Exercice sur fonction compliquée

Salut!
Voici le second exercice sur les 3annoncés précédemment. On a ici une fonction assez longue et tout l'exercice tourne autour de celle-ci le but final étant de résoudre f(x) = 0.

Voici l'énoncé :

Soit la fonction définie par f(x) = 577x³ -816x² -1154x + 1632.

1. calculer f'(x) et dresser le tableau de variations de f (on pourra donner des valeurs approchées des valeurs intéressantes).

2. Si a est l'abscisse du minimum relatif de f, calculer f(a) à la machine.
Cette valeur permet-elle de conclure sur les solutions de l'équation f(x) = 0?

3. Montrer que f(x) se factorise par x² -2.
résoudre alors l'équation f(x) = 0.



Et voici mes réponses :

1.
f(x) = 577³ - 816x² - 1154x + 1632
f'(x) = (577*3)x² - (816 *2)x - 1154
f'(x) = 1731x² - 1632x - 1154

--> Trinôme du second degré :


Delta = (-1632)² - 4(1731 * (-1154))
Delta = 2663424 - 4(-1997574)
Delta = 2663424 + 7990296
Delta = 10653720

Donc :

x₁ = [-b - Racine(Delta)]/2a = [1632 - Racine(10653720)]/3462
x₂ = [-b + Racine(Delta)]/2a = [1632 + Racine(10653720)]/3462

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) et donc le tableau de variations de f(x) :


--> Signe de a à l'extérieur des racines.

2.
On trouve a = -1.9 * 10^-9 (voir tableau de variations ci-dessus)
--> f(a) = 1632
Non, cette valeur ne permet pas de conclure sur toutes les solutionde f() = 0 car, selon le tableau de variations, il devrait y avoir trois valeurs pour f(x) = 0.

3. Je n'arrive pas à factoriser par x² -2 .

Voilà pour cet exercice qui, je pense, est déjà bien avancé.
Merci d'avance!

L'énoncer nous dit:

Citation :

2. Si a est l'abscisse du minimum relatif de f, calculer f(a) à la machine.

Puis tu nous dis:

Citation :

2.
On trouve a = -1.9 * 10-9 (voir tableau de variations ci-dessus)
--> f(a) = 1632

Tu as confondu abscisse et ordonnée, je te laisse donc corriger cette légère erreur.

Sinon ta conclusion était bonne, il y a normalement 3 annulations de la fonction F sur R d'après le tableaux de variation.

Comment factoriser par x²-2? C'est une bonne question. T'es bloqué dans un devoir, tu as un polynôme du 3ème degré et on te demande de factorisé par un polynôme du 2ème degré, comment s'en sortir?

Nous savons que lorsqu'un polynôme de degré 3 c'est la multiplication de trois polynôme de degré 1 (si il a 3 racines réelles) ou la multiplication d'un polynôme de degré 2 et d'un polynôme de degré 1.

Donc si on cherche à factorisé par un polynôme de degré 2, il nous suffit de le multiplier par un polynôme de degré 1 pour avoir un polynôme de degré 3.

Conclusion, on cherche b et c, tel que F(x)=(x²-2)*(bx+c).

Est-ce que tu vois le raisonnement sur le degré que j'ai effectué pour aboutir à mon nouveau problème? Ce raisonnement est à faire au brouillon, on ne demande pas de justification écrite vu qu'on ne t'impose pas de méthode pour factoriser par x²-2. Le but est donc de trouver la factorisation peut importe la méthode du moment qu'on arrive au bout de nos calculs. La méthode que je te propose est l'une des plus courante dans ce domaine là et elle sert en maths encore bien après le bac (pour te donner une idée de l'utilité du raisonnement sur le degré d'un polynôme).

Bon courage!

1.
f(x) = 577³ - 816x² - 1154x + 1632
f'(x) = (577*3)x² - (816 *2)x - 1154
f'(x) = 1731x² - 1632x - 1154

--> Trinôme du second degré :


Delta = (-1632)² - 4(1731 * (-1154))
Delta = 2663424 - 4(-1997574)
Delta = 2663424 + 7990296
Delta = 10653720

Donc :

x₁ = [-b - Racine(Delta)]/2a = [1632 - Racine(10653720)]/3462
x₂ = [-b + Racine(Delta)]/2a = [1632 + Racine(10653720)]/3462

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) et donc le tableau de variations de f(x) :


--> Signe de a à l'extérieur des racines.

