Symétriques de l'orthocentre

Je n'arrive pas a faire cet exercice si vous pouviez m'aider s'il vousplait ce seré gentil.
Dans cet exercice,on va démontrer que les symétriques de l'orthocentre d'un triangle par rapport à chacun des côtés du triangle sont sur le cercle circonscrit à ce triangle.
voila l'énoncé: Dans un triangle ABC quelconque, on apelle H l'orthocentre et O le centre du cercle (C) circonscrit au triangle. La hauteur issue de A coupe le côté [BC] en h. On appelle I le point d'intersection de la droite et du cercle (C).
Voila les questions:
1) Démontrer que les angles BâC et BCI sont de même mesure.
2)a)On appelle C' le pied de la hauteur du triangle ABC, issue de C. En considérant les triangles BCC' et BAh,comparer les angles BâI et BCH, en justifiant votre réponse.
b)Déduire des questions précédentes l'égalité BCH = BCI.
3)a) Montrer que les triangles CHh et CIh sont isométriques.
b)Que peut-on en déduire sur les points H et I?
c) conclure quant à la position du symétrique de l'orthencentre d'un triangle par rapport aux côtés du triangle.

voila la figure:

Bonsoir et bienvenu parmi nous Anne !!!

Je m'excuse du léger contre temps occasionné par mes propres activités du début de cette semaine qui ont été plus nombreuses que prévu (des oraux à préparer entre autre) ce qui explique donc ce léger retard par rapport à mon habitude.

Ton exercice est vraiment très intéressant en tout cas car il s'agit de quelque chose de très géométrique ce qui a l'avantage par conséquent d'être visuel. En effet, la première chose à faire même si l'exercice ne le suggère pas, c'est de faire une figure avec tous les points donnés dans l'énoncer. Car même si une figure est toujours fausse comme on le dit souvent cela à le mérite de pouvoir fixer les idées d'une part et peut te permettre de voir des début de démonstration que tu ne verrais peut-être pas sans le dessin. Et c'est ce que tu as fait ce qui est donc très bien! (j'ai fusionné tes deux messages en fait, tu as une fonction "Éditer" dans les message que tu as écris pour pouvoir modifier si quelque chose n'apparaît pas comme tu le souhaites). Et ta figure est tout à fait juste d'ailleurs!

Ceci étant dit, essayons de rentrer dans le vif du sujet par la première question donc. On doit montrer que Angle(BAC)=Angle(BCI).

Alors déjà la première chose à faire c'est de mobiliser l'énoncer par rapport à notre question c'est à dire que peut-on dire du point I car c'est un point qui a été construit et par conséquent, il a certaines propriétés:

I c'est le point d'intersection entre la hauteur issue de A et le cercle circonscrit au triangle ABC. Par conséquent I est sur le cercle (C) et est sur la hauteur issue de A.

Que savons-nous d'autre?

On sait que le cercle (C) est le cercle circonscrit au triangle ABC, par conséquent, A, B et C appartiennent aussi au cercle (C).

En conclusion, rien qu'avec ce qu'on vient de dire, on sait que les quatre points A, B, C et I sont sur le cercle (C).

Et avec cela, je pense pouvoir dire qu'il y a une erreur de recopie ou d'énoncer. En effet, que peut-on dire des angles BAI et BCI?

Rappel(si tu l'as vu en cours): deux angles qui interceptent le même arc sont égaux.
Sinon, je t'aiderai à démontrer le rappel si tu ne l'as pas vu.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

Bonjour, merci pour m'avoir éclairée sur le sujet.En effet, je me suis trompée en recopiant l'énoncé c'était bien l'angle BAI et BCI qui sont de même mesure. Donc, si je comprends bien je dois dire que les angles BAI et BCI sont de même mesure car ils interceptent le même arc? Par contre, j'ai du mal a trouver l'arc qui les interceptent. Pourriez-vous m'aider pour les autres questions?

Bonjour,

J'ai réuni ta réponse avec le sujet de ton exercice, cela est tout de même mieux pour suivre. En fait, il faut appuyer sur "Répondre" pour que ta réponse soit dans le sujet correspondant au lieu de "Nouveau". Ce sont des petite erreur technique mais on fini par s'habituer ne t'inquiète pas .

Alors pour ton exercice, en effet,; il sont égaux car ils interceptent le même arc. Est-ce que tu as déjà vu et utilisé ce théorème là? Car sinon, je veux bien t'en donner une démonstration si besoin était ou utiliser une autre méthode pour conclure à l'égalité.

