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 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine

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Scientia



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MessageSujet: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Ven 10 Aoû - 11:00

Bonjour,

Je découvre les dérivations, et comme d'habitude, le tas de questions qui traverse mon esprit est quelque peu ennuyant, car ne pas comprendre le comment du pourquoi me bloque.

En ce qui concerne la représentation graphique d'une dérivée et du calcul du taux d'accroissement, en fait du calcul d'une dérivée en général, je pense avoir compris. C'est plutôt au sujet de ce que l'on appelle la "meilleure approximation affine" que j'ai des questions.

En effet, on me dit : Si f est une fonction dérivable en x0, alors on appelle "meilleure approximation affine de f" la fonction affine g : x -> f'(x0)(x-x0)+f(x0). On précise ensuite qu'on note alors f(x) ≈ f'(x0)(x-x0)+f(x0) et que f'(x0) est le coefficient directeur de cette fonction (puisque la dérivée d'une fonction en un point est en fait le coefficient directeur de la tangente de la fonction en ce point, d'où le calcul du taux d'accroissement).

Ma question porte sur l'équation de la fonction affine g. Que f'(x0) soit son coefficient directeur est évident. Mais ensuite, pour (x-x0)+f(x0), j'ai du mal à voir d'où ça vient. J'ai fait un graph en représentant 5 fonctions :



En rouge, la fonction f définie dans R, tel que pour tout x Є R, on a f:x -> f(x) = x3.
En bleu, la fonction affine g (meilleure approximation de f en 2), définie sur R, tel que pour tout x Є R, on a g:x -> g(x) = 12(x-2)+8 (La fonction dérivée de x3 étant 3x2, l'ensemble de dérivation étant R, si x0 = 2, alors g(x) = f'(2)(x-2)+f(2) = 3*2²(x-2)+23 = 12(x-2)+8).
A partir de là j'ai essayé de bidouiller cette fonction g pour voir ce qui changeait et essayer de comprendre graphiquement au moins à quoi servaient (x-x0)+f(x0). On a donc :
En vert, la fonction t définie dans R, tel que pour tout x Є R, on a t:x -> t(x) = 12(x-2) (j'ai enlevé le +8).
En violet, la fonction h définie dans R, tel que pour tout x Є R, on a h:x -> h(x) = 12x+8 (j'ai enlevé en -2 dans la parenthèse).
En bleu ciel, la fonction b définie dans R, tel que pour tout x Є R, on a b:x -> b(x) = 12x (j'ai enlevé le +8 à la fonction h).

(Juste au passage, si on trace une fonction j tel que j(x) = 8, celle-ci passe ne coupe Cf que par le point de coordonnées (x0;f(x0)), non ? Pourquoi est-ce que l'on ne l'appelle pas une tangente ? Je comprends qu'elle ne correspond pas aux taux d'accroissement, mais pourquoi est-ce qu'une telle fonction n'est pas une tangente dans ce cas précis ?)

On remarque que toutes les fonctions g, t, h et b sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur.
Ma question, c'est "qu'est-ce qui fait que g passe par le point de coordonnées (x0;f(x0))" ? (La fonction g répond à cette exigeance : f'(x0) = g(x0).)
La fonction t est trop à droite, la fonction h est trop à gauche, et la fonction b est, comme on pouvait l'imaginer, linéaire.

Je sens que c'est facile et que je me complique la vie, mais j'avais l'irresistible envie de tester ça sur un graphique. Pouriez vous m'aider à comprendre quelque chose dans ce ballet de fonctions ... Question

Merci beaucoup,
Scientia
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Ven 10 Aoû - 16:23

Bonsoir,

Il s'agit d'un gros morceau que tu entames là et d'après ce que j'ai compris tu passes en première. Tu vas te balader l'an prochain j'ai l'impression et c'est d'autant plus intéressant que tu pourrais justement avoir tout le loisir d'approfondir les notions. C'est un cercle vertueux ce genre de démarche (plus tu comprends et plus tu as envi de comprendre et mieux tu comprend Smile).

Laissons les mathématiques 2 minutes pour se poser une autre question:

"Pourquoi avoir inventé une théorie lié à la limite d'un taux d'accroissement ?"
"Pourquoi calcule-t-on une limite ? Qu'est-ce qu'une limite d'une fonction en un point ?"
"Qu'est-ce qu'une fonction dérivée ?"