2. a = x2 à peu près égal à : 1.41
--> f(a) = -1.9 * 10⁹ [le même que dans mon tableau.. logique après tout..]

Non, cette valeur ne permet pas de conclure sur toutes les solution de f(x) = 0 car, selon le tableau de variations, il devrait y avoir trois valeurs pour f(x) = 0.


3. Oui, j'ai saisi le raisonnement.
Ici, je dois factoriser f(x) par (x² - x) qui est un polynôme de degré 2 donc, je trouverais f(x) sous la forme :
f(x) = (x² -2)*(bx +c)
Logiquement, b = 577.
Reste à trouver c :

f(x) = (x² -2)*(577x +c)
f(x) = 577x³ + cx² -2*577x -2c
f(x) = 577x³ + cx² -1154x -2c

Par identification de quotient, on trouve c = -816 et pour vérifier ceci, on sait que -2c doit être égal à 1632
-2 * -816 = 1632
DONC :



DONC :

f(0) = (0-2)(577*0 - 816)
f(0) = -2 (0 -816)
f(0) = -2 * -816 = 1632.

Et voilà!

Alors la question 2 est juste en effet.

Par contre la dernière question c'est celle-ci:

Citation :

3. Montrer que f(x) se factorise par x² -2.
résoudre alors l'équation f(x) = 0.

Donc la factorisation m'a l'air tout à fait exact par contre la deuxième partie de la question j'ai pas l'impression que tu y réponde, je me trompe? .

Prend le temps de bien lire les questions ça évite les erreurs bête .

1.
f(x) = 577³ - 816x² - 1154x + 1632
f'(x) = (577*3)x² - (816 *2)x - 1154
f'(x) = 1731x² - 1632x - 1154

--> Trinôme du second degré :


Delta = (-1632)² - 4(1731 * (-1154))
Delta = 2663424 - 4(-1997574)
Delta = 2663424 + 7990296
Delta = 10653720

Donc :

x₁ = [-b - Racine(Delta)]/2a = [1632 - Racine(10653720)]/3462
x₂ = [-b + Racine(Delta)]/2a = [1632 + Racine(10653720)]/3462

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) et donc le tableau de variations de f(x) :


--> Signe de a à l'extérieur des racines.

2. a = x2 à peu près égal à : 1.41
--> f(a) = -1.9 * 10⁹ [le même que dans mon tableau.. logique après tout..]

Non, cette valeur ne permet pas de conclure sur toutes les solution de f(x) = 0 car, selon le tableau de variations, il devrait y avoir trois valeurs pour f(x) = 0.


3. Oui, j'ai saisi le raisonnement.
Ici, je dois factoriser f(x) par (x² - x) qui est un polynôme de degré 2 donc, je trouverais f(x) sous la forme :
f(x) = (x² -2)*(bx +c)
Logiquement, b = 577.
Reste à trouver c :

f(x) = (x² -2)*(577x +c)
f(x) = 577x³ + cx² -2*577x -2c
f(x) = 577x³ + cx² -1154x -2c

Par identification de quotient, on trouve c = -816 et pour vérifier ceci, on sait que -2c doit être égal à 1632
-2 * -816 = 1632
DONC :



Je dois donc résoudre l'équation :
(x²-2)(577x -816) = 0
Si je passe un des termes de l'autre côté ca fera 0 aussi...

Citation :

Un produit de facteur est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nul

Ca te rappelle quelque chose? . Avec ça tu devrais pouvoir conclure l'exercice.

Bon courage!