Sinon, un arc c'est une portion d'un cercle. C'est à dire que si je prend deux points sur un cercle, le bout de cercle qui joint c'est deux points s'appelle un arc (un arc de cercle pour être concret). Et dans le même état d'esprit un segment qui rejoint deux point du cercle est appelé une corde. Ce qui nous donne un vocabulaire cohérent avec le tir à l'arc par exemple car nous avons bien une corde et un arc de cercle qui joint les deux extrémités de la corde.

Donc maintenant que le vocabulaire est un peu rafraîchi, est-ce que tu ne verrais pas l'arc qui est intercepté par l'angle BAI et BCI? On peut voir un angle comme une corde qu'on aurait étirée avec une flèche par exemple. On a donc deux segment qui rejoigne l'arc de cercle en question pour chacun de ces deux angles.

Bon courage et n'hésite pas à demander des précisions si ce que je raconte n'est pas clair!

Je pense avoir compris donc les angles BAI et BCI sont de mêmes mesures car ils interceptent le même arc c'est a dire du point I au point B?

C'est tout à fait ça! Il intercepte l'arc IB qu'on note avec un arc au-dessus de IB (que je ne peux hélas pas tracer sur le forum).

Pour la question suivante, il s'agit d'écrire des relation entre les angles dans les deux triangle qu'on te demande de considérer.

Que peux-tu dire des angles dans ses deux triangles? Ou quelle relation as-tu entre C'BC et C'CB et de même pour les angles BAh et ABh?

Bon courage!

Nous pouvons dire des angles dans ces deux triangles qu'elles sont aigus.Je ne vois pas la relation qu'il puise avoir entre C'BC et C'CB . Pour les angles BAh et ABh on peut dire qu'elles ont la même mesure.

Alors la relation entre les deux angle de chaque triangle est la même en fait et ils ne sont pas égaux.

Commençons dans le triangle BCC' par exemple.

i)Quelle est la nature de se triangle?
ii)Que savons-nous sur la sommes des angles d'un triangle?
iii)Conclusion, quelle relation y a-t-il entre angle(C'BC) et angle(C'CB)?

Il faut essayer de mobiliser un maximum les données de l'énoncer et les propriétés les plus basiques dans un premier temps pour savoir avec quelle base on peut partir. Ensuite, il faut essayer de voir les liens entre les données et la réponse qu'on attend.

Ici, on va te faire travailler dans deux triangles qui ont un angle en commun car ABh et C'BC sont égaux car C' est sur la droite (AB) et h C est sur la droite (Bh). Donc si on trouve des relations faisant intervenir ses deux angles sachant qu'ils sont égaux, on espère pouvoir conclure.

Bon courage!

1 on peut dire que c'est un triangle rectangle
2 la somme des triangles font 108°
3 la relation est que chaque angle mesure 90°

C' est la médiane du triangle ABC, je c'est si cela qu'on veut montrer

Attention à ne pas trop se fier au dessin tout de même. En effet, une hauteur est une médiane si et seulement si il s'agit d'un triangle isocèle ou équilatérale au point considéré. Or ici ABC est un triangle quelconque.


Sinon pour les trois question intermédiaire, les deux première sont justes mais la conclusion s'avère fausse:

Citation :

chaque angle mesure 90°

Et bien, non! Sinon on aurait 90+90+90=180+90>180 ce qui n'est pas possible car comme tu l'as si bien dit la sommes des angles d'un triangle est égale à 180°.

Mais ce qu'on peut dire c'est que angle(C'BC)+angle(C'CB)+angle(BC'C)=180

Or BC'C est un triangle rectangle en C'. Lorsqu'on parle de triangle rectangle ou isocèle, il faut toujours écrire le point qui est mis en valeur pour savoir où sont situés les propriétés du triangle en question.

Donc angle(C'BC)+angle(C'CB)+90=180

Ce qui nous donne angle(C'BC)+angle(C'CB)=90


Or que savons-nous des angles C'BC et ABh, d'après ce que j'ai dit dans mon dernier message? De même que savons-nous des angles BCC' et BCH vu que H appartient à la droite (CC')?

Que vaut angle(ABh)+angle(BCH)?

Pour conclure l'exercice, il faut exprimer angle(ABh) en fonction de angle(BAh) sachant que le triangle ABh est rectangle en h.

Bon courage et n'hésite pas à poser des questions si cela n'est pas clair! Je te montrerait une façon plus direct de trouver le résultat juste après mais manipuler un peu les relation entre les angles est un bon entraînements pour les exercices de géométrie.

Je n'arrive pas très bien à suivre votre raisonnement, pouvez-vous me réexpliquez? J'ai beaucoup du mal en ce qui concerne la partie géométrie.

La géométrie n'est jamais très simple en effet.

Alors je vais faire l'inverse, je vais te donner une piste plus simple à suivre et je rédigerait celle que je te proposais qui est plus calculatoire.

