Polygone convexe à 1000 cotés.

Bonjour,

Je ne comprends pas cette exercice malgrè plusieurs heures passé dessus. Merci d'avance de votre aide.

"Nous cherchons à déterminer le nombre de diagonales d'un polygone convexe à 1000 côtés.

Pour résoudre ce problème, répondez aux questions suivantes :
a. Donner les valeurs de d3 et de d4, les nombres de diagonales respectifs d'un triangle et d'un quadrilatère convexe.

b. Exprimer d4 en fonction de d3, puis d6 en fonction de d5 en utilisant des figures.

c. Exprimer d(n+1) en fonction de d(n) où n superieur ou égal à 3.

d. Conjecturer l'expression de d(n) en fonction de n.

J'ai fait plusieurs dessins mais cela ne m'a pas aidé ...
J'ai répondu à la question a mais je sais pas si c'est bon :
a. d(3)=0, d(4)=2, nombre de diagonale d'un triangle : 0 (3-3=0) et dans un quadrilatère convexe 1 (4-3)=1
b. ?
c. dn+1 = dn + n - 1  mais je ne sais pas trop comment l'expliquer ...
d. ?

Merci d'avance de votre aide

Bonjour,

Problème très intéressant car malgré le caractère très géométrique visible au premier coup d'oeil, il s'avère que cet exercice est un exercice de dénombrement (c'est à dire de comptage dans un cadre précis).

Je suis d'accord pour ta première réponse. Un triangle n'a pas de diagonales et un quadrilatère a deux diagonales.
Cependant, ce que tu écris ensuite n'est pas logique:

Citation :

dans un quadrilatère convexe 1 (4-3)=1

En effet, tu viens de dire qu'il y avait 2 diagonales dans un quadrilatère, tu ne peux pas conclure quelques mots plus loin qu'il n'y en aurait plus qu'une seule, cela ne serait pas logique.

Maintenant que nous savons que d3=0 et d4=2. Comment peut-on dans un premier temps exprimer la valeur de d4 en fonction de (en utilisant) la valeur de d3 ?

Une figure à 5 côtés est un pentagone. Lorsque tu dessines un pentagone (la fameuse maison par exemple), combien trouves-tu de diagonales ?

Une figure à 6 côtés est un hexagone. Lorsque tu dessines un hexagone (la France par exemple vu qu'on dit qu'elle est incluse dans un hexagone) , combien trouves-tu de diagonale?

Bon courage!

Oui c'est vrai dans un quadrilatère, il y en a deux de diagonales!

Un pentagone a 5 diagonales et un hexagone 9.

Mais je ne vois vraiment pas comment exprimer la valeur de d4 en fonction de la valeur de d3 à part avec une suite de récurrence...

Merci d'avance.

Bonsoir,

Les nombres de diagonales pour le pentagone et pour l'hexagone sont justes.

Maintenant, écrire une relation entre d4 et d3 signifie écrire une égalité où d4 et d3 apparaissent l'un et l'autre dans chacun des membres. Il s'agit de créer un lien.

Par exemple, voici des relations qui relient 3 et 1:
3 = 1 + 2
3 = 1*3
1 = 3 / 3
1 = 3 - 2
....

Il y en a plein d'autre bien évidemment.

Le but ici est de pouvoir généraliser ce que nous allons écrire c'est à dire que notre relation va nous permettre de savoir écrire d_n+1 en fonction de d_n (c'est à dire le nombre de diagonale d'un polygone à n+1 côtés en fonction du nombre de diagonales d'un polygone à n côtés).

Donc:
d4 = ? "en fonction de d3" ?
d6 = ? "en fonction de d5" ?

on peut aussi ajouter d5= ? "en fonction de d4" ? pour mieux visualiser la formule qui va émerger de ces premières égalités.

Bon courage!

J'ai trouvé :

d4 = d3 +2
d6 = d5+3

c'est ça ?

Bonsoir,

Je suis d'accord pour la première égalité mais pas pour la deuxième.

En effet, tu as bien écrit que d6=9 et d5=5. Or 5+3=8 et non 9.

