Equation trigonométrique

Bonjour à tous! Alors, voilà, j'ai une équation trigonométrique à résoudre et ça fait plusieurs jours que je reste bloquée dessus!! Si vous pouviez m'aider à comprendre, ce serait super sympa!

racine(3)cosx-sinx=1
Je mets ensuite au carré:
3cos²x-2racine(3)cosxsinx+sin²x=1
or sin²x=1-cos²x
donc 2cos²x-2racine(3)cosxsinx=0
après je factorise par 2cosx:
2cosx(cosx-racine(3)sinx)=0
cosx=0 ou cosx-racine(3)sinx=0

Mais après je bloque pour l'équation en orange! Comment faire?
Merci d'avance de votre réponse!

Bonjour et bienvenue parmi nous Noémie!

Alors ton raisonnement est judicieux mais son soucis c'est qu'il ne permet pas de conclure. Il y a une astuce à voir ici et elle ne s'invente pas des masse en fait mais on va essayer de comprendre pourquoi, elle fonction et comment on aurait pu y penser tout de même.

Alors, on peut voir ton équation comme suit:

Racine(3)*Cos(x) - 1*Sin(x) = 1

J'ai juste ajouté un petit 1 qui ne change rien mis à part qu'on visualise peut-être mieux l'idée par la suite.

En effet, on connaît depui un petit mometn déjà cette formule là:

Cos(a+b)= Cos(a)*Cos(b) - Sin(a)*Sin(b)

Et si je prend b=x, on a plus précisément: Cos(a+x)= Cos(a)*Cos(x) - Sin(a)*Sin(x)

Tu commences sans doute à voir où on veux aller car la partie gauche de notre équation ressemble à n'en pas douter à la partie droite de la formule que j'ai écrite ci-dessus. Mais il reste un soucis car Cos(a) et Sin(a) sont les valeurs d'un même angle et on sait aussi que le cosinus comme le sinus sont compris entre -1 et 1 ce qui n'est pas le cas de Racine(3).

Cependant, il y a un moyen de s'y ramener, vois-tu un moyen d'avancer à partir de cette piste là ?

Si j'ai bien compris, il faudrait diviser l'équation par 2!
soit: racine(3)/2cosx-1/2sinx=1/2
c'est à dire: cos(-pi/6)cosx-sin(-pi/6)sinx=1/2
cos(x-(pi/6))=1/2
heuu et ensuite?

L'idée est tout à fait celle-là!

Par contre légère erreur sur l'angle intermédiaire. En effet, Sin(-Pi/6)=-1/2 et non pas +1/2. Il faut rectifier le signe tout simplement.

Ce qui nous amène donc à Cos(Pi/6)*Cos(x) - Sin(Pi/6)*Sin(x)=1/2

Et donc Cos(x+Pi/6)=1/2

Tu as toutes les cartes en main ici. On a jamais dit que la solution était unique et de loin par conséquent, il y a 2 solution possible modulo 2*Pi toutes les deux.

"Quels angles donnent un cosinus égale à 1/2?" est la seule question que tu dois te poser pour conclure.

Bon courage!

Seuls les angles pi/3 et -pi/3 ont un cosinus égal à 1/2
cos(x+pi/6)=1/2
cos(x+pi/6)=cospi/3 ou cos(x+pi/6)=cos-pi/3
x=pi/3-pi/6 ou x=-pi/3-pi/6
x= pi/6 ou x= -pi/2
Les solutions sont donc pi/6 et -pi/2.

Merci bcp!!! En tt cas, tu expliques super bien et c'est vraiment sympa de nous aider!
C'est vrai que c'est bien les maths quand on y arrive lol
J'ai enfin compris le truc!
T'expliques mieux que les profs eux-même mdr
Merci encore!

C'est tout à fait ça!