1.
f(x) = 577³ - 816x² - 1154x + 1632
f'(x) = (577*3)x² - (816 *2)x - 1154
f'(x) = 1731x² - 1632x - 1154

--> Trinôme du second degré :


Delta = (-1632)² - 4(1731 * (-1154))
Delta = 2663424 - 4(-1997574)
Delta = 2663424 + 7990296
Delta = 10653720

Donc :

x₁ = [-b - Racine(Delta)]/2a = [1632 - Racine(10653720)]/3462
x₂ = [-b + Racine(Delta)]/2a = [1632 + Racine(10653720)]/3462

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) et donc le tableau de variations de f(x) :


--> Signe de a à l'extérieur des racines.

2. a = x2 à peu près égal à : 1.41
--> f(a) = -1.9 * 10⁹ [le même que dans mon tableau.. logique après tout..]

Non, cette valeur ne permet pas de conclure sur toutes les solution de f(x) = 0 car, selon le tableau de variations, il devrait y avoir trois valeurs pour f(x) = 0.


3. Oui, j'ai saisi le raisonnement.
Ici, je dois factoriser f(x) par (x² - x) qui est un polynôme de degré 2 donc, je trouverais f(x) sous la forme :
f(x) = (x² -2)*(bx +c)
Logiquement, b = 577.
Reste à trouver c :

f(x) = (x² -2)*(577x +c)
f(x) = 577x³ + cx² -2*577x -2c
f(x) = 577x³ + cx² -1154x -2c

Par identification de quotient, on trouve c = -816 et pour vérifier ceci, on sait que -2c doit être égal à 1632
-2 * -816 = 1632
DONC :



Je dois donc résoudre l'équation :
(x²-2)(577x -816) = 0
"Un produit de facteur est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nul"
donc :
soit (x²-2) = 0
soit (577x -816) = 0

DONC :
x²-2 = 0
x² = 2
x = Racine(2)

OU

577x -816 = 0
577x = 816
x = 816 / 577

C'est presque ça mis à part que:

Citation :

x²-2 = 0
x² = 2
x = Racine(2)

Un polynôme du second degré avec une seule racine réel et qui n'est pas sous forme d'un carré je trouve ça louche, pas toi? Il ne manquerait pas une solution pas hasard ?

1.
f(x) = 577³ - 816x² - 1154x + 1632
f'(x) = (577*3)x² - (816 *2)x - 1154
f'(x) = 1731x² - 1632x - 1154

--> Trinôme du second degré :


Delta = (-1632)² - 4(1731 * (-1154))
Delta = 2663424 - 4(-1997574)
Delta = 2663424 + 7990296
Delta = 10653720

Donc :

x₁ = [-b - Racine(Delta)]/2a = [1632 - Racine(10653720)]/3462
x₂ = [-b + Racine(Delta)]/2a = [1632 + Racine(10653720)]/3462

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) et donc le tableau de variations de f(x) :


--> Signe de a à l'extérieur des racines.

2. a = x2 à peu près égal à : 1.41
--> f(a) = -1.9 * 10⁹ [le même que dans mon tableau.. logique après tout..]

Non, cette valeur ne permet pas de conclure sur toutes les solution de f(x) = 0 car, selon le tableau de variations, il devrait y avoir trois valeurs pour f(x) = 0.


3. Oui, j'ai saisi le raisonnement.
Ici, je dois factoriser f(x) par (x² - x) qui est un polynôme de degré 2 donc, je trouverais f(x) sous la forme :
f(x) = (x² -2)*(bx +c)
Logiquement, b = 577.
Reste à trouver c :

f(x) = (x² -2)*(577x +c)
f(x) = 577x³ + cx² -2*577x -2c
f(x) = 577x³ + cx² -1154x -2c

Par identification de quotient, on trouve c = -816 et pour vérifier ceci, on sait que -2c doit être égal à 1632
-2 * -816 = 1632
DONC :



Je dois donc résoudre l'équation :
(x²-2)(577x -816) = 0
"Un produit de facteur est nul si et seulement l'un de ses facteurs est nul"
donc :
soit (x²-2) = 0
soit (577x -816) = 0

DONC :
x²-2 = 0
x² = 2
x = Racine(2) ou -Racine(2)

OU

577x -816 = 0
577x = 816
x = 816 / 577

Et voilà c'est parfait maintenant!

C'est parfait en effet .

Ah!!!!!! Ca fait plaisir d'avoir bouclé ça!
Merci àà toi!