Et là encore toutes cette théorie a été développée grâce à nos conjoints de science à savoir les physiciens. En effet, en physique qu'est-ce qu'une courbe ? Il s'agit de la représentation du mouvement objet sur un papier ou à l'aide d'un logiciel (si l'objet est composé de capteur de position par exemple). Je vais appeler cette objet un mobile (bon là, j'avoue que je me foule pas trop "un objet qui bouge" = "un mobile", bref).

Bon, notre mobile se déplace via une trajectoire et cela donne une courbe. Et là, désastre affreux, nous avons la courbe mais pas la fonction !? Le matheux va devoir mettre les mains dans le cambouis pour retrouver des morceaux de courbes qui correspondent à une fonction puis mettre tous les bouts de courbes les unes à la suite des autres pour avoir une fonction globale de cette trajectoire initiale. On revient donc sur l'intérêt des ensembles de définition, des ensembles image mais aussi sur l'intérêt de connaître l'allure des courbes représentant des fonctions connues (parabole, droite, hyperbole, ...).

Admettons maintenant que le boulot soit fait et que nous ayons retrouvé les bouts de fonctions permettant d'avoir la trajectoire globale de notre mobile. Ensuite, on peut dire que notre mobile est une voiture, un train, un vélo, une planche à voile, un hélicoptère, un marcheur, une bille, une boule de bowling, un balle de golf, une planète, .... bref il y a plein de possibilité. Mais l'étude de la trajectoire est intéressant, certes mais qu'est-ce qui est lié à la trajectoire lors d'un déplacement ? Et bien sa vitesse !!! Et même son accélération mais je laisse de côté l'accélération pour m'appesantir sur la notion de vitesse.

Il existe deux types de vitesse:

- La vitesse moyenne c'est à dire qu'il s'agit du quotient de la distance parcouru par le temps qu'il a fallu pour parcourir cette distance

- La vitesse instantanée c'est à dire étant donné un point de la trajectoire, si on considère que j'effectue une ligne droite à quelle vitesse constante je roulerai.


La première notion de vitesse est la plus connue et surtout la seule réellement accessible en pratique (il faut bien un point de départ et un point d'arrivée pour effectuer le calcul !) et la deuxième vitesse est quant à elle beaucoup plus théorique.

Alors revenons dans le domaine des mathématiques. Nous avons la trajectoire du mobile à savoir pour chaque valeur des abscisses j'associe une valeur en ordonnée. En gros, un effectue le boulot d'un GPS mais en moins sophistiqué là c'est à dire un boulot dans le plan c'est à dire je prend le plan de ma ville et je relève les points de passage de mon mobile en fonction du temps de parcours. Et là, tu constates que mon graphique n'est pas en deux dimensions (x ; y) mais en trois dimension (x ; y ; t) c'est à dire qu'à chaque position je peux associer un temps (le moment on j'ai effectué le relevé). Et maintenant, je pourrais calculer les vitesses moyennes mais je ne vais pas le faire car cela est plutôt compliqué à faire en trois dimension, je vais plutôt transférer mon problème concret vers un problème académique pour comprendre ce qui se passe.

Bon pour comprendre le chose, je vais simplifier, je vais prendre une bille que je vais lâcher à 2 m de haut sans lui imposant de vitesse au départ. C'est à dire que ma bille va simplement tomber en direction du seul dans un mouvement rectiligne c'est à dire avec une trajectoire en ligne droite. Je positionne une caméra sur une table à quelque mètre de moi de telle sorte que l'objectif de mon caméscope contienne ma bille au démarrage et le sol (je veux visualiser la trajectoire de la bille de ma main jusqu'au sol tout simplement). Je démarre le film, je me met en position puis je lâche la bille.

La trajectoire est une droite verticale, je ne vais donc considérer qu'un seul axe pour repérer la position de ma bille en fonction du temps. C'est à dire que j'aurai un droite graduée d'origine la bille à l'instant 0 (non lâchée) et dirigée vers le sol (pour n'avoir que des nombres positifs pour le repérage).

Maintenant, je vais visionner le film et considérant l'instant 0 comme le moment où je vient tout juste de lâcher ma bille. L'avantage d'un caméscope (ou d'un appareil photo faisant des films) ait qu'on a accès au temps de la prise de vue et qu'on peur faire des pauses. Ainsi, je vais construire un graphique de la trajectoire en fonction du temps c'est à dire de la position sur ma droite graduée en fonction du temps qui passe (le temps en abscisses et la position en ordonnée). A la fin, j'aurai donc un graphique de la trajectoire de la bille en fonction du temps.