Attention de ne pas oublier que tout est modulo 2Pi dans les deux réponses car le cosinus est 2Pi-périodique bien entendu. Mais si les réponse demandé était dans un intervalle particulier peut-être que ta réponse suffit mais sinon les solution dans le cas générale sont:

Pi/6 +2*k*Pi pour tout k dans Z et -Pi/2 + 2*p*Pi pour tout p dans Z.


Sinon, un petit aparté sur le style de ton exercice car dès fois l'angle n'est pas forcément aussi simple que celui-ci mais le fait qu'il existe permet tout de même de conclure.

Démonstration de l'existence d'une solution a écrit:

Pour une équation du type a*Cos(x) + b*Sin(x)=c

On se ramène au cas que je t'es montré par l'astuce suivante:

[a/Racine[a²+b²)]² + [b/Racine(a²+b²)]² = 1 et a/Racine(a²+b²) et b/Racine(a²+b²) est toujours compris entre -1 et 1.

Par conséquent, il existe un θ dans R tel que: Cos(θ)=a/Racine(a²+b²) et Sin(θ)=b/Racine(a²+b²)

Et du coup, on se retrouve avec l'équation Cos(θ)*Cos(x) + Sin(θ)*Sin(x)=c/Racine(a²+b²)

C'est à dire Cos(x+θ)=c/Racine(a²+b²)

Et là, si c/Racine(a²+b²) est compris entre -1 et 1, il y a une solution et sinon, il n'y a pas de solution.

C'est un peut théorique et pas très concret comme démonstration mais l'astuce réside vraiment dans la division par Racine(a²+b²). ET donc notre cas c'est Racine(Racine(3)²+1²)= Racine(4)=2. Et le 1/2 vient donc de là.

Je préfère la méthode intuitive comme je te l'ai montré mais dès fois en devoir, on a pas le temps de réfléchir à tous les enchaînement et par conséquent, on applique le résultat sachant d'où il vient et le tour est joué . Mais si on a le temps de détailler un peu c'est toujours bon de le faire autant pour nous que pour le correcteur.


Merci pour le compliment, cela fait toujours plaisir même si je ne pense pas être à la cheville de certains professeurs. En tout cas tu peux toujours laisser un petit mot dans notre livre d'or (dont tu trouveras le lien sur notre portail) si tu le souhaite.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Merci pour la partie cours!
Sinon quand on travaille sur l'intervalle ]-Pi,Pi[, ça veut dire qu'on travaille sur la moitié inférieure du cercle?

Prendre l'intervalle ]-Pi;Pi[ c'est partir de -Pi passer par 0 et arriver à Pi c'est à dire prendre la totalité du cercle!

Mais alors quel est l'intérêt de prendre ]-Pi;Pi[ au lieu de ]0;2*Pi[ ??

Il peut y avoir deux raisons à cela en fait:

- On a un problème de définition d'une fonction en Pi modulo 2*Pi et par conséquent, on considère le cercle total en partant de -Pi jusqu'à Pi. Cela évite la valeur interdite et ainsi on a un bon intervalle de définition.

- On prefère privilégier les aspects symétriques des fonction cosinus et sinus. En effet, on sait que Cos(-x)=Cos(x) et que Sin(-x)=-Sin(x) et par conséquent dès qu'on connaît nos valeur sur [0;Pi[, on les connaît aussi sur ]-Pi,0] ce qui permet de faire une définition sur ]-Pi;Pi[.


Après il peut y avoir d'autre raison comme la symétrie de l'intervalle tout simplement car travailler sur un intervalle centré en 0 peut s'avérer plus commode. Et une autre raison serait de la commodité de calcul tout simplement car considéré 5Pi/3 peut paraître moins agréable que de parler de -Pi/3.


Mais en tout cas, j'insiste sur le fait qu'ici, on considère bien le cercle entier mais que sa partie inférieure est considérée comme négative alors que sa partie supérieure est considérée comme positive.

Bon courage pour la suite!

Non, ]-Pi;Pi[ c'est un tour complet du cercle. On travaille donc sur le cercle en entier en partant de -pi puis en faisant un tour complet jusqu'à pi.

