[1ère S] Exercice Produit scalaire 2

Bonjour à toutes et tous,

Je vous propose une correction détaillée pour cette exercice:

Nous étions face à la figure suivante:

- ABCD est une rectangle
- K le projeté orthogonale de D sur la diagonale (AC)
- H le projeté orthogonale de B sur la diagonale (AC)

Rappel: Le projeté d'un point Q sur une droite (D) est le point d'intersection de la droite perpendiculaire à (D) passant par Q. Dans cette situation là, si on appelle le projeté P le projeté de Q, on a: PQ= la distance minimale entre le point P et la droite (D) c'est à dire que pour tout point M de la droite (D) on aura MP > QP.

1) Dans un premier temps, on suppose:

- AB= 4 cms
- AD= 3 cms

a) On se propose de calculer le produit scalaire AC.DB.

Par la relation de Chasle, on a: AC = AB + BC et DB = DA + AB

Donc le produit scalaire AC.DB = (AB + BC).(DA + AB)

D'où AC.DB = AB.DA + AB.AB + BC.DA + BC.AB

Or ABCD est un rectangle, donc (AB) et (DA) sont perpendiculaire et de même pour (BC) et (AB)
De plus, lorsque [b]deux vecteurs sont perpendiculaires, on sait que leur produit scalaire est nul.

Donc AC.DB = 0 + AB.AB + BC.DA + 0

Or AB.AB= AB² = 4² = 16 et BC.DA= BC.(-AD) = - BC.AD = -AD² = -9 (car AD=BC)

Donc AC.DB = 7


b) On se propose maintenant d'en déduire la longueur HK.

On sait que AC.DB = AC.KB car K est le projeté de D sur (AC)

Et de plus, on a: AC.DB = AC.KH car H est le projeté de B sur (AC)

Or AC.KH = AC*KH*Cos(AC,KH) = AC*KH

Donc KH= AC.KH / AC

D'où KH= AC.DB / AC

Or d'après 1) a), on sait que AC.DB= 7
De plus, ACB est un triangle rectangle en B, donc d'après le théorème de Pythagore, on a AC² = AB² + CB² = 16 + 9 = 25
Donc AC= 5cms

Donc KH= 7/5 cms d'où KH= 1.4 cms


2) Dans cette partie, on suppose:

- AB= x cms avec x>1
- AD= 1 cms

Nous avons vu dans la première question, un cas particulier avec x= 4cms et AD= 3 cms. On se propose ici de faire un cas plus général mais pour simplifier les calculs, on nous donne quand même AD=1 cms.

a) Il s'agit de calculer le même produit scalaire qu'en 1) a) mais en fonction de l'inconnue x cette fois.

Nous savons déjà d'après 1) a) que AC.DB = 0 + AB.AB + BC.DA + 0

Or AB.AB= x² et BC.DA = -1

Donc AC.DB = x² -1


b) Il s'agit maintenant d'en déduire la longueur HK avec les nouvelles données.

Il faut donc recalculer AC, à l'aide de Pythagore dans le triangle ACB. On a donc AC² = x² + 1 d'où AC = √(x² + 1)

Donc on a HK= AC.DB / AC (avec les même considérations quand dans la question 1) b) )

Donc HK = (x² - 1)/ √(x² + 1)


c) Dans cette dernière question, il s'agit de résoudre l'équation HK= (1/2)*AC ce qui revient bien à trouver les valeurs de x pour lesquelles, on a HK= (1/2)*AC

On sait d'après la question 2) b) que AC = √(x² + 1) et HK = (x² - 1)/ √(x² + 1)

Donc HK= (1/2)*AC

<=> (x² - 1)/ √(x² + 1) = (1/2)*√(x² + 1)

<=> 2*(x² -1) = [√(x² + 1)]²

<=> 2x² - 2 = x² + 1

<=> x² = 3

<=> x= √3 ou x= -√3

Or on suppose AB= x, donc x est positif par définition donc x=-√3 est exclu et on supposait de plus que x>1
Or √3>1

Conclusion: HK=(1/2)*AC <=> x=√3 cms


Cette exercice faisait donc des rappels sur ce qu'était le projeté d'un point sur un droite ainsi que les différentes façons de calculer un produit scalaire. De plus, on retrouvait l'application du théorème de Pythagore et la résolution d'une équation du second degré.

En espérant que cette correction vous permettra de faire des révisions sur ces point là.

Bonne continuation à toutes et tous et @bientôt au sein du forum!