Utilité ? J'ai accès à chaque instant à la position de la bille. Du coup, je peux calculer la vitesse moyenne entre n'importe quelle point de la courbe que je vient de tracer. En effet:

Vmoyenne entre P2 et P1= ( "position 2" - "position 1" ) / ( "temps 2" - "temps 1" )

Transposer sur le graphique cela donne:

Vmoyenne entre P2 et P1= ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 )


Hmmmm, mais ça serait y pas un truc qu'on n'a pas encore définie mais dont tu as déjà parlé ??? Ha mais oui mais c'est bien sûr !!!! Le taux d'accroissement entre P2( x2 ; y2 ) et P1 ( x1 ; y1 ).

Mais alors le taux d'accroissement ne serait qu'une "vitesse moyenne", une espèce de positionne moyenne entre les deux points ? Et bien oui !!!


Cependant, ce n'est pas encore fini !!!! EN effet, la vitesse instantanée lorsqu'on a la courbe de la trajectoire, elle correspond à quoi exactement ?

Elle correspond en fait à la pente de la tangente à la courbe au point considéré. C'est à dire que la vitesse instantanée au point P1, par exemple, sera égale au coefficient directeur de la droite (ce qu'on appelle aussi "pente de la droite") tangente à la trajectoire au point P1.

Attend voir, on aurait pas déjà calculer une approximation très grossière de cette vitesse instantanée ? Mais oui, je men souvient, la vitesse moyenne n'est pas égale à la vitesse instantanée mais cela reste une approximation très grossière de celle-ci et plus les points considérés encadre l'instant dont on cherche la vitesse instantanée et plus l'approximation s'améliore jusqu'à un moment limite où elle devient égale !

Un moment limite ? Attend voir, il est vrai que nous pouvons nous rapprocher autant que faire se peut de chaque côté du point vu qu'autour de ce point la fonction est continue (c'est à dire qu'il n'y a pas de trou dans la courbe). On peut le concevoir aisément qu'il est possible de se rapprocher de plus en plus jusqu'à un moment où la largeur du crayon fera qu'on ne distinguera plus les deux points (pourtant distinct!) qu'on considère. Ha mince, je viens de définir tout simplement la notion de limite, là !!! Il y a une position "limite" où les deux points sont confondu théoriquement (vu qu'en pratique il est clair que cela ne peut exister).

Alors résumons un peu, si on cherche la vitesse instantanée en P2 ( x2 ; F(x2) ),
il va falloir pour tout h dans R, prendre un point M ( x2+h ; F(x2+h) ) puis calculer la vitesse moyenne entre ces deux positions c'est à dire la pente de la droite passant par ses deux points comme ceci:

V(h)= ( F(x2) - F(x2+h) ) / ( x2 - (x2 + h) )

C'est à dire :

V(h)= ( F(x2) - F(x2+h) ) / h

qui est donc le taux d'accroissement entre P2 et M pour tout h.

Et enfin, il faudra faire se rapprocher le plus possible M du point P2 c'est à dire faire se rapprocher le plus possible h vers 0 ce qui revient à prendre la limite (si elle existe) de V(h) lorsque h tend vers 0 pour calculer la vitesse instantanée à savoir (si elle existe mais ici c'est le cas vu que notre mobile à bien une vitesse en tout point à priori) :

Vinstant P2= Limh->0 V(h) (et on notera se nombre car il ne s'agit que d'une notation F'(x2) )

Et cette limite qui n'est autre que le nombre dérivée de la fonction F au point x2 est la meilleur approximation de la vitesse moyenne c'est à dire le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point P2.


Il va falloir conclure par rapport à l'ultime question qui reste en suspens d'où sorte (x-x0) + F(x0) pour la meilleure approximation de la courbe cette fois-ci (et non de la vitesse instantanée) autour du point P2 ?

Et bien, nous allons revenir à la définition. A savoir que la meilleur approximation de la vitesse instantanée au point P2 est donc F'(x2). Et pour la courbe qu'en est-il ? Et bien la meilleur approximation sous la forme d'une droite (c'est cela que veut dire le "affine") aura forcément ce coefficient directeur là (vu qu'il s'agit de la pente la plus proche de la trajectoire au point P2) et ensuite ? Et bien, il s'agit de déterminer la droite passant par le point P2 et ayant ce coefficient directeur là vu que nous cherchons à approximer la courbe au point P2 via une droite nous devons forcément passer par le point P2 ( x2 ; F(x2) ).

