exercice de math seconde (équation, inégalité, intersection)

Bonjour, je suis bloqué sur certaine question de cette exercice, pouvez -vous m'aider merci d'avance.

Exercice :
On a tracé ci-contre la courbe C représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x²-4x-6. La courbe C rencontre l'axe des abscisses en C et en D et l'axe des ordonnées en B. La fonction f admet un minimum pour une valeur x0 qui est l'abscisses du point A de C. On se propose d'utiliser les diverses écritures de f(x) pour calculer les coordonnées de A, B, C, D.

1) Vérifier que f(x) = 2(x-1)²-8 = 2(x-3)(x+1)
Ma réponse : 2(x-1)²-8 = 2 (x²-2x+1)-8 = 2x²-4x-6 = f(x)
2(x-3)(x+1) = (2x-6)(x+1) = 2x²-4x-6 = f(x)

2) a) calculer les coordonnées de B
Ma réponse : La courbe C coupe l'axe des ordonnées en B donc xb = 0 pui
yb = 2(xb)²-4(xb)-6 = -6
d'où B (0;-6)
b) Calculez les coordonnées de C et de D
Ma réponse : La courbe C coupe l'axe des abscisses en C et en D donc yc =yd = 0 puis
0 = 2(x-3)(x+1) ssi 0 = (2x-6)(x+1)
ssi 2x = 6 ou x=-1
ssi x = 3 ou x = -1
d'où C (-1;0) et D(3;0)
c) démontrer que pour tout x réel, f(x) supérieur ou égale à -8 d) Résolvez f(x) = -8 et trouvez les coordonnées de A
3) La droite D d'équation y=2 coupe C en deux point I et J En utilisant une des expressions de la question &), calculer les coordonnées exactes de I et de J.

Bonjour et bienvenue parmi nous Ceci !

Les trois premières question de ton exercice sont justes.

Une remarque pour la question 2)b), tu marques:

Citation :

0 = 2(x-3)(x+1) ssi 0 = (2x-6)(x+1)

Mais vu qu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ces facteurs est nul, tu peux directement marquer:

0 = 2(x-3)(x+1) ssi x - 3=0 ou x + 1=0

Vu que 2 est un facteur non nul, tu peux directement l'enlever.

Sinon, pour la question 2)c), pour résoudre f(x) ≥ -8 , il faut que tu utilise la bonne expression de f(x).

Tu en as trois possibles, une forme développée, une forme factorisée et une forme intermédiaire (qu'on appelle forme canonique).
Cependant, résoudre f(x) ≥ -8 revient à résoudre f(x) + 8 ≥ 0, l'expression la mieux adapté est donc l'expression canonique: f(x) = 2*(x-1)² - 8

De même pour la résolution de f(x) = -8.

Après la dernière partie de la question 2)c), va te permettre de combiner les deux résultats que tu viens de trouver.

Pour celà, il faut savoir ce que signifie pour tout x, on a f(x) ≥ -8 et ce que signifie il existe un x tel que f(x) = -8.

Nous entamerons la dernière question lorsque nous aurons fini celle-ci qui contient déjà pas mal de chose.

Bon courage!

je suis désolé mais je n'ai toujours pas compris comment résoudre l'inéquation f(x) > -8
Cela me donne f(x) >-8 ssi 2(x-1)²-8+8>0 ssi 2(x-1)²>0
je suis bloqué à cet endroit je ne vois pas comment continué.

Ne sois pas désolé, ce n'est pas grave de ne pas comprendre loin de là.

On doit montrer que notre inégalité est vraie pour tout x et notre dernière équivalence est celle-ci 2(x-1)²>0

Il faut donc montrer que pour tout x, 2(x-1)² est toujorus positif ou nul.

Or que sait-on du signe d'un carré ?

Le signe d'un carré est toujours positifs. Donc f(x) sera toujours supérieur ou égale à -8

C'est tout à fait ça! Il faudra juste dire que 2>0 aussi car le carré est positif mais si il était multiplié par quelque chose de négatif le signe changerait.

Donc maintenant avant de résoudre f(x) =-8, qu'est-ce que celà signifie qu'on ait pour tout x, f(x) ≥ -8 ?

Cela signifie que pour n'importe quels valeurs de x f(x) sera toujour > à -8 ?

Oui mais celà signifie quoi concrètement pour les point de la courbe C ?