La moitié inférieure du cercle ce serait par exemple [-pi;0]

edit : Blagu'cuicui a répondu avant moi ^^

Ok! Merci bcp pour vos rpses!

Bonjour j'ai une question, pourquoi peut on affirmer que [a/Racine[a²+b²)]² + [b/Racine(a²+b²)]² = 1 ?
Merci d'avance =]

Et aussi pour
Démonstration de l'existence d'une solution a écrit:
Pour une équation du type a*Cos(x) + b*Sin(x)=c

On se ramène au cas que je t'es montré par l'astuce suivante:

[a/Racine[a²+b²)]² + [b/Racine(a²+b²)]² = 1 et a/Racine(a²+b²) et b/Racine(a²+b²) est toujours compris entre -1 et 1.

Par conséquent, il existe un θ dans R tel que: Cos(θ)=a/Racine(a²+b²) et Sin(θ)=b/Racine(a²+b²)

Et du coup, on se retrouve avec l'équation Cos(θ)*Cos(x) + Sin(θ)*Sin(x)=c/Racine(a²+b²)

C'est à dire Cos(x+θ)=c/Racine(a²+b²)

Et là, si c/Racine(a²+b²) est compris entre -1 et 1, il y a une solution et sinon, il n'y a pas de solution.



Quand on arrive a Cos(x+θ)=c/Racine(a²+b²) et que c/Racine(a²+b²) est compris entre -1 et 1 comment on fait pour trouver la solution?

Bonjour et bienvenue au sein du forum!

Alors, il faut savoir être patient ici bas et surtout en mathématiques, ne pas vouloir aller trop vite est une bonne idée pour ne pas perdre d'informations.

Ici, on cherche donc à résoudre une équation trigonométrique. Tu en as donné la méthode, est-ce que tu as compris toutes les étapes de celle-ci dans un premier temps?

Ensuite, pour ta question, il faut essayer de se ramener à ce que tu sais faire depuis longtemps. En effet, comment résolverais-tu l'équation suivante pour x dans R, Cos(x)= 1/5?

Dans la démonstration vu qu'on cherche à rester le plus générale possible, il est bon de résonner qu'avec des nombre algébrique c'est à dire des lettres pour que tous les cas soit pris en compte et que la démonstration soit valable tout le temps et non seulement sur un exemple. Mais pour mieux comprendre les choses, il est important de temps en temps de se poser deux minutes et de donner du sens à ces lettres en leur donnant des valeurs précises. Ici, pour mieux comprendre, je pense, il faut surtout bien voir qu'on a à résoudre une équation du type Cos(X) = A avec un X qu'on cherche et A qui a une valeur fixé.

Est-ce que cela te semble plus clair?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions en tout cas!

Merci cela me semble plus clair. =)
J'ai une autre question, pourquoi dit on tout le temps l'intervalle [-pi;pi] alors qu'il est equivalent au cercle trigonométrique, donc pouquoi ne dit-on pas l'intervalle [0;2pi] ?
Et l'intervalle ]-pi;pi[ c'est bien le cercle trigonométrique privé de l'axe x négatif nn?

Bonsoir,

C'est une très bonne question! Alors pourquoi utiliser l'intervalle ]-Pi;Pi[ ?

Et bien tout simplement pour sa symétrie. En effet, cet intervalle est symétrique par rapport à 0. ET sachant que les fonction trigonométrique ont des propriétés de symétrie (la parité du cosinus et l'imparité du sinus par exemple), il est donc beaucoup plus intéressant de faire une étude sur un intervalle qui garde la symétrie.

Ensuite, l'intervalle ]-Pi;Pi[ est un segment ouvert de R ce n'est pas un cercle donc. En revanche, l'ensemble des angle représentant cette intervalle est un cercle privé d'un point (le point de coordonnées (Pi,0) tout simplement).

Est-ce que cela te semble plus cohérent?

Bon courage pour la suite!