Reprenons, nous cherchons une relation entre angle(BAI) et angle(BCH). et l'indication est de considérer les triangle ABh et BCC'.

Alors on sait que [CC'] est une hauteur du triangle ABC et de même pour (Ah).

On peut donc déduire comme tu l'as trouvé tout à l'heure que BCC' est rectangle en C' et de plus BAh est rectangle en h

Conclusion, angle(BhA)=angle(CC'B)=90°

Jusque là normalement c'est ce qu'on avait trouvé ensemble. Maintenant essayons de voir le lien entre ces deux triangle et les angles qu'on nous donne.

On nous parle de angle(BAI) est-ce que cette angle est dans un des deux triangles? La réponse est oui! En effet, I par construction est sur la hauteur issue de A vu qu'il s'agit du point d'intersection entre cette hauteur et le cercle circonscrit (C). Par conséquent, les points A,h et I sont alignés.

Donc angle(BAI)=angle(BAh), nous revenons donc dans notre triangle BAh.

Maintenant est-ce qu'on ne connaîtrait pas un angle de BCC' qui soit égale à angle(BCH) sachant que H est sur la hauteur issue de C par définition? Ainsi on ne considèrerait plus que des angles de nos deux triangles ce qui est la logique de la question vu qu'on te propose de travailler dans ces deux triangle là.

BCC'et (BCH) ont le meme angle qui est B?

Non il ne s'agit pas de l'angle "B" mais de l'angle "C" ici (je met des guillement car il y a plusieurs angle "C" ici).

On mesure un angle défini comme écartement de deux segments qui se coupent en un unique point. Ici, l'écartement entre (CH) et (CB) est le même que celui qui est entre (CC') et (CB). Le point d'intersection est le point C et non le point B.

Donc angle(C'CB)=angle(HCB).

Maintenant que nous nous sommes ramenés à des mesures d'angles dans les deux triangles qu'on nous a demandés de considérer, essayons de voir ce qu'il en est.

On sait que les deux triangles sont rectangles, ils ont donc tous les deux un angle de 90°. Si on arrive à montrer qu'ils ont une autre mesure d'angle commune, on pourra conclure l'égalité entre les deux angles restants.

Est-ce clair ce que je raconte?

En fait, je dis simplement que lorsqu'on a deux triangles ont deux angles en commun, alors ils ont leur troisième angle respectif égale aussi.

Démonstration: Si je prend quelque chose de concret, j'appelle a, b et c les trois mesures d'angle de mon premier triangle que j'appelle T. Je note α, β et γ les trois mesures d'angle de mon autre triangle T' par exemple.

On a par hypothèse, a=α et b=β (deux angles égaux respectivement entre les deux triangles). Je cherche à montrer que c=γ.

On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à 180°. Par conséquent:
a+b+c=180
Or a=α et b=β

Donc (α+β)+c=180

Or α+β+γ=180 donc α+β=180-γ

Par conséquent, (180-γ)+c=180
Donc -γ+c=0
D'où c=γ


Donc le but est de se mettre dans les conditions d'application de cette proporsition. On sait déjà que ABh et BCC' ont en commun un angle de 90° car ils sont rectangles respectivement en h et en C'.

Maintenant que peut-on dire des angles angle(ABh) et angle(C'BC)?

Bon courage!

l'angle(ABh) et angle(C'BC) sont l'angle commun des 2 triangles

Nickel!!!

La justification étant que C' est sur la droite (BA) et que h est sur la droite (BC), donc il s'agit bien du meêm angle.

Nous avons donc deux angles égaux entre deux triangles.

Conclusion sur leur troisième angle respectif?

Et normalement si tu as bien suivi, tu peux même conclure pour la question .

Bon courage!

Donc le troisiéme angle est de même mesure c'est bien sa?

C'est tout à fait ça en effet!

Et quelles sont les "troisièmes" angles de ces deux triangles qui sont de même mesure justement?

L'angle h c'est bien sa?

Que vaut angle(BhA) sachant que notre triangle est rectangle en h?

De même que vaut angle(BC'C) sachant que BCC' est rectangle en C'?

les 2 angles sont des angles droits.

Bonjour,

C'est tout à fait juste!

Nous avons donc angle(BC'C)=angle(BhA) et nous avons vu précédemment que angle(ABh)=(C'BC)

Donc par le théorème que je t'ai rappelé à la fin de la page 1 de notre discussion, que déduit-on sur les deux autres angles restant dans chacun des triangle ABh et BCC'?

Bonjour, on peut dire qu'elles sont aussi égaux nn ?

C'est tout à fait ça!

Conclusion, on a donc angle(BAh)=angle(BCC')

Or on sait des choses sur ces deux angles si tu te souviens de ce qu'on a déjà dit.

Conclusion pour cette question?