Exercice fonction impaire

Salut !
Me revoici pour le second exercice de la série! Ici, on étudie une fonction et on droit prouver qu’elle est impaire mais justement, le prouver me pose un problème…

Voici l’énoncé :

f est la fonction définie sur R(étoile) par f(x) = 5^x / [5^2x – 1].

1. Démontrer que pour tout réel x, f(-x) = -f(x).

2.a. Etudier la limite à droite en 0 de f.
b. Montrer que pour tout réel x>0, f(x) = 1 / [5^x – 5^-x].
En déduire la limite de f en +Inf.

3.a. Calculer f’(x).
b. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +Inf.[.

4. Dans un repère orthonormal, tracer la courbe représentative de la fonction f.

5.a. Résoudre l’équation f(x) = 2/3.
b. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation : f(x) = -2/3.


Et voici mes résultats :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

1. f(-x) = [e^-xln(5)] / [e^-2xln(5) -1] = [-xln(5)] / [-2xln(5) – ln(1)] xln(5) / 2xln(5) = 1/2.
-f(x) = - [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1] = - [xln(5) / 2xln(5)] = -1/2.

Donc, là, il y a un petit problème…

2.a. Je cherche la limite en 0⁺ de f(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

lim_x-->0⁺ xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1.
lim_x-->0⁺ 2xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e<sup>X[sup] = 1.

Donc :

Lim_x-->0[sup]+</sup> f(x) = 1/1 = 1.



2.b. 1 / [5^x – 5^-x] = 1/5^x – 1/5^-x = 1/5^x – 5^x = 1/5^x – (5^x)² / 5^x = [1 – 5^2x] / 5^x

Après, là, je bloque…


3.a.
f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1] = u(x) / v(x)

--> f’= (u’v – uv’) / v²

Avec :

u(x) = e^xln(5)
u’(x) = ln(5)e^xln(5)

ET

v(x) = e^2xln(5) -1
v’(x) = ln(5) e^2xln(5)

DONC :

f’(x) = [(ln(5)e^xln(5))(e^2xln(5) -1) - (e^xln(5))(ln(5)e^2xln(5))] / [e^2xln(5)-1]²
= [(ln(5)e^3xln(5) – ln(5)e^{xln(5)) - ln(5)e[sup]3xln(5)}] / [e^2xln(5) -1]²
= [ln(5)(e^{3xln(5) – e[sup]xln(5)} – e^3xln(5))] / [e^2xln(5) -1]²
= [-ln(5)e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]²

3.b.

Je dresse le tableau de signes de f’(x) :



Car ln(5) positif et e^x positif et car un carré est toujours positif.

J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



Car lim_x-->+Inf.f(x) = 0.

4.Graphique.

5.a.
f(x) = 2/3
(5^x) / [5^2x -1] = 2/3
(e^{xln(5)) / (e[sup]2xln(5)} -1) = 2/3
ln[(e^xln(5)) / (e^2xln(5) -1)] = 2/3
ln(e^xln(5)) – ln(e^2xln(5) -1) = ln(2/3)
xln(5) – 2xln(5) –ln(1) = ln(2/3)
ln(5)[x-2x] = ln(2/3)
-xln(5) = ln(2/3)
-x = ln(2/3) / ln(5)
x = - [ln(2/3) / ln(5)]

Après, à partir d’ici je bloque… J’aurais donc besoin d’un petit coup de main.
Merci d’avance !

Bonjour,

Alors pour cette exercice, je vais dire qu'il va falloir le reprendre à 0 car il y a des erreurs plus grosse que moi par exemple:

Citation :

1/[5^x-5^-x]=1/5^x - 1/5^-x

Depuis quand 1/(a-b)=1/a - 1/b ???

Une autre dans le même style, pour la limite de dénominateur est 5^2x-1 donc la limite c'est 0 en 0 et non 1. D'ailleurs une fonction impair est simétrique par rapport à l'origine, donc si en zéro ça tendait vers 1 ta fonction serait très complexe par rapport à ce que tu as appris pour l'instant.

Pour l'imparité j'avoue avoir peur d'avoir lu que tu était passer au logarithme un peut partout entre plusieurs égalité.