Quelle est l'équation d'une droite ? Il s'agit de y = a*x + b avec a le coefficient directeur de la courbe et b son ordonnée à l'origine.

On sait déjà que a=F'(x2) et nous cherchons b. Que savons nous d'autre ? Que le point P2 appartient à la droite par hypothèse, ainsi:

F(x2) = F'(x2) * x2 + b

Après résolution de cette équation, on trouve: b = F(x2) - F'(x2) * x2

Ainsi, l'équation de notre droite est y= F'(x2)*x + F(x2) - F'(x2) * x2

Enfin, en factorisant par F'(x2) le premier terme et le dernier terme, on retrouve l'équation :

y = F'(x2) * ( x - x2 ) + F(x2) qui est exactement ce que tu cherchais à démontrer


Enfin, pourquoi ne pas l'appeler directement la tangente ? Tout simplement parce que la meilleure approximation affine est la tangente à la courbe, nous avons donc deux façon de le dire. Or ce que je viens d'écrire demanderait presque une démonstration car comment est définie la tangente à une courbe ? En utilisant le nombre dérivée ? Si c'est cela, on démontre rien vu qu'on vient de dire que le nombre dérivée nous donnait la pente de le meilleure approximation affine mais pourquoi est-ce la tangente à la courbe si on l'oblige à passer par le point P2 ?
Ce qu'il reste à démontrer est la chose suivante:
Si y = F'(x2) * ( x - x2 ) + F(x2) est l'équation de la meilleure approximation d'une fonction F au point P2
Alors, montrer qu'il existe un intervalle de l'ensemble de définition de F centré en x2, cette droite n'admet qu'un unique point d'intersection avec la courbe représentant F (ce qui est la définition d'être tangente à une courbe).
Rien ne nous empêche de l'admettre bien entendu mais l'idée était de te faire sentir qu'en réalité, il y a encore un petit travail à effectuer car les deux définitions sont bien équivalentes mais encore faut-il le montrer. Bon ce genre de réflexion est hors programme et même très rarement faite car elle est évidente et on dit simplement que la tangente est la meilleure approximation d'une fonction en un point (ainsi, on ne parle pas d'équivalence, on définit juste la notion de meilleure approximation affine et on n'en parle plus et il n'y a pas de démonstration à faire dans ce cas là).

Bien entendu, il existe bien d'autre type d'approximation pour une courbe (approximation polynomiale par exemple à l'aide d'une fonction polynôme de degré plus ou moins grand dont un cas particulier est l'approximation affine et comme toujours en cours on commence par des cas particulier et on généralisera après ou pas en fonction de ton cursus).

En espérant que cela soit plus clair ainsi en tout cas. Ta manière d'appréhender les choses via des testes en enlevant certaine partie d'une fonction pour observer le comportement de la courbe est vraiment une très bonne démarche digne d'une scientifique (ce sont des procédés classique en biologie par exemple mais dans toutes les sciences expérimentales aussi, par exemple que se passe-t-il si je donne une impulsion vers le haut au départ à la bille). D'ailleurs, si tu en as l'occasion et si tu ne l'as pas déjà fait en seconde l'expérience de la chute d'un corps est assez intéressant surtout du point de vu de la vitesse justement, est-ce que la bille accélère toujours ou ralentit-elle à l'arrivée proche du sol ou est-il constante à partir d'une certaine vitesse ? Est-ce que cela dépend de la masse de la bille ? De la hauteur du lâché ? De l'emplacement sur la terre (montagne, mer, plaine, 2ème étage, 10 ème étage) ?Hmm, la science est en marche Smile.

Bonne continuation!

ps: et l'accélération alors? et bien, il s'agit de la deuxième dérivée de la fonction au point qui nous la donne c'est à dire la dérivée de la dérivée au même point.

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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Ven 10 Aoû - 17:32

Bonsoir,

Merci pour toutes ces explications !

Citation :
F(x2) = F'(x2) * x2 + b
Après résolution de cette équation, on trouve: b = F(x2) - F'(x2) * x2

Ahh le déclic ! C'était cette partie qui me manquait !

Citation :
D'ailleurs, si tu en as l'occasion et si tu ne l'as pas déjà fait en seconde l'expérience de la chute d'un corps est assez intéressant surtout du point de vu de la vitesse justement, est-ce que la bille accélère toujours ou ralentit-elle à l'arrivée proche du sol ou est-il constante à partir d'une certaine vitesse ? Est-ce que cela dépend de la masse de la bille ? De la hauteur du lâché ? De l'emplacement sur la terre (montagne, mer, plaine, 2ème étage, 10 ème étage) ?Hmm, la science est en marche .

