les fonctions

bonjour j'ai un exercice a faire sur les fonctions et je ne comprends pas du tout l'énoncer.. est ce que vous pourriez m'éclaircir sur cet exercice?

On veut construire une cuve métallique à partir d'une plaque carrée de 3m de côté. A chaque coin de cette plaque, on découpe un carré de côté x mètres. En pliant et en soudant, on obtient une cuve en forme de parallélépipède de volume V(x) en m cube

1) Quelles sont les valeurs possibles de x ?

2) Démontrer que le volume V(x) de cette cuve en m cube est : V(x) = x(3-2x)²

3) a) Dresser un tableau de variations de la fonction V.

b) Déterminer les dimensions de la cuve qui aura le volume maximal.

Bonjour et bienvenu parmi nous Mouth76!

Je me suis permis de déplacer ton post dans problème et exercice vu que le perchoir sert de recueille d'exercice corrigé et fini donc .

Alros pour mieux comprendre ce genre d'exercice, le premier conseil serait de faire un dessin directement.

En effet, on parle d'une plaque ^carré de côté 3m et ensuite on dit que dans chaque coin on découpe des carré de côté x mètre dans cette plaque.

Voilà à quoi ressemble notre exercice en fait:




Dans la pratique, on va donc découper les quatre coins et ensuite on va plier les rebord pour les souder entre-eux. On aura donc une cuve carré avec une certaine hauteur. Bon notre but est quand même d'avoir un minimum d'eau dedans pour une cuve c'est son premier intérêt.

Nous allons donc travailler sur le volume de celle-ci et le but va être au terme de l'exercice de trouver le volume maximal d'eau qu'elle peut contenir ce qui reviendra à l'étude d'une fonction.


Voilà en gros la démarche de notre exercice, le première question est donc de calculer ce volume (Aire de la base)*hauteur. Mais avant toute chose il faut savoir quelle mesure peut prendre x car il ne faudrait pas découper toute la plaque non plus .

En espérant que dans un premier temps celà permettra de mieux comprendre cette exercice et que tu pourras aborder les questions au fur et à mesure. Toutes tes questions sont bonnes à être posées alors n'hésites pas à nous les proposer si tu bloques sur l'une d'entre elle ou si tu veux être sûr de ta démarche ou de ton résultat.

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!

pour le première question j'ai trouvé que X pouvait avoir 2 possibilités :

soit 1 mètre
soit 2 mètres

Bonjour,

En fait, dans la première question, on te demande un intervalle dans lequel x "peut vivre" c'est à dire toutes les valeurs possible pour x.

Visuellement, on peut dire qu'au minimum, nous faisons aucune découpe dans la plaque de cuivre c'est à dire x=0 mais celà ne ressemblerait plus trop à une cuve donc l'intervalle sera ouvert en 0 c'est à dire ]0; ...[

Et on cherche maintenant la valeur maximal que peut prendre x. Tu proposes 2mètres mais celà est trop grand en effet si chaque carré fait 2mètres de côté il faudrait que la plaque fasse au moins 4mètres pour pouvoir contenir des coin de longueur 2mètres de côté.

Nous savons donc que la longueur maximal à atteindre pour la cuve c'est 3mètres, on a pas le droit en découpant les coins de dépasser ces 3mètres sinon on couperait plus que la cuve elle-même .

Or il y a deux côté de chaque coins sur chaque côté de la cuve celà veux donc dire que nous avons 2*x à enlever sur chaque côté.

Sachant qu'il ne faut pas dépasser 3mètre en tout, je te laisse donc conclure pour la longueur maximale que peut avoir x.



Cette première question permet de déterminer l'intervalle sur lequel nous allons travailler dans la suite de l'exercice (vu que nous allons définir une fonction celà nous donnera donc son ensemble de définition).

la valeur maximal de X et donc 1 parce que si on enlève 2x pour les cotés il reste plus que 1x vu que le total est 3x

En fait non tu peux aller jusqu'à 1.5 mètres.

En effet, chaque côté fait 3 mètres et sur chaque côté du enlève 2x

Donc au maximum tu peux avoir 2x=3 c'est à dire x=1.5 mètres

1mètres est la valeur entière maximale mais 1.2 mètres est tout fait possible celà te fera une cuve plus haute que large en fait.


Donc pour cette première question au minimum c'est 0 c'est à dire qu'on ne coupe rien et au maximum c'est 1.5 et là on couperait tout.

