Projeté orthogonal

Bonsoir,j'ai fais un exercice de maths qui me pose quelque problème,et c'est cet exercice:

(O,i,j,k)est un repère orthonormé de l'espace .Soit la droite D passant par O,de vecteur directeur u(1,1,1).Déterminé les coordonnées du projeté orthogonal H du point A(2,3,4) sur D.
Et moi je me disait que je pouvais trouvé les coordonnées de H et faisant un produit scalaire(AH*HD) mais il me faudrait l'équation de la droite D pour faire ça,sachant que le produit scalaire sera forcément nul(90°).Ensuite je sais que le point H(x,y,z) est sur D ssi le vecteur OH est colinéaire avec u(1,1,1) et donc, par conséquent,OH=k*u(vecteur u)=k(1,1,1);donc (xh-xo,xh-yo,zh-zo)=(k,k,k).Ensuite on peut voir que xh=xa=2;et que yh=0.Pour le point O on sait que∀ point O et H Є à D,∃ un réel k tel que AB=k*u(dans mon cours mais je n'ais pas les coordonnées de O donc ça ne m'aide pas vraiment...

Bonsoir,

Les coordonnées de O sachant que le repère est d'origine O, je pense que tu vas pouvoir résoudre ton soucis de ce point de vue là ;-).

Sinon, ton raisonnement est bon, il faut juste utiliser le fait que AH.u=0 pour exprimer les coordonnées de H.

Bonne continuation!

Ok merci pour ton aide   je vais réussir à résoudre ce problème maintenant.

Les coordonnées de O c'est(0,0,0)?

Bonjour,

En effet, O est l'origine du repère du coup les coordonnées sont toutes égales à 0.

Bonne continuation!

Ok,merci pour ton aide.

Enfin j'ai trouvé! AH*u=0 et pour faire court,zh que je n'avais pas est égal à 7.
Donc H(2,0,7),mais ce que j'avais écris"OH=k*u" était vrai,mais ça ne m'a servi à rien ^^.

Ca ne sert pas à rien car les coordonnées de H doivent tout de même vérifier l'équation paramétrique de la droite mais ce n'est pas ce qui permet de conclure vu qu'il te manquait une équation.

Bonjour,je reviens sur ce sujet parce que mon professeur a corrigé cet exercice et ce que j'ai fais n'étais pas totalment bon.
En effet il a écrit:
AH(vecteur)*u(vecteur directeur)=0 et H appartient à D.
AH(xh-xa,yh-ya,zh-za)(1)
u(1,1,1)
AH*u=(xh-2)+(yh-3)+(zh-4)(2)
AH*u=xh+yh+zh-9=0
AH*u=3t-9=0
<=>t=9/3=3
D : {x=t,y=t,z=t;t appartient à R.
Et comme H appartient à D,alors H(t,t,t) d'ou H=(3,3,3).
Mais je me demandais d'ou sort le paramètre t? enfin c'est un paramètre qui permet de trouvé les coordonnées de H et c'est présent dans l'équation paramétrique de la droite qui serais {xh=2+1t;yh=3+1t;zh=4+1t.
Corrigé moi si je me trompe,ensuite je me suis demander pourquoi x=t;y=t;et z=t dans ce que mon professeur à écrit,enfaîte je ne comprend pas pourquoi x,y,et z on la même valeur,c'est à cause du coefficient directeur?
Enfin,si le coeficient directeur valait(4,5,6),en (2) on aurai AH*u=4*(xh-2)+5*(yh-3)+6(zh-4) et 4xh+5yh+6zh=8+24+15=47 d'ou 15t(avec xh(ou x)=yh=zh) donc 15t=47.

Bonjour,

On sait que la droite D passe aussi par l'origine du repère !
Du coup, O(0;0;0) appartient aussi à la droite D.
Vu que u(1;1;1) est le vecteur directeur de D, l'équation paramétrique de D est aussi:
{x=0+t
{y=0+t
{z=0+t

L'équation paramétrique que tu proposes correspond à une droite D' de vecteur directeur u passant par 1.

Or ici, on cherche le projeté de A sur D. Il est plutôt rare que le point A appartienne à la droite sur laquelle on projette car sinon, le projeté aurait les mêmes coordonnées que le point A lui-même s'il appartenait à la droite D.

Du coup, l'équation paramétrique que tu proposes ne correspond pas à la droite D ce qui a causé ton erreur.

Bonne continuation!

Ah oui! Je n'ai pas bien lu l'énoncé et H et A n'on pas du tout les même coordonnées,ensuite ma représentation paramétrique est fausse oui,une représentation qui serait bonne ça serai celle-ci
{x=xh+t;y=yh+t;z=zh+t ;avec H(3,3,3) .Mais ça sert seulement a trouvé les coordonnée d'un point les équation paramétrique? Et est ce que j'ai écrit en (2) est vrai?
Enfin une droite peut avoir plusieur équation paramétrique vu qu'elle a plusieur point et plusieur vecteur directeur(vecteur proportionnel) non?

Bonsoir,

Ce que tu avais écrit en (2) est juste en effet.

L'équation paramétrique d'une droite permet de visualiser le coefficient directeur de celle-ci. L'autre intérêt réside dans le fait de pouvoir trouver des points d'intersection de façon plus simple vu que tout dépend d'un seul paramètre en fait.

Enfin, il y a bien une infinité d'équation paramétrique d'une même droite (il suffit de remplacer t par un paramètre proportionnel à t pour avoir une nouvelle équation paramétrique).

Bonne continuation!

Merci beaucoup pour ton aide  à force mes questions doivent te saoulé!

Bonjour,

Aucune question ne me saoul pour ma part . J'ai monté ce forum pour répondre aux questions, je ne vais pas me plaindre d'en avoir.

Bonne continuation et n'hésite pas!