Nous avons déjà fait ce genre d'expérience en classe, avec un cycliste qui lache une balle, et puis il me semble aussi avec une goutte d'un produit qui tombait dans l'eau et qui descendait jusqu'au fond.
Par contre, je ne pense pas qu'on ai répondu à la foule de questions interressantes que vous posez (vitesse, hauteur ...). Avec le cycliste on a cherché à voir si la balle avait ou pas une trajectoire rectiligne, du coup on a utilisé un logiciel qui justement permettait de tracer (point par point, seconde par seconde et à la main ...) celle-ci. Je ne sais pas si ce genre de logiciel existe gratuitement sur le net. Si vous avez un lien, je suis prenante ^^.

En parlant de dérivation, j'ai encore une autre question :

Il s'agit d'un exercice qui demande de démontrer à l'aide de la limite du taux d'accroissement diverses formules, dont celle-ci : (uv)' = u'v + uv'
C'est le corrigé qui me dérange ...
Ils ont cherché à prouver que (uv)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a). Jusqu'ici, ça me parait clair.
Ensuite, ils ont introduit l'expression nulle en rouge dont la logique m'échappe :

Enfin, ils en sont arrivé à :

Sans compter l'introduction de l'expression en rouge, je comprends le déroulement du calcul, mais ensuite, ils disent :
"Maintenant en passant à la limite lorsque h tend vers 0, on obtient : (uv)'(a) = u'(a)v(a) + u(a)v'(a)"
Alors là ... Exclamation

Merci beaucoup pour vos explications !
Scientia

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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Ven 10 Aoû - 19:52

Pour le questionnement, on peut aussi changer un autre paramètre qui est l'air. En effet, est-ce que dans l'eau ou dans un autre fluide, ce qu'on observe dans l'air s'observe toujours ? Comment évolue la vitesse ? C'est génial lorsqu'on fait un peu de changement sur des expériences ultra simple (le coup, du lâcher de bille, il n'y a presque pas plus bête et pourtant c'est fou tous les domaines qu'on touche avec si peu Wink).

Bon, dans tout ça, tu n'as pas défini ce qu'était une fonction dérivée ? Et pourtant c'est simple:

La fonction dérivée de la fonction F se note F' et est défini comme suit:
- son ensemble de définition dépend de l'existence des limites du taux d'accroissement en tous les points de l'ensemble de définition de la fonction F (si la limite existe et qu'elle est fini et bien, le point rentre dans l'ensemble de définition de la fonction dérivée)
- Pour tout x dans l'ensemble de définition de la fonction dérivée: F'(x)= Lim h->0 ( [F(x) - F(x+h)] / h ) (la limite du taux d'accroissement)

Une fois définie, nous arrivons donc dans un nouvelle ensemble qu'on appelle l'ensemble des fonctions dérivées et on a défini une nouvelle opération " ' " qui est la dérivée d'une fonction (qu'on note en physique d (...) /dx pour cette opération ).

Il devient évident à partir de ce moment qu'on ne démontre pas des "formules" mais plutôt qu'on cherche à savoir comment réagit cette nouvelle opération face au opération déjà existante à savoir l'addition, la soustraction, le produit et le quotient. Et ici, on cherche à donc à savoir à quoi est égale la dérivée d'un produit et il s'avère en effet qu'il s'agit de la formule que tu énonces et nous allons le démontrer.

Soit u et v deux fonctions continues et dérivables sur I et J (il faut mieux supposer qu'elle soit dérivable pour les dérivées :-P).
De même, que pour l'addition que je t'avais défini dans un autre sujet, il va falloir se placer sur l'intersection des deux ensembles de dérivations pour être sûr que notre nouvelle fonction soit bien défini.

On sait que la fonction (uv)' est défini sur l'intersection de I avec J et qu'on la définit point par point sur son ensemble de définition comme la limite du taux d'accroissement en chacun des points.

Je sais, il y a beaucoup de vocabulaire mais c'est en forgeant qu'on devient forgeron dira-t-on (déjà, tu commences à bien faire l'effort de mettre tous les quantificateurs au bon endroit ce qui est déjà beaucoup plus lisible j'ai l'impression en tout cas).