Ne pas oublier le rapport avec les points de la courbe comme tu l'avais fait pour déterminer les coordonnées des premiers points. Tu avais en effet très bien interprété la position des points sur la courbe en propriétés pour la fonction f.

Là, il s'agit de faire l'inverse, nous venons de montrer quelque chose sur la fonction f, qu'est-ce que celà signifie pour les points de la courbe ?

Cela signifie que tous les points situé sur y = 2x²-4x-6 se trouve sur ou au dessus de l'axe des abscisse et alors x>0

Non ce n'est pas l'axe des abscisses vu que c'est supérieurs à -8.

En fait, tous les points de la courbes sont au-dessus ou sur la droite d'équation y=-8.

Celà signifie aussi que -8 est un minorant pour la fonction f.

Maintenant, reste à savoir si ce minorant est atteint ou pas ce qui revient à savoir si l'équation f(x)=-8 a des solution ou pas. Et si cette équation à des solution celà voudra dire que -8 est le minimum de la courbe C. Celà te donnera bien les coordonnées du point A.

Le raisonnement était donc le suivant:

On te propose de montrer que f(x) est minoré par -8.
Après on te fait résoudre f(x)=-8 pour savoir si le minorant est atteint.
Enfin, on te demande d'en déduire les coordonnées du point A qui est le minimum de la courbe C.

Bon courage pour cette question et n'hésite pas à demander d'autres explications si besoin est.

Merci pour les explications. Mes j'aurais encore besoin de quelques petites explications pour calculer f(x) = -8 car faut-il que je trouve deux solutions ou seulement une seule ?

En utilisant la propriété qui te dit qu'un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul, tu vas te rendre compte que tes deux termes vont te donner, en effet, la même solution.

C'est ce qu'on appelle une solution double. Ce nom vient du fait qu'elle est deux fois solutions de l'équation vu que les deux facteurs sont égaux.

Ce qu'il faut essayer de se rappeler pour une équation de degré deux c'est qu'il y a deux solutions au maximum et que s'il y a une seule solution ont l'appelle solution double.

Dans notre cas la solution est en effet double, donc tu n'auras qu'une seule solution. Ce qui est très bien vu qu'on nous a dit dans l'énoncer qu'il n'y avais qu'un seul minimum qui était atteint en A. Donc avoir qu'une seule solution à l'équation f(x)=-8 devrait plutôt te rassurer.

Pour information, si tu avais trouvé deux solutions à cette équation celà aurai signifie que le minimum était atteint deux fois exactement.

Vu que tu as bientôt fini cette question, je vais te donner quelques indications pour la dernière question. En fait, ce qu'il faut savoir c'est le lien entre la notion de "points d'intersection" et la notion de "résolution d'un système".

Les points d'intersection entre deux courbes, (C₁) et (C₂) ont des coordonnées qui vérifient à la fois l'équation de (C₁) et l'équation de (C₂). Inversement, si j'ai un point dont les coordonnées vérifient les deux équations alors c'est un point d'intersection entre les deux courbes. On peut résumer celà ainsi:

I(x₀,y₀) est un point d'intersection entre des courbes d'équation y=f(x) et y=g(x) <=> le couple (x₀, y₀) est solution du système:
{y=f(x)
{y=g(x)

Il va donc falloir que tu résous le système:
{y=f(x)
{y=2

pour résoudre la dernière question.

Bon courage!

Je pense avoir trouver pour la quetion d)
Il faut prendre l'expression 2(x-1)²-8 = -8 <=> 2(x-1)² =0
Puis il faut expliquer qu' un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteur est nul. Ce qui nous donne 2(x-1)=0 ou 2(x-1)=0 <=> 2x-2 = 0 <=> x =1
D'où A (1;-8)
Pour la question 3), Je pense que les coordonnées des points d'intersection de la courbe I et J sont I(-1;2) et J(3;2) ; démonstration :
Les courbes C et D n'ont pas même coefficient directeur donc C n'est pas parallèle à D, c'est deux droites sont donc sécantes.
Soit I et J leurs points d'intersections
Les coordonnées de I et J vérifient y = 2 et y = 2(x-3)(x+1)
Soit 2 = 2(x-3)(x+1) <=> (x-3)(x+1) = 0 <=> x-3 = 0 ou x+1 = 0 <=> x=3 ou x=-1
Comme la droite D d'équation y=2 est parallèle à l'axe des abscisses yI = yJ = 2
d'où I(-1;2) et J(3;2)

c'est presque celà mais tu as juste fait une erreur pour la dernière question:

Citation :

2=2(x-3)(x+1) <=> (x-3)(x+1) = 0

Lorsque que tu simplifies par 2 de chaque côté celà fait

(x-3)(x+1) = 1 (et non 0)

Je te conseille plus de prendre l'expression du début de f(x) pour faire tes calculs, tu vas voir qu'ils se font plus simplement.