Donc je pense que tu devais être fatigué êt pas concentré au moment où tu l'as fait car je ne t'ai jamais vu faire des erreurs comme cela encore surtout le coup de la fraction là franchement j'ai frôler la crise cardiaque xD.

Alors reprenons:

1) Il faut calculer F(-x), ne passe pas en exponentielle et utilise juste les propriétés sur les puissances c'est à dire 5^-x=1/5^x ou encore 5^2x=(5^x)². En prenant ton temps pour effectuer le calcul tu vas retrouver -F(x).

2)a) Comme je te l'ai écirt au-dessus, tu as fait une faute t'étourderie en oubliant qu'au dénominateur il y a un -1. Sinon, ton initiative est bonne car il y a bien deux limite en 0, l'une en 0⁺ et l'autre en 0^-.

b) Je te laisse refaire le calcul, je pense réellement que tu peux mieux faire (5^-x=1/5^x, puis réduction au même dénominateur).


3)a) Ta dérivée est tout à fait juste !!!

b) F'(x) est bien négative car -Ln(5)<0, e^X est positif et un carrée l'est aussi. Et donc ton tableau de variation est juste mais n'oublie pas que la limité en +Infini est déjà calculer une question plus tôt .

Je te laisse refaire le début avant d'entamer la fin.

Bon courage!

Merci pour ta réponse. C'est vrai qu'après relecture il y a des grosses erreurs mais je vais corriger ça tout de suite :

1.
-f(x) = - 5^2x


Je vais calculer F(-x) :

f(-x) = 5^-x / [5^-2x – 1]
f(-x) = [ 1/5^x ] / [ 1/5^2x - 1 ]
f(-x) = [ 1/5^x ] / [ 1/(5^2x) - (5^2x / 5^2x ]
f(-x) = (1/5^x) / [(1 - 5^2x) / 5^2x ]
f(-x) = (1/5^x) * [5^2x / (1 - 5^2x)]
f(-x) = 5^2x / [5^x - 5^3x]
f(-x) = [5^x(5^x)] / [5^x(1 - 5^2x)]
f(-x) = 5^x / (1 - 5^2x) = - 5^x / (5^2x -1)

On a donc : -f(x) = f(-x) : la fonction est bel et bien impaire!


2.a. Etudier la limite à droite en 0 de f :
Je cherche tout d'abord la limite en 0⁺ de f(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

lim_x-->0⁺ xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1.
lim_x-->0⁺ 2xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1 --> lim_x-->0⁺ e^2xln(5) -1 = 0

Donc :

Lim_x-->0⁺ f(x) = 0
--> Quand je trace la fonction à la calculatrice, je ne trouve pas 0...


Je cherche maintenant la limite en 0^- de la fonction f(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

lim_x-->0^- xln(5) = 0^- --> lim_X-->0^- e^X = 1.
lim_x-->0^- 2xln(5) = 0^- --> lim_X-->0^- e^X = 1 --> lim_x-->0^- e^2xln(5) -1 = 0

Donc :

Lim_x-->0⁺ f(x) = 0

La méthode a l'air bonne mais, à la calculatrice je tombe sur une toute petite fonction et, je ne vois pas où elle tend vers 0 en 0^{+ ou -}...


2.b. Montrer que pour tout réel x>0, f(x) = 1 / [5^x – 5^-x].

1 / [5^x – 5^-x] = 1 / [5^x - (1/5^x)]
= 1 / [(5^2x -1) / 5^x] = 5^x / (5^2x -1) = f(x).
-->En déduire la limite de f en +Inf. :

lim_x-->+Inf. 1 = 1
lim_x-->+Inf. 5^x - 5^-x = +Inf.

Donc :
Lim_{x--> + Inf.} f(x) = 1 / +Inf. = 0


3.a. Calculer f'(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1] = u(x) / v(x)

--> f’= (u’v – uv’) / v²

Avec :

u(x) = e^xln(5)
u’(x) = ln(5)e^xln(5)

ET

v(x) = e^2xln(5) -1
v’(x) = ln(5) e^2xln(5)

DONC :

f’(x) = [(ln(5)e^xln(5))(e^2xln(5) -1) - (e^xln(5))(ln(5)e^2xln(5))] / [e^2xln(5)-1]²
= [(ln(5)e^3xln(5) – ln(5)e^{xln(5)) - ln(5)e[sup]3xln(5)}] / [e^2xln(5) -1]²
= [ln(5)(e^{3xln(5) – e[sup]xln(5)} – e^3xln(5))] / [e^2xln(5) -1]²
= [-ln(5)e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]²


b. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +Inf.[ :

Je dresse le tableau de signes de f’(x) :



Car ln(5) positif et e^x positif et car un carré est toujours positif.