Donc allons-y gaiement, on calcule le taux d'accroissement entre deux points x et x+h ou a et a+h si tu veux. Puis on cherchera en fin de calcul la limite du taux d'accroissement lorsque ces deux points se rapprochent de plus en plus à savoir lorsque h tend vers 0.

Après avoir posé le taux d'accroissement, il y a une petite astuce de calcul pour faire apparaître les seule chose dont on connaisse les limites à savoir:

- Les fonctions u et v étant continue, on peut calculer les images de tous les points de l'ensemble de définition de notre nouvelle fonction. Donc le passage à la limite est assurée.

- La limite des taux d'accroissement des fonctions u et v vu qu'on a supposé qu'elles étaient dérivables (donc la limite existe et elle tend même vers le nombre dérivée en ce point).

Maintenant, il faut savoir quelques petites choses sur les limites:

- Si on suppose que deux fonctions admettent chacune une limite en un point alors la limite en ce point de leur somme est égale à la somme des limites des deux fonctions en ce point

- Si on suppose que deux fonctions admettent chacune une limite en un point alors la limite de leur soustraction est égale à la soustraction des limites des deux fonctions en ce point

- Si on suppose que deux fonctions admettent chacune une limite en un point alors la limite de leur produit est égale au produit des limites des deux fonctions en ce point

- Si on suppose que deux fonctions admettent chacune une limite non nulle en un point alors la limite de leur quotient est égale au quotient des limites des deux fonctions en ce point (je n'ai pas le droit de diviser par 0, c'est pour cela que j'exclus la limite nulle)


Vu qu'il n'y a que des produits et une somme, il ne reste plus qu'à regarder terme à terme les limites.

Donc que vaut la limite de la première parenthèse lorsque h tend vers 0 ?
Que vaut la limite de la fonction h |-> v(a+h) lorsque h tend vers 0 ?
Que vaut la limite de la fonction h |-> u(a+h) lorsque h tend vers 0 ?
Que vaut la limite de la deuxième parenthèse ?

La conclusion après avoir eu toutes les limites vient en utilisant la définition de l'égalité de deux fonctions tout simplement.

Je te laisse réfléchir là-dessus et n'hésite pas à poser tes questions (les limites ne sont pas si simple à abordée même s'il s'agit d'un chapitre assez intuitif tout de même).

Bon courage!

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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Ven 10 Aoû - 22:19

Bonsoir,

Je remets ma formule :


Je sens qu'il faudrait que je mette ça (et encore ^^) :


Mais dans mon cerveau, je bloque ici :

et ici :


Le principe d'ajouter, de multiplier, de diviser, de soustraire les dérivées entre elles m'avait un peu freiné pour les deux exemples que je viens de mettre ...

Merci beaucoup de votre aide (et de vos explications !),
Scientia
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Ven 10 Aoû - 23:07

Oulà !!!

Qu'est-ce que v et u ???? Ce sont des fonctions !!!

Prenons u="fonction carrée"

J'ai u(2)=4, u(h)=h² et u(2+h)=(2+h)²= 4 + 4h + h²

Conclusion : u(2+h) - u(2) = 4 + 4h + h² - 4 = 4h+h² qui est différent de h²=u(h)

Je divise par h quelconque mais différent de 0, cette différence et j'obtiens le taux d'accroissement suivant:

[u(2+h)-u(2)] / h = 4 + h car 4h+h² = h ( 4 + h )

Lorsque h tend vers 0, cette quantité tend vers 4 !!!

Moralité de l'histoire à aucun moment j'ai le droit de "factoriser" par une fonction !!!! Depuis quand on factorise des fonctions ? ;-).

Donc u(a+h) - u(a) n'a vraiment aucune raison mais alors aucune raison (et nous avons explicité un cas au-dessus pour lequel c'est faux) d'être la même quantité que u(h).

Le saut conceptuel ici se situe là:

Définition:
LORSQUE LA LIMITE EN 0 de cette quantité T(h)=[F(x0+h) - F(x0)] / h EXISTE ET EST FINIE,
on NOTE cette limite F'(x0)

Il NE s'agit QUE d'une notation et rien d'autre! Toute la partie du jeu des dérivée se joue avec le taux d'accroissement à la base et rien de plus et rien de moins. Soit la limite existe et elle est finie et on peut parler de dérivée de la fonction en un point soit elle n'existe pas ou vaut l'infini et à se moment la ce n'est pas dérivable et donc on ne peut pas avoir la notation F'(a) si la limite en zéro de la quantité prise en a n'existe pas.

