[1ère S] Exercice Produit scalaire 2

Voici donc le second exercice : suite du topic précédent :

Exercice 2 : Soit ABCD un rectangle tel que : AB = 4 et AD = 3. H et K sont les projetés orthogonaux respectifs de B et D sur la diagonale (AC).



1(a) Calculer le produit scalaire AC.DB
(b) En déduire la longueur HK.

2 On pose AB = x et AD = 1 avec x > 1.
(a) Calculer le produit scalaire [b]AC.DB
(b) En déduire la longueur HK en fontion de x.
(c) Pour quelle valeur de x on a : HK = 1/2AC ??

----------------------
Je sais que : AB = 4 et AD = 3

1(a) AC.DB = ||AC||||DB||.cos(AC;DB)
[AC] et [DB] sont les 2 diagonales de ABCD : elles sont égales : je vais les calculer grâce au théorème de Pythagore :

DAns ABC : AC² = AB² + CB² = 4² + 3² = 16+9 = 25
--> AC = Racine carrée de 25 = 5

--> AC.BD = ||AC||||DB||.cos(AC;DB) = 5.5.cos(AC;DB)

Je dois calculer (AC;DB) : Dans OBC isocèle en O (avec O le point d'intersection des deux diagonales de ABCD), je vais calculer l'angle OBC :

OBC = ABC - ABD : je vais calculer ABD étant donné que, ABC es-t un angle droit : il vaut donc (Pi/2).

J'utilise Pythagore : ABD = AB/DB = 4/5
--> ABD = 36.86Degrés

donc : 90 -36.87 = OBC = 53.14Degrés

OBC étant isocèle en O :

Angle BOC = 180 -(53.14.2) = 73.72 Degrés

--> AC.DB = 25 . cos (73.72) = 7

(b) AC = DB = 5 --> OC = 2.5

HB est la hauteur de OBC : elle coupe [OC] en 2 parties égales : 2.5/2 = 1.25 = OH

OCH = AOD donc : KH = OH + OK = 2.5

Après, je n'arrive pas à faire le 2.

Pouvez-vous m'aider svp?

Alors pour cette exercice, on ne te donne plus les astuce mais faut les trouver . ta méthode mène encore au bout, je dois dire que c'est du beau boulot avec autant de calcul !!

Un petit conseil pour la première question, décompose AC et DB en AC=AB + BC et DB=DA + AB. Tu trouvera aussi 7 mais avec beaucoup de calcul en moins.
D'ailleurs fait attention en donnant des valeurs approchées lors des calculs intermédiaire celà n'est pas forcément bien vu même si dans ta calculatrice garde la valeur exacte.

Alors le calcul de HC s'avère faux. En effet la hauteur (HB) n'est pas médiane du triangle issu de B car le triangle est isocèle en O et non en B. Attention à bien regarder ce qu'on manipule!

Alors pour calcul la longueur HK, il va falloir utiliser le produit scalaire car une question b) sans utilisé une question a) c'est assez rare même si ça arrive. Mais là c'est marqué "en déduire" donc plus de doute possible.

Alors il faut que tu utilises la question a) c'est à dire AC.DB=7

Pour celà on sait que K est le projeté de D sur (AC). Donc au niveau du produit scalaire on sait que:

AC.DB = AC.KB (il s'agit de la deuxième méthode poru calculer un produit scalaire)

Or on sait aussi que H est le projeté de B sur (AC)
Donc AC.KB = AC.KH

Donc AC.DB = AC.KH

Et à partir de là, tu sais exprimer AC.KH et d'après a) AC.DB=7. La conclusion est donc immédiate.

Pour la deuxième question, en regardant comment je te propose de calculer le produit scalaire en 1) a), tu va pouvoir continuer pour les première question je pense et je l'espère . et la question 2)c), il s'agit d'une résolution d'équation ne fait mais on en reparlera quand tu auras mis ne évidence les deux premiers calculs

Bon courage en tout cas!

OK Merci.
Je poste la suite demain

SAlut!
J'ai refait tout d'abord la partie une :

(a)

AC.DB = (AC + BC) . (DA + AB) = [AB.DA + AB.AB] + [BC.DA + BC.AB] = AB.AB + BC.DA = 16 -9 = 7

C'est bien comme cela selon ta méthode?

(b) Je sais que : AC.DB = 7
K est le projeté de D sur (AC) : AC.DB = AC.KB
Donc : AC.DB = AC.KH = 7
AC.KM = ||AC||||KH||cos(AC;KH) = 7

Je calcule AC grâce à Pythgore : AC² = AB² + BC ² = 25
--> AC = 5

AC.KH = 5.||KH||.cos(0) = 7
--> ||KH|| = 7/5

Est-ce bon jusqu'ici?

Et vilà la suite :

2(a)AB = x avec x > 1

AC.DB = (AB+BC).(DA+AB) = AB.AB + BC.DA = x² -1

(b) Je sais que : AC.DB = x² -1
K est le projeté de D sur (AC) : AC.DB = AC.KB
Donc : AC.DB = AC.KH = x²-1
AC.KM = ||AC||||KH||cos(AC;KH) = x² - 1

Je calcule AC grâce à Pythgore : AC² = AB² + BC ² = x² + 1²
--> AC = RACINE carrée de (x² + 1²)

AC.KH = 5.||KH||.cos(0) = x² -1
--> ||KH|| = (x²-1) / RAcine carrée de (x² -1)

Bonjour,

En effet, la première partie se fait toute seule du coup et avec un gain de calcul non négligeable. Je ne dis pas que mon astuce marche à tous les coups loin de là mais quand il y a des côté perpendiculaire ça permet de limiter les calculs.

