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 mpsi inégalité nombres complexes

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AuteurMessage
kurban



Nombre de messages : 13
Localisation : Lyon
Date d'inscription : 11/03/2011

MessageSujet: mpsi inégalité nombres complexes   Sam 15 Sep - 15:51

Bonjour, voici un exercice corrigé que je ne comprend pas:

Etablir :
∀z,z′∈C,|z|+∣∣z′∣∣≤∣∣z+z′∣∣+∣∣z−z′∣∣
Préciser le cas d'égalité.

On a |z|+∣∣z′∣∣=(1/2)∣∣(z−z′)+(z+z′)∣∣+(1/2)∣∣(z′−z)+(z′+z)∣∣≤∣∣z+z′∣∣+∣∣z−z′∣∣
Il y a égalité si, et seulement si, : z−z′=0 (i.e. z=z′) ou (z+z)′/(z−z′)∈R+ et (z+z')/(z′−z)∈R+ ce qui se résume à z′=−z.



Comment pouvons nous conclure l'inégalité en écrivant:
|z|+∣∣z′∣∣=(1/2)∣∣(z−z′)+(z+z′)∣∣+(1/2)∣∣(z′−z)+(z′+z)∣∣.

D'ailleurs, pourquoi faut-il que (z+z)′/(z−z′)∈R+ et (z+z')/(z′−z)∈R+ pour qu'il y ait égalité?

Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: mpsi inégalité nombres complexes   Mar 18 Sep - 20:59

Bonsoir et désolé du contre temps.

Alors, on utilise ici le fait que |a+b| < |a| + |b| pour tout a et b.

A partir de là, en remplaçant les nombres a et b en fonction de z et z', on retrouve l'inégalité souhaitée.

Enfin, pour l'implication "<=" c'est évident. Par contre pour le sens direct, j'avoue que pour le moment, je sèche encore sur le sujet pour être honnête mais je continue de chercher.

Bon courage pour la suite!

_________________
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