La difficulté ne réside donc pas dans la dérivée en elle même mais dans l'EXISTENCE de la limite. D'où un léger acharnement pour dire que malgré les nouveau programme qui ne souhaite pas parler sérieusement de limite de fonction, il est quasi impossible de comprendre la notion de dérivée sur le fond sans cette notion. Mais il n'y a pas besoin d'une connaissance pointue de la notion de limite pour apprivoiser celle-ci de façon intuitive par exemple:

- être de plus en plus proche d'une valeur qui se traduit par tendre vers cette valeur
- être de plus en plus grand se traduit par tendre vers l'infini (positivement ou négativement)

Le tout est de pratiquer ensuite tout comme un nouveau type de calcul se pratique pour l'apprivoiser totalement, la notion de limite s'apprivoise en faisant des calculs de limite sur des cas simple pour commencer à comprendre le chose puis sur des cas plus litigieux et encore voir des cas un peu sioux pour "s'amuser" à faire du calcul tout comme on commence par les tables de multiplication puis on fait du calcul mental simple puis on passe au calcul de puissances de tête et qui sait les approximations de racines carrées pour les plus fous ;-).

Donc ce que tu as écrit de façon intuitive est tout à fait juste car les limites existent et donc pas notation, nous écrivons les nombres dérivés en un point. Mais attention à n'écrire que ce qui est démontré et sûr à 100% c'est à dire que ta "factorisation" aurait pu être vraie (et elle l'ai dans des cas très particulier de fonction) mais n'ayant pas démontrer ce genre de calcul, il est préférable de ne pas les utiliser ou de regarde sur des exemples si elles semblent vraie avant de les écrire (perdre 2 minutes de test avant d'écrire quelque chose permet d'éviter d'utiliser une propriété qui semble vraie mais qui est hélas totalement fausse).

Bonne continuation dans ton approche de cette nouvelle notion mais je te conseille de faire un break de la dérivation et de faire un tour vers les limites pour mieux les apprivoiser même si c'est de l'intuitif car tu risques d'être bloquer sur des calculs qui sont en fait plus simple qu'ils n'y paraissent (cela sera moins long que la compréhension du calcul sur l'ensemble des fonctions dérivées en tout cas).

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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Dim 12 Aoû - 12:31

Bonjour,

Citation :
je te conseille de faire un break de la dérivation et de faire un tour vers les limites pour mieux les apprivoiser
Ca y'est, c'est fait ^^. J'ai vu comment calculer les limites simples, puis les formes indéterminées (théorème du plus haut degré, de comparaison, des gendarmes) puis j'ai fait un p'tit tour chez les asymptotes. Vous me dîtes s'il manque quelque chose.

Citation :
Prenons u="fonction carrée"

J'ai u(2)=4, u(h)=h² et u(2+h)=(2+h)²= 4+4h+h²

Conclusion : u(2+h) - u(2) = 4+4h+h² - 4 = 4h+h² qui est différent de h²=u(h)

Je divise par h quelconque mais différent de 0, cette différence et j'obtiens le taux d'accroissement suivant:

[u(2+h)-u(2)] / h = 4+h car 4h+h² = h ( 4+h )

Lorsque h tend vers 0, cette quantité tend vers 4 !!!

Donc si j'ai bien compris, on ne peut pas remplacer h par 0 dans (u(a+h)-u(a)/h)/h pour trouver sa limite lorsque h tend vers 0 ? On sait juste que u'(a) = limh->0(u(a+h)-u(a)/h)/h ?

Parceque moi je voulais remplacer h par 0, ce qui donnait :
limh->0 u(a+h)-u(a) = u(a)-u(a) = 0.
En prenant votre exemple :
"u(2)=4, u(h)=h² et u(2+h)=(2+h)²= 4+4h+h²"
limh->0u(2+h) = limh->04+4h+h² = 4+4*0+0² = 4
limh->0u(2) = 4
D'où limh->0 = [u(2+h)-u(2)] / h = "(4-4)/0" : bref, Forme Indéterminée, nan ?

Je sais que c'est faux, ne vous inquiétez pas.
(mais en fait je vois juste pas pourquoi ... ^^)

Merci beaucoup,
Scientia

PS : en passant en mode édition, plusieurs "+" ont sauté, donc si il y a un petit vide entre deux chiffres qui m'a échappé c'est que c'est un "+".
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Dim 12 Aoû - 15:45

Bonjour,

Pour les limites, tu as même été bien plus loin que je ne l'aurai imaginer mais au moins tu as vu un panel globale ce qui n'est pas plus mal. Nous verrons cela sans doute par la suite dans un autre sujet s'il te reste des questions (sur les asymptote ou les formes indéterminés par exemple).

