intervalle [0;1]

b) pour la celle-ci j'ai calculer les f(x) pour x=0 et x=1 et on trouve :

f(0) = exp(0)/2 = 1/2
f(1) = exp(-1)/1 = exp(-1) = 1/exp(1)

donc pour x compris entre [0;1] f(x) est compris entre [1/e;1/2]

2. a) c'est la que je bloque je n'arrive pas a trouver J = 3-4/e

je fait :

J=∫(de 0 a 1) u'(x)v(x) dx (formule d'intégration par partie)

J= [u(x)v(x)](de 0 a 1) - ∫(de 0 a 1) u(x)v'(x) dx

avec u'(x) = exp(-x) u(x) = exp(-x)
v(x) = (2+x) v'(x) = 1

donc on a : J=[exp(-x)*(2+x)](de 0 a 1) - ∫(de 0 a 1) exp(-x) dx

J = 3exp(-1) - 2exp(0) - [exp(-x)](de 0 a 1)

Je trouve a la fin J= 2exp(-1) -exp(0)

J'ai du faire une erreur quelque part...

Merci
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Integrale   Jeu 17 Mai - 16:20

Bonsoir,

La partie liée à l'étude de fonction est juste. Pour une question de rigueur, tu pourrais presque dire:

0<x<1
Donc F(0)>F(x)>F(1) vu que F est décroissante.
D'où la conclusion.

Mais bon, ta démonstration est juste, il manque juste le fait que la fonction est décroissante pour être sur que le calcul des extrémités de l'intervalle suffit.

Pour l'intégration par partie, l'erreur est "toute bête":

Citation :
u'(x) = exp(-x) u(x) = exp(-x)

Peux-tu dériver u(x) pour tout x dans [0;1] ?
Retrouves-tu la fonction u' ?

Je te laisse corriger l'erreur et cela devrait être juste du coup.

Bon courage!

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neon92



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MessageSujet: Re: Integrale   Jeu 17 Mai - 17:19

Ah oui des erreurs comme sa sa pardonne pas heureusement que ce n'était pas le jour de l'épreuve enfin bref... Smile

On a donc :

u'(x) = exp(-x) u(x) = -exp(-x)
v(x) = (2+x) v'(x) = 1

et donc on a :

J=[-exp(-x)*(2+x)](de 0 a 1) - ∫(de 0 a 1) -exp(-x) dx

J = -3exp(-1) + 2exp(0) - [exp(-x)](de 0 a 1)

J = -3exp(-1) + 2exp(0) - exp(-1) +exp(0)

J = -4exp(-1) + 3exp(0)

J = 3 - 4/e

Pour la b) il est dit qu'il faut partir de l'encadrement de f(x) mais je vois pas quoi faire après...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Integrale   Jeu 17 Mai - 19:27

Bonsoir,

En effet, les erreurs de signes arrivent de temps en temps mais bon, il faut savoir relire ses calculs avant de les valider ou après les avoir écrit pour les éviter, tout simplement.

Tout est juste du coup.

Pour la suite, que sais-tu de l'intégrale ? Croissante ou décroissante ?
Du coup, nous pouvons nous servir de l'encadrement que nous avons fait de F(x), il ne reste plus qu'à multiplier par x² pour avoir l'encadrement de la fonction sous l'intégrale.

Bon courage!


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neon92



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MessageSujet: Re: Integrale   Jeu 17 Mai - 20:49

Bonsoir

Ok je vois comment faire alors :

1/e ≤ f(x) ≤ 1/2

comme l'intégrale est croissante on ne change pas le sens des inégalitées et on a alors :

∫(de 0 a 1)1/e ≤ ∫(de 0 a 1)f(x) ≤ ∫(de 0 a 1)1/2

on multiplie le tout par x² on a :

∫(de 0 a 1)x²/e ≤ K ≤ ∫(de 0 a 1)x²/2

<=> [(x^3)/3e](de 0 a 1) ≤ K ≤ [(x^3)/6](de 0 a 1 )

<=> 1/3e ≤ K ≤ 1/6

alors ?

De plus pour la c) j'ai fait cela :

J+K = ∫(de 0 a 1) (2+x)exp(-x) dx + ∫(de 0 a 1) x²*f(x) dx

<=> ∫(de 0 a 1) (2+x)exp(-x) + x²*f(x) dx ( par linéarité)

<=> ∫(de 0 a 1) [4exp(-x) - 2x*exp(-x) + 2x*exp(-x)- x²exp(-x) + x²exp(-x)]/2-x ( j'ai sauté des étapes...)

<=> ∫(de 0 a 1) 4exp(-x)/2-x

J+K = 4I

Et enfin pour la dernière question j'ai essayé sa :

J+K = 4I

<=> I = (J+K)/4

donc on a :

1/3e ≤ K ≤ 1/6

<=> (1/3e) + J ≤ 4I ≤ (1/6) + J

<=> (-3+9e)/12e ≤ I ≤ (19e-24)/6e

<=> ≈ 0.66 ≤ I ≤ ≈ 1.69

donc I ≈ 1.18

Merci

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MessageSujet: Re: Integrale   Jeu 17 Mai - 21:00

Il va être préférable de multiplier par x² avant d'intégrer sinon, tu n'intègre pas x² ce qui serait regrettable vu la réponse attendue.

Tout le reste est juste sauf l'encadrement. Il y a eu des erreurs de calculs dans l'encadrement.

Je te laisse revoir cela mais sinon, il s'agit d'un bon travail !

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MessageSujet: Re: Integrale   Jeu 17 Mai - 21:44

Citation :
Il va être préférable de multiplier par x² avant d'intégrer sinon, tu n'intègre pas x² ce qui serait regrettable vu la réponse attendue.

Oui tu as raison car sinon on obtient pas la même chose que l'exo... Razz

Citation :
Tout le reste est juste sauf l'encadrement. Il y a eu des erreurs de calculs dans l'encadrement.

L'encadrement de I c'est sa ???
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MessageSujet: Re: Integrale   Jeu 17 Mai - 21:46

En effet, l'encadrement de I, il y a une erreur de calcul dans les deux bornes (la division par 4 a été mal faite ou la mise au même dénominateur, j'hésite encore entre les deux fautes).

Bon courage pour finaliser ce problème!

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MessageSujet: Re: Integrale   Ven 18 Mai - 17:16

Citation :
<=> (-3+9e)/12e ≤ I ≤ (19e-24)/6e

<=> ≈ 0.66 ≤ I ≤ ≈ 1.69

donc I ≈ 1.18

Oui c'est a ce niveau la je crois en faite je dois obtenir cela :

(-11+9e)/12e ≤ I ≤ (19e-24)/24e

≈ 0.41 ≤ I ≤ ≈ 0.42

I ≈ 0.42
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MessageSujet: Re: Integrale   Dim 20 Mai - 16:40

Bonsoir,

C'est déjà plus cohérent avec la dernière question vu que l'écart est d'un centième ce que nous attendions en fait.

Cet exercice avait pour but de te montrer qu'on pouvait aussi trouver des valeurs approchées d'intégrale sans pour autant calculer l'intégrale elle-même ce qui peut avoir un avantage lorsqu'on ne peut pas calculer les dites intégrales.

Bonne continuation!

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MessageSujet: Re: Integrale   Dim 20 Mai - 18:47

Ahhh oui je me disais bien qu'une valeur d'une intégrale compris entre 0.66 et 1.69 semblait bizarre... Razz

En tout cas merci pour l'aide que tu m'a apportée.
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