Sinon la question d'avant était bien .

Bon courage, tu tiens le bon bout !

Le problème est que ci j'utilise l'autre expression de f(x) je n'obtient pas le même résultat, j'obtient ceci :
2(x-1)²-8=2 <=> (x-1)²-8 = 1 <=> (x-1)²-9=0 <=> (x-4)(x+2)=0 <=> x=4 ou x=-2

Tu fais une autre erreur dans ton calcul ici:

Citation :

2(x-1)²-8=2 <=> (x-1)²-8 = 1

Lorsque tu simplifies par 2, il faut que tu mettes 2 en facteurs de chaque côté: 2*[(x-1)² - 4]= 2
Là tu pourras simplifié par 2.

Cependant, je te conseille de prendre la première expression de f(x), celle de l'énoncer car c'est la mieux adaptée pour effectuer ce calcul.

Bon courage!

cela me donne : 2x²-4x-6=2 <=> 2x²-4x-8=0
mais je ne vois pas comment on pourrait terminé ce calcul

Tu ne vois pas une première factorisation par une constante de cette expression ?

Non en fait ça sera plus simple pour toi avec l'expression que tu as utilisée avant: 2*(x-1) - 8 = 2

Ce qui donne 2*(x-1)² - 10 =0

Après il faut factoriser par 2, ce qui donne 2*[(x-1)² - 5] =0 <=> (x-1)² -5 =0

Après est-ce que tu ne vois pas une factorisation de cette expression là ?

Je pense que l'on peut factoriser comme ceci :
(x-1)²-5 = 0 <=> [(x-1)- racine de 5] [(x-1)+ racine de 5] <=> x=1+racine de 5 ou x = 1- racine de 5

Tout à fait !!

Désolé d'avoir voulu prendre la première forme car pour moi elle était plus pratique mais pas pour toi tout compte fait .

Je te souhaite une bonne continuation et @bientôt au sein du forum!

Bonjour @toutes et tous!

Je vous propose une correction de cette exercice dont je rappelle l'énoncer:

Citation :

On a tracé ci-contre la courbe (C) représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = 2x²-4x-6. La courbe (C) rencontre l'axe des abscisses en C et en D et l'axe des ordonnées en B. La fonction f admet un minimum pour une valeur x0 qui est l'abscisse du point A de (C). On se propose d'utiliser les diverses écritures de f(x) pour calculer les coordonnées de A, B, C, D.

1) Vérifier que f(x) = 2(x-1)²-8 = 2(x-3)(x+1)

2)
a) calculer les coordonnées de B
b) Calculez les coordonnées de C et de D
c) démontrer que pour tout x réel, f(x) supérieur ou égale à -8
d) Résolvez f(x) = -8 et trouvez les coordonnées de A

3) La droite D d'équation y=2 coupe (C) en deux point I et J En utilisant une des expressions de la question 1), calculer les coordonnées exactes de I et de J.

Déjà essayons de comprendre un peut l'énoncer car il y a beaucoup d'information et il ne sert à rien de démarrer l'exercice si on a pas compris où était les points qu'on considère. En effet, on a une courbe (C) qui représente la fonction f définie par f(x)=2*x²-4x-6

A partir de là, on définit les point A, B, C et D ainsi:

- C et D sont les point d'intersection de la courbe (C) avec l'axe des abscisses. Par conséquent, on sait que leur coordonnées vérifient l''équation y=f(x) ET y=0 (vu qu'ils sont sur l'axe des abscisses.
Conclusion, les ordonnées des point C et D sont nulles et leur abscisses vérifient l'équation f(x)=0.

- B est le point d'intersection entre la courbe (C) et l'axe des ordonnées qui a pour équation x=0. Par conséquent, l'abscisse de B est nulle et sont ordonnées vos y=f(0) vu qu'il appartient aussi à (C).