La deuxième partie est du coup plus "simple" à faire car les calculs de la première partie on été mené de tel sorte à ne se servir que des données de l'énoncer presque.
Par contre, tu fais une erreur sur le calcul de la racine. Depuis quand √(a² +b²) = a + b ?????
Un rappel, lorsqu'il y a une addition sous la racine, on NE peut RIEN simplifier .
Sinon la méthode était juste pour la conclusion de la longueur KH. Un petit conseil qui servira pour les calculs à venir: je laisse très rarement les racines au dénominateur préférant mettre des entiers...

Maintenant pour la question c), on cherche la valeur de x tel que KH=(1/2)*AC

Or AC, tu connais et KH tu viens de la calculer en fonction de x.

Il ne reste plus qu'à remplacer tout ça et à résoudre l'équation. Un conseil pour la conclusion vu qu'il s'agit d'une équation du 2nd degré, il se peut qu'il y ait deux solutions pour x. Cependant, n'oublie pas que x=AB, il s'agit donc d'une longueur (c'est à dire positive) et de plus, on te dit qu'on prend x>1 ce qui va te permettre de conclure.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice.

Où est la racine carrée?

Tu marques: AC² = AB² + BC ² = x² + 1²

Donc AC²= x² +1

D'où AC = √(x² + 1) par passage à la racine.

(J'ai édité à propos de la racine carrée)

Voici donc le final !

KH = 1/2AC avec KH = (x²-1)/Racine(x²-1²) et AC = RAcine(x²+1²)

--> (x²-1)/Racine(x²-1²) = 1/2 * RAcine(x²+1²)
(x²-1)/Racine(x²-1²) = RAcine(x²+1²)/2

Après je bloque

Prend un peu de recul, on a KH= (x²-1)/AC

Or on a dit que AC=√(x² + 1) et non √(x² - 1) .

Donc en faisant un produit en croix, le calcul va se faire sans problème. D'ailleurs, si tu était réellement dans la situation que tu m'écrivait, un moyen de s'en sorti c'est de passer le tout au carré comem celà tu n'a plus de racinne. Mais ici c'est plus simple que celà comme tu vas t'en appercevoir.

Désolé, faute d'inattention...
Je comprends plus pourquoi KH= (x²-1)/AC??

Sinon, j'ai fait le calcul mais, on trouve les même termes des deux côtés du =.

On avait AC.KM = ||AC||||KH||cos(AC;KH) = x² - 1

D'où AC*KH=x² - 1 c'est à dire KH=(x²-1)/AC

Sinon, tu ne vas pas avoir la même chose des deux côté de l'égalité. Sinon, celà voudrait dire que l'égalité serait tout le temps vrai c'est à dire que KH=(1/2)*AC pour tout x ce qui est faux ici en tout cas.

Tu vas voir que ton équation va être une équation que tu sais résoudre depuis longtemps et que tout va se finir tranquillement .

On a donc : KH = (x² -1 ) / Racine(x²+1) et après, je fais le calul en mettant un * maisn je n'y arrive pas...

On a donc KH= (x²-1)/√(x² + 1), nous sommes d'accord.

Et nous, on veut que KH=(1/2)*AC c'est à dire KH=(1/2)*√(x² + 1)

C'est équivalent à:

(x²-1)/√(x² + 1) = (1/2)*√(x² + 1)

A partir de là, je fait un produit en croix ce qui me donne:

(x²-1)*2 = [√(x² + 1)]*[√(x² + 1)]

Tu vas donc arriver à une équation que tu sais résoudre et n'oublie pas pour la conclusion que par hypothèse, on a x>1

je trouve x^4 = -2..

C'est génant, un nombre positif qui est égale à un nombre négatif en effet .

Alors, un petit rappel sur les racines carrées: (√a)*(√a)= (√a)² = a

Vérifie tes calculs, il n'y a pas de puissance 4. Il s'agit bien d'une équation du second degré (donc la puissance maximale est 2).

Tu vas y arriver, c'est la dernière question. Donc calmement mais surement regarde le calcul qu'il y a à faire et ce que j'ai marqué dans le post juste avant, tu vas le boucler d'ici peu de temps .

Le résultat est : Racine (3/2)??

Alors, on tient le bon bout là .

Par contre, d'où vient le 3/2 ?

2x - x² = 3

x = Racine (2/3)

C'est 2*x² - x² = 3

Donc ??

Blagu'cuicui a écrit:

C'est 2*x² - x² = 3

Donc ??

x = 3/2

Prend 1mètre de recul par rapport à l'écran. Puis regarde le plafond et enfin regarde ton calcul:

2x² - x² = 3

Si tu trouves toujours √(3/2). Fait le calcul avec x=√(3/2) pour voir si tu as bien l'égalité du dessus.

Blagu'cuicui a écrit:

Prend 1mètre de recul par rapport à l'écran. Puis regarde le plafond et enfin regarde ton calcul:

2x² - x² = 3

Si tu trouves toujours √(3/2). Fait le calcul avec x=√(3/2) pour voir si tu as bien l'égalité du dessus.

AH! x= Racine de 3!

Et bien voilà . vu que x>1, on prend la valeur positive et vu que √3>1, on a bien x=√3 .

C'est nickel!

J'ai bien fait de regarder le plafond .
Désolé, j'suis fatigué donc, j'devais pas avoir tous mes esprits...
En tout cas, merci pour tout (comme d'hab ).

Bonne soirée
@+
Encore merci

De rien et t'inquiète pas la fatigue est une chose qu'on ne contrôle pas forcément . Prendre du recule par rapport au chose à souvent du bon, c'est 1minute de temps en plus mais le calcul s'avère peut-être plus juste à la fin .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!