Après, il faut essayer de généraliser l'intuition que tu peux avoir à partir de ces égalités là.

Bon courage!

- d5=d4+4-1
d5=2+4-1=5

- d6=d5+5-1
d6=5+5-1=9

On a donc dn+1=dn+n-1

On a donc pour la question d : dn = d(n-1) + n -2

faut il justifier comment j'ai trouvé dn et dn+1 ?

Bonsoir,

C'est exactement cela. Pour le démontrer il faudrait utiliser la notion de démonstration par récurrence mais tu n'as pas dû encore voir celle-ci. Donc l'expression bien visible de d4, d5 et d6 en fonction de d3, d4 et d5 respectivement, il est assez logique d'entrevoir l'égalité que tu proposes.

Pour la dernière question, tu n'y réponds pas car tu utilises d_n-1 pour exprimer d_n alors qu'il faut juste exprimer en fonction de n.

Du coup, pour avoir des idées, tu peux commencer par écrire les premières égalités:
d_n = d_n-1 + (n-2)
d_n-1 = d_n-2 + (n-3)
d_n-2 = d_n-3 + (n-4)
....
d₅ = d₄ + 3
d₄ = d₃ + 2

Puis regarde si tu ajoutes l'ensemble de ces égalités ce qui se passe par exemple.

Bon courage!

Je viens de commencer à faire par récurrence. J'ai essayé de justifier par récurrence. C'est la première fois que je le fais (on vient de faire le cours). Désolé si il y a des erreurs de rédactions...

initialisation :
Vrai au rang 0 car on a d3= 0

hérédité :
On suppose que c'est vrai au rang n
On suppose que dn= n(n-3) / 2
On a donc d(n+1) = dn + n-1 = n(n-3)/2 + (2n-2)/2 = (n²-3n+2n-2)/2 = (n²-n-2)/2 = (n-2)(n+1)/2

C'est donc vrai au rang n+1

pour dn j'ai trouvé dn = n(n-3)/2 mais il me demande plus loin ... Je pense ne pas avoir utiliser la bonne méthode.
Notre professeur nous a parlé de la somme mais je n'ai pas vu la somme en cours ...

Encore merci

Excellent pour la démonstration de la dernière question.

Il suffisait de conjecturer la forme et tu viens même de la démontrer. C'est donc nickel!

Bonne continuation!

Encore un grand merci mais je viens de voir que c'était la relation dn+1 qui fallait démontrer... Je viens de voir ça ... J'ai démontrer dn précédemment...

je ne vois pas comment démontrer par récurrence, j'ai juste l'étape d'initialisation qui est la même que pour la démonstration de dn.

Merci encore

Bonsoir,

Pour l'expression de dn+& en fonction de dn et de n, je pense qu'on peut se limiter à une extrapolation de ce qu'on écrit sur les petites dimensions car sinon, il va falloir démontrer comment on calcule le nombre de façon concrète en utilisant le nombre de sommet ce qui peut être intéressant mais je ne pense pas que cela soit demandé en fait.

En gros l'idée réside dans le fait que si on ajoute un sommet (passage de n à n+1) et bien on ajoute combien de diagonale supplémentaire ? Cela donne la relation de récurrence demandée.

La réelle démonstration par récurrence a effectué étant la démonstration de l'expression dn en fonction de n. Mais ici, on ne te demande que de "conjecturer" la relation et non de la démontrer.

Bonne continuation!

merci beaucoup.

J'écris juste que on compte n(n-3) diagonales, mais certaines diagonales sont comptées deux fois. La formule est donc n(n-3)/2 diagonales ?

Pour la conjecture, tu peux écrire les égalités reliant d_n+1 et d_n puis effectuer les additions membre à membre. Tu constateras que certains termes s'enlèvent car ils sont présents à gauche et à droite de l'égalité finale.

merci beaucoup. C'est ce que j'avais fait mais je parlais d'exprimer dn+1 en fonction de dn. J'écris juste l'expression ?

Bonsoir,

Tu écris l'égalité que tu as déduit de tes premières expressions.

Bon courage!