D'où x varie de 0 à 1.5 mètres.

J'espère que tu vois mieux la démarche en fait tu ne doit pas forcément laisser la valeur de x au milieu, tu doit considérer la valeur maximale en prenant 2x=3mètres carrément.


Pour la deuxième question, il s'agit de calculer le volume ne fonction de x, on a donc (Aire de la base)*hauteur à calculer. Donc il faut voir qu'elle longueur fait le côté du carré faisant la base et quelle longueur fait la hauteur de la cuve, le mieux est à la rigueur de s'aider du dessin ou carrément de faire la cuve en volume pour voir ce que ça donne (je sais qu'il m'a fallu un bout de temps avant d'avoir une bonne vu dans l'espace sur un patron donc vaut mieux faire les chose concrètement dans un premier temps pour mieux avancer).

Bon courage pour la suite en tout cas et n'hésite pas a poser des questions si tu n'a pas compris le raisonnement de la première question.

Bonjour!

Je te remercie de ta réponse sur l'autre post que j'ai fait, ça m'a bien débloqué...mais j'ai a nouveau un soucis sur l'exercice de ce post.

Pour la première question, j'ai trouvé que x peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1.5, donc qu'il appartient a l'intervalle ]0 ; 1.5[.

Pour la deuxième question, j'ai trouvé que le volume est de V(x) = x(3-2x)²

C'est la troisième question qui me pose problème.. Pour dresser le tableau de variation, il faut dériver, mais là, je bloque. En réalité, j'ai deux résultats possibles, et j'ai un doute, je trouve soit 12x²-24x+3, soit 12x² - 24x + 9. Ma formule dérivée était V'(x) = (1 * (3-2x)²) ) + x * ( 8x-12).

Peux tu me dire quelle est la bonne formule? car a ce moment là, je verrai ou j'ai fait mon erreur...

Bonjour,

De rien nous sommes le forum est là pour ça après tout et si cela t'aide c'est le principale .

Si tu as deux résultats possibles pour une dérivation c'est soit ta méthode qui est mal appropriée soit son développement qui a été mal fait. Dans le pire des cas, tu as toujours un moyen "simple" de vérifier ton calcul lorsqu'il s'agit de la dérivation d'une multiplication.

En effet, le moyen simple de vérifier la dérivé d'un produit c'est de le développer puis de le dériver ensuite tout simplement. C'est radicale pour éviter les erreur de calcul si tu as un doute (le mieux étant d'éviter de développer car on gagne du temps mais faut mieux perdre du temps et avoir les points ).

Alors si on développe notre V(x)= x(3-2x)², on a V(x)=x*[9-2*3*2x + 4x²]

Donc V(x)= x*[4x² - 12x + 9] c'est à dire V(x)=4x³ - 12x² + 9x

Donc si on dérive cette expression là, on a: V'(x) = 3*4x² -2*12x + 9

Donc V'(x)= 12x² -24x + 9 (c'est à dire ta deuxième expression que tu proposais)


Bon maintenant reprenons, tu dérive comme un produit V(x)=x*[(3-2x)²] ce qui donne bien V'(x)= 1*(3-2x)² + x*[2*2*(3-2x)]

Donc ta dérivé était bonne: V'(x) = (1 * (3-2x)²) ) + x * ( 8x-12) C'est donc dans ton développement que tu n'as pas été sure de toi. Allons-y par étape:

V'(x)= (3-2x)² + 8x² - 12x

Donc V'(x)= (9 - 2*3*2x + 4x²) + 8x² -12x

D'où V'(x) = 8x² + 4x² - 12x - 12x + 9

On a bien V'(x)= 12x² - 24x + 9 (je pense que ton "+3" dans ta première expression venait d'un carré que tu avais oublié)


Vu que la dérivé de ton produit est bon, je peux juste te conseiller d'avoir confiance en toi et au pire de refaire 3 fois le développement de ton calcul si tu as des doutes. Je le dis souvent, il ne sert à rien d'aller vite si c'est pour faire quelque chose de faux. Il faut mieux perdre du temps et avoir des point que de gagné du temps et avoir moins de point à la fin. Un devoir pas fini peut être un très bon devoir autant qu'un devoir fini avec des faute de calcul partout.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

salut tout le monde je suis nouveau sur le forum et j ai eu cet exercice aussi j ai reussi la question 1)a et j ai trouver l intervalle ]0;1.5[ mais a la question 1)b je ne comprends pas comment on fait pour trouver le volume V(x)=x(3-2x)^2 est ce quelqu un pourrait m expliquer ??

