Géométrie dans l'espace3.6

Bonjour,on m'a donné cet exercice;
L'espace est rapporté à un repère (O,i,j,k).
On note D la droite passant par les points A(1,-2,-1) et B(3,-5,-2).
1)Donner une représentation paramétrique de la droite D.
2)On note D' la droite ayant pour représentation paramétrique :
D' : {x=2-k; y=1+2k; z=k.
Montrer que les droites D et D' ne sont pas coplanaires.
3) On considère le plan P d'équation; 4x+y+5z+3=0
a)Montrer que le plan P contient la droite D.
b)Montrer que le plan P et la droite D' se coupe en un point C dont on précisera les coordonnées.
c) déterminé les coordonnées du projeté orthogonal H du point C sur D.
PS: je n'ai pas écris les calcul simple comme les coordonnées AB,car ce message est déja assez long.
Alors en 1) j'ai écris:
D : {x=2t+1; y=-3t-2; z=-t-1.
2)Il faut montrer que ces droites ne sont ni parralèle ni sécante donc déja elle ne sont pas parallèle parce ce que leur vecteur directeur (2,-3,-1) et (-1,2,1) ne sont pas colinéaire,et pour que ces droite soient sécante il faudrait que le système: {2-k=2t+1(1.3); 1+2k=-3t-2;k=-t-1. admette une solution or quand on remplace la valeur de k dans (1.3) on se rend compte que 3+t=2t+1 ce qui donne t=2 et quand on remplace dans une autre ligne on trouve que t=-1 ce qui est impossible car -1 n'est pas égal a 2 donc les deux droite ne sont pas sécantes ni parrallèle(confondu je ne crois pas).
3)Si D appartient a P alors le vecteur directeur de D qu'on appelera u(2,-3,-1)*n(4,1,5) = 0 donc 8-3-5= O alors D appartient à P.
b)Pour les coordonné je ne sais pas trop,j'ai écrit:
4(2-k)+(1+2k)+5k+3=0 d'ou k=-4 et C(6,-7,-4).
Le c) je ne sais pas du tout...

3)Si D appartient a P alors cela veut di que les point A et B appartienne a P ce qui est le cas car pour A :4-2-5+3=0 et pour B:12-5-10+3=0

Bonsoir,

En effet, pour la 2), c'est exactement ce qu'il faut faire de mon point de vue. Montrer le non parallélisme de deux droites revient bien à montrer la non-colinéarité des deux vecteurs directeur. Puis pour montrer que deux droites sont non-sécantes, il suffit de résoudre le système et de montrer qu'il n'y a pas de solution.

Ok pour la question 3)b) au niveau de la réflexion car il suffit en effet, de trouver la valeur de k et de réinjecter cette valeur dans l'équation paramétrique.

Pour la question 3)a), le fait que le vecteur normal du plan et que le vecteur directeur de la droite soient orthogonaux ne suffit pas. En effet, la droite pourrait tout à fait être juste au-dessus du plan tout en étant bien parallèle au plan. Donc en effet, il faut simplement vérifier que A et B appartiennent au plan car par deux points passent une unique droite.

Ensuite, pour la question 3)c), il faut se placer dans le plan contenant C et la droite (D). Puis de projeter dans le plan ce qu'on sait tout à fait faire.
L'intérêt justement des deux questions précédentes était justement de montrer que C et (D) étaient bien tous les deux dans le plan P. Et du coup, on effectue un projeté orthogonal dans le plan P du point C sur la droite (D).

Bon courage!

Ok merci