- A est le minimum de la courbe (C) et on nous dit qu'il a pour abscisse x₀ et vu qu'il appartient aussi à la courbe, on a y₀=f(x₀)

Après analyse, on vois qu'on a tout de suite accès au coordonnée de B (qui est la question 2)a) en fait). De plus, les coordonnées de C et D se déduisent de la résolution d'une équation du second degré f(x)=0 vu qu'on sait déjà que les ordonnées sont nulles (ça sera la question 2)b)). La question 2)c) va nous permettre de savoir la valeur du minimum de f(x) et on va pouvoir en déduire la valeur de x₀ par suite mais poru ce faire nous avons besoin de la question 1). La dernière question va nous amener à la résolution d'un système mais nous y reviendrons.

Commençons la résolution de cette exercice:

1) Un question qui commence par "vérifier que" ou "montrer que" peut être résolue de deux manières soit on montre de façon brute les choses soit on effectue le calcul qui va nous permettre de retrouver ce qu'on sait.

Ici, on a: 2*(x-1)²-8=2*[x-1)²-4]
Donc 2*(x-1)²-8=2*(x-1-2)*(x-1+2) (3ème identité remarquable)
D'où 2*(x-1)²-8=2*(x-3)*(x+1)

De plus, 2*(x-1)²-8=2*(x²-2x+1)-8 (développement de (a-b)²)
Donc 2*(x-1)²-8=2x²-4x+2-8
D'où 2*(x-1)²-8=2x²-4x-6
Or f(x)=2x²-4x-6

Conclusion: f(x)=2*(x-1)²-8=2*(x-3)*(x+1)

2)
a) D'après ce qu'on sait B appartient à l'axe des ordonnées donc x_B=0. De plus, B appartient à (C), donc y_B=f(x_B)=f(0)
Or f(0)=-6

Donc [lb]es coordonnées de B sont (0;-6)[/b]

b) C et D sont sur l'axe des abscisses, par conséquent y_C=y_D=0. De plus, ils appartiennent tous les deux à (C), donc:
y_C=f(x_C)
et
y_D=f(x_D)

Nous devons donc résoudre f(x)=0

D'après 1), on a: f(x)=2*(x-3)*(x+1)
Donc f(x)=0 <=> 2*(x-3)*(x+1)=0
=> x-3=0 ou x+1=0
=> x=3 ou x=-1

Donc les coordonnées de C sont (-1;0) et les coordonnées de D sont (3;0)

c) On sait d'après 1) que pour tout réel x, f(x)=2*(x-1)²-8
Or pour tout réel x, 2*(x-1)²≥0 (car un carré est toujours positif ou nul et que 2 est positif)
Donc pour tout réel x, 2*(x-1)²-8≥0-8

Conclusion, pour tout réel x, f(x)≥-8

A ce stade là, on sait que -8 est un minorant de f(x). Cependant, on ne sait pas encore qu'il s'agit d'un minimum. En effet, pour qu'il soit un minimum, il faut qu'il existe un a tel que f(a)=-8 (c'est à dire que mon minorant soit atteint par un point de la courbe). C'est donc la question suivante.

d) D'après 1), on a: f(x)=2*(x-1)²-8
Donc f(x)=-8 <=> 2*(x-1)²-8=-8
<=> 2*(x-1)²=0
=> x-1=0
Donc x=1

Or d'après la question c), pour tout réel x, f(x)≥-8

Donc le minimum de la courbe (C) a pour coordonnées (1;-8). D'où les coordonnées de A sont (1;-8)


3) On définit I et J comme les points d'intersection de la droite y=2 et de la courbe (C). Par conséquent, les coordonnées de chacun des points vérifient: y=2 et y=f(x).

On sait donc que l'ordonnée des point I et J est égale à 2.

Calculons leurs abscisses ce qui revient donc à résoudre F(x)=2.

D'après 1), on sait que f(x)=2*(x-1)-8
Donc f(x)=2 <=> 2*(x-1)²-8=2
<=> 2*[(x-1)²-4]=2*1
<=> (x-1)²-4=1
<=> (x-1)²-5=0
<=> [x-1-√5]*[x-1+√5]=0

Donc x=1+√5 ou x=1-√5

Par conséquent les coordonnées de I et J sont respectivement égale à (1-√5;2) et (1+√5;2)


Ceci conclut cette exercice. Il contient beaucoup de technique qu'il faut savoir maîtrisé si vous voulez continuer dans une serie scientifique surtout. Sinon, la chose la plus importante à retenir ici c'est que:
les coordonnées d'un point d'intersection entre deux courbes vérifient les équations qui sont représentées par ses deux courbes.

N'hésitez pas à poser vos questions si besoin est, nous sommes là pour ça.

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!