Bonsoir et bienvenue parmi nous!
Je te souhaite une bonne année 2010 en passant aussi.

La première question est tout à fait juste en effet!

Maintenant, essayons d'être méthodique pour trouver le volume de notre cuve.

La première question qu'il faut se poser avant même de savoir à quoi s'applique le calcul de volume, c'est:

Comment calcule-t-on le volume d'un parallélépipède?

En effet, rien que de répondre à cette question, te permettra de fixer les idées sur ce qu'on cherche à mettre en évidence. C'est à dire qu'elles vont être les distances qui vont être mises en jeu dans le calcul. Ainsi, on pourra passer à la question en elle-même pour savoir comment calculer les distances en question.

Est-ce que la démarche te semble claire? N'hésite pas à utiliser le dessin ci-dessus car même si on ne démontre rien sur un dessin celui-ci permet de mieux visualiser les choses (qu'il faudra démontrer ensuite mais au moins nous aurons des pistes pour démarrer les réflexions).

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire.

je te remercie pour ton aide et te shouaite une bonne anneé 2010 . La formule pour calculer un parallépipède rectangle est l aire de la base multiplié par la hauteur

en fait j ai compris ta simple explication m'a permis d'y voir clair
pour calculer le volume c est l aire de la base * la hauteur donc vu que la base est un carré la formule est le coté au carré vu qu on cherche le volume de la cuve on prendra soin de retirer les parties qu on veut replier vu qu il ya 2 parties sur un coté on obtient (3-2x)^2 pour l aire de la base .
donc maitenant on doit multiplier par la hauteur qui est x vu qu on nous dit dans l exercice qu on plie la partie decoupeé.
donc finalement le volume de la cuve est v(x)= x*(3-2x)^2
je pense que c est cela merci encore pour tes explications

C'est tout à fait exact !!

La démarche est excellente en tout cas et le but dans un exercice c'est vraiment de se donner les moyen d'avoir de bonne démarche de recherche. Car ainsi les réponses deviennent plus évidente ou à défaut plus accessible en tout cas.

Bon courage pour la suite!

merci pour ta reponse je vais faire la suite du probleme

donc on nous demande d etudier les variations de f donc j ai utilisé les dentités remarquables pour developper x(3-2x)² et j ai trouver f(x)= 4x³ -12x²+9x
la derivé de cette fonction est f'(x)=12x² -24x +9
on calcule delta delta=144
on trouve 2 solutions x₁=1/2 et x₂=3/2 puis maintenant on fais le tableau de variation

j ai une question est ce que dans le tableau de variation on devra choisir l intervalle [0;3] ou [0;3/2] car pour l intervalle [0;3] la fonction est croissante de 0 a 1/2 car la derivéé est positive de 0 a 1/2 f est decroissante de 1/2 a 3/2 car la deriveé est negative de 1/2 a 3/2 et finalement f est croissante de 3/2 a 3 car la derivéé est positive de 3/2 a 3 alors que pour l intervalle [0;3/2] la foction f est comme avant d abord croissante de 0 a 1/2 puis decroissante de 1/2 a 3/2 mais cette fois ci elle n est pas croissante sur 3/2 a 3 car tout simplement l intervalle qui va de 3/2 a 3 n est pas definie en fait je ne sais pas quelle intervalle choisir dans mon tableau

j ai encore une petite question qui est en fait la question 2)b je ne comprend pas ce qu on nous demande

merci d avance

escuse moi c'est la question 3)b que je ne comprend pas la question 2)b elle n'existe pas

Bonjour,

Pour les variations de la fonction, il y a quelque chose qui n'est pas logique dans ta démarche. En effet, notre fonction en dehors de notre problème est définie sur R. Donc on peut en effet étudier les variations de celle-ci sur tous les intervalles de R.

Le soucis ici c'est qu'il s'agit d'un exercice qui provient d'une problématique réelle. En effet, ici, il s'agit de construire une cuve rectangulaire à partir d'un carré de métal fixé. A partir de là, il est assez clair je pense qu'on ne peut pas faire n'importe quoi au niveau de la fonction car notre plaque de métal est fixé c'est à dire qu'on ne peut pas à loisir choisir sa taille vu qu'on nous dit qu'elle a un côté de 3 mètres.