Pour en revenir au sujet:

Citation :
Donc si j'ai bien compris, on ne peut pas remplacer h par 0 dans (u(a+h)-u(a)/h)/h pour trouver sa limite lorsque h tend vers 0 ? On sait juste que u'(a) = limh->0(u(a+h)-u(a)/h)/h ?

En effet, on ne peut pas appliquer la substitution h=0. Pourquoi ? Car nous ne pouvons pas diviser par 0 tout simplement. Tu vas croire que je m'acharne sur les hypothèses liées au fonction mais tu découvre malgré toi, que lorsqu'on ne les met pas et bien on peut écrire des bêtises. En effet, pour calculer un taux d'accroissement qu'on sont les hypothèses sur h ?

En fait, il y en a deux:

- h est un réel (sinon, la notion de "faire tendre en passant par tous les points intermédiaires" c'est à dire la notion de limite ne pourrait pas s'appliquer)

- h est différent de 0 !!!!! Car le taux d'accroissement tel que nous l'écrivons est un quotient dont le dénominateur est h. Donc coup, interdiction de prendre h=0


Pour une question de clarté dans l'écriture des limites, il est préférable de ne JAMAIS écrire:

Lim "bidule" = Lim "machin" = Lim "truc" =

Pourquoi ? Car on ne sait pas à l'avance si les limites existe d'une part. En effet, si elles n'existent pas toutes écrire "Lim ..." n'a aucun sens mathématique. Pour prendre un exemple, c'est comme si j'écrivais "Sur la lune l'homme respire sans bouteille d'oxygène" ce qui est faut et pourquoi ? Car , j'ai oublié de vérifier une hypothèse majeur avant d'écrire ma phrase "Y a-t-il de l'oxygène sur la Lune ?" la réponse étant "Non !!" cela met en défaut la propriété liée à la respiration de l'homme et donc la phrase est fausse et n'a même pas lieu d'être écrite.

Donc pour éviter cela, il est TOUJOURS préférable de calculer les limites à part les unes des autres.

Ainsi, l'indétermination vient du fait que les deux quantités tendent vers zéro toutes les deux séparément. Donc on n'écrira pas surtout pas le quotient.

Maintenant, ta remarque est juste, il s'agit d'une forme indéterminée "0/0". LA question se pose donc comment lever l'indétermination ?
Tout simplement, en remarquant qu'il s'agit d'un taux d'accroissement d'une fonction qui est dérivable. Et donc la quantité dans sa globalité (et non prise élément par élément) tend vers le nombre dérivée en ce point.

Est-ce que cela te paraît plus clair ainsi ? Ce que tu avais pensé n'était pas faux c'est à dire calculer séparément la limite du numérateur et du dénominateur mais cela aboutit à une forme indéterminée qu'il ne faut surtout pas écrire à la suite du signe égale suivant le calcul de la limite vu que justement la forme est indéterminée nous ne pouvons donc pas écrire les résultats des deux calculs séparément. Cependant, vu que la forme est indéterminée en utilisant ton raisonnement, il va donc falloir utiliser d'autre chemin pour trouver le résultat et c'est celui de la limite du taux d'accroissement que nous allons utiliser.

En fait, c'est comme si tu étais dans un labyrinthe te que tu cherchais la sortie. Il peut y avoir plusieurs chemins possibles qui mène à la sortie (plusieurs moyens de calculer une limite) mais certains chemins son des culs-de-sac (calcul qui mène à une indétermination). Le ut du jeu ici est donc de trouver le chemin qui te permette de sortir c'est à dire d'atteindre la valeur de préférence exacte de la limite.

Bon courage pour la suite!

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Scientia



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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Dim 12 Aoû - 16:01

Bonjour,

Pour les limites, je pense que je devrai encore m’entraîner, mais les principes sont bien là.

Pour la substitution de h par 0, je pense avoir compris ^^.

En tout cas merci beaucoup de votre aide,

Scientia.

PS : auriez vous des exercices du genre "diaboliques" sur les limites et les asymptotes ?

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MessageSujet: Re: 1S - Dérivation - Meilleure approximation affine   Aujourd'hui à 13:55

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