Donc le volume de la cuve est donc limité par cette donnée là. Et nous avons même une restriction plus forte car on souhaite faire de la découpe dans cette plaque pour pouvoir donner une hauteur à notre cuve. C'est pour cela qu'on parle d'ensemble de définition de la fonction car x qui est la hauteur de notre cuve ne peut pas prendre toutes les valeurs de R dû aux conditions de notre problème.

Je prend exprès une démarche scientifique pour aborder le problème (alors qu'il ne s'agit que d'un prétexte ici pour faire des études de fonctions c'est évident) pour justement t'obliger à faire ce raisonnement là à partir du moment où un problème est tiré d'une construction ou même cela s'applique aussi aux statistiques, aux probabilités et à fortiori en géométrie.

Ceci justifie donc de recherche l'ensemble de définition c'est à dire les valeurs possibles que peut prendre x d'après les conditions de notre problème. Et c'est sur cet ensemble et au maximum sur cet ensemble que nous allons pouvoir travailler dans notre problème. Pourquoi?
Car si je prend un intervalle plus petit de notre ensemble de définition, nous pouvons encore dire quelque chose sur notre volume mais en revanche, je ne pourrais pas considérer un intervalle plus grand que l'ensemble de définition pour x car je ne pourrai pas découper plus qu'il ne faut ma plaque de métal tout simplement.

En toute logique, la question de l'ensemble de définition pour x est donné par la première question du problème. C'est d'ailleurs la première chose qu'il faut se demander dans n'importe quel problème lié à des fonctions ou contenant une inconnue (voire plusieurs inconnues). Et par la suite, nous allons strictement considérer que cet ensemble là pour x vu que c'est le maximum des valeurs possible pour notre variable x.

Est-ce que la démarche est plus claire maintenant?

A partir de là, je pense que tu vas pouvoir reprendre ton étude de fonction sur l'intervalle de notre problème.

Pour la question 3)b), c'est le tableau de variation qui va te donner la question par simple lecture (et on pourra aussi le redémontrer à la rigueur en effectuant le calcul).

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions surtout!

bonjour

Donc en fait il faudra qu on prenne l'intervalle qui nous est demandeé dans la question 1 c'est a dire l' intervale [0;3/2] . Car comme tu le dit si on prend une intervalle plus petite on pourrat dire encore queleque chose sur notre volume est si on prend une intervalle plus grande on sera obliger de couper plus de matiere qu'il y en a sur la plaque donc en fait nous avons le choix on est obliger de prendre l intervalle ou x est définit . Si j'ai bien suivi ton raisonement c ést ca que tu as voulu me dire

pour la question 3)b c était tout simple en effet mais défois je bloque sur des questions simples . c est désolant

bon pour ce qui est de l'étude de la fonction j' ai reussi a le faire avec l intervalle [0;3/2]
donc la dériveé est egale a 12x^2-24x+9
delta=144
x1=1/2 et x2=3/2 est donc on fait le tableau de variation dans la colone des x on aura trois valeurs 0 ,1/2 et 3/2
on constate que f'(x)>0 sur l intervalle [0;1/2] donc f(x) sera croissante sur [0;1/2]
on constate que f'(x)<0 sur l intervalle [1/2;3/2] donc f(x) sera decroissanre sur [1/2;3/2]

j ai verifié en trancant la courbe sur la calculatrice ca correspond a ce ke je vien de dire
il reste plus qu a calculer f(1/2) et f(3/2) et placer les valeurs dans le tableau ce qui repondra a notre fameuse question 3)b

donc voila le probleme est resolu. Je tien à te remercier beaucoup pour ton aide dans cet exercice et pour le temps que tu as consacré a cet exercice.

Bonsoir,

Tu as tout compris en effet! La lecture du tableau de variation nous donnant bien le maximum comme prévu. Il faut essayer de repérer la logique de l'exercice c'est à dire pourquoi il y a tel enchainement de questions plutôt que tel autre. Cela donne un avantage pour mieux comprendre la démarche que nous allons devoir mettre en oeuvre pour résoudre l'exercice en question.

En l'occurence ici, la démarche est linéaire c'est à dire qu'on commence par regarder l'ensemble des valeurs possible pour x puis ensuite, nous mettons en équation notre volume. Puis en toute logique, nous étudions ce volume en fonction des valeurs de x. Et enfin, on conclut en cherchant le maximum pour le volume car le but est tout de même de mettre le plus de chose possible dans notre cuve.

Bon courage pour la suite!