J’en déduis donc le tableau de variations de f(x) :




Et voilà! Je sais pas ce que j'ai foutu sur cet exo mais, avec tes rappels et autres j'ai su le faire rapidement...

Bonsoir!

La première réponse est totalement juste!!

Pour la limite:

Citation :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

lim_x-->0⁺ xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1.
lim_x-->0⁺ 2xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1 --> lim_x-->0⁺ e^2xln(5) -1 = 0 (<= 0⁺ ou 0^- c'est important car ceci est le Dén,ominateur de ta fraction)

Donc :

Lim_x-->0⁺ f(x) = 0
--> Quand je trace la fonction à la calculatrice, je ne trouve pas 0... (Bonne initiative regarde le commentaire, tu vas comprendre d'où vient l'erreur)

Le fait quel a fonction soit mpaire permet de restreindre son étude sur ]0;+Inf[. C'est pour cela qu'il ne te demande que la limite à droite en 0 c'est à dire la limite en 0⁺. Il n'y a donc pas besoin de calculer la limite en 0^- (car elle sera l'opposée de la limite en 0⁺ par imparité tout simplement).

Citation :

Lim_{x--> + Inf.} f(x) = 1 / +Inf. = 0 (On ne marque jamais cela mis à part au brouillon si tu veux)

La question 2)b) est tout à fait juste! Peut-être faire le calcul séparément pour les limite de 5^-x et de 5^x (en passant par l'exponentielle).


Pour la 3):

Citation :

v(x) = e^2xln(5) -1
v’(x) = ln(5) e^2xln(5)

La dérivée ici est fausse. La dérivée de x |--> 2*x*Ln(5) est x-->2*Ln(5) et non Ln(5). Je te laisse reprendre tes calculs.

Le résultat à l'air juste mais je te laisse tout de même refaire tes calculs car la dérivée à une expression un peu moins compliquée tout de même.

En tout cas, net amélioration de la rédaction et des calculs en effet .

Bon courage!

1.
-f(x) = - 5^2x


Je vais calculer F(-x) :

f(-x) = 5^-x / [5^-2x – 1]
f(-x) = [ 1/5^x ] / [ 1/5^2x - 1 ]
f(-x) = [ 1/5^x ] / [ 1/(5^2x) - (5^2x / 5^2x ]
f(-x) = (1/5^x) / [(1 - 5^2x) / 5^2x ]
f(-x) = (1/5^x) * [5^2x / (1 - 5^2x)]
f(-x) = 5^2x / [5^x - 5^3x]
f(-x) = [5^x(5^x)] / [5^x(1 - 5^2x)]
f(-x) = 5^x / (1 - 5^2x) = - 5^x / (5^2x -1)

On a donc : -f(x) = f(-x) : la fonction est bel et bien impaire!


2.a. Etudier la limite à droite en 0 de f :
Je cherche tout d'abord la limite en 0⁺ de f(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

lim_x-->0⁺ xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1.
lim_x-->0⁺ 2xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1 --> lim_x-->0⁺ e^2xln(5) -1 = 0⁺

Donc :

Lim_x-->0⁺ f(x) = +Inf.


2.b. Montrer que pour tout réel x>0, f(x) = 1 / [5^x – 5^-x].

1 / [5^x – 5^-x] = 1 / [5^x - (1/5^x)]
= 1 / [(5^2x -1) / 5^x] = 5^x / (5^2x -1) = f(x).
-->En déduire la limite de f en +Inf. :

lim_x-->+Inf. 1 = 1
lim_x-->+Inf. 5^x = +Inf.
lim_x-->+Inf. 5^-x = 0
DONC :
lim_x-->+Inf. 5^x - 5^-x = +Inf.

Donc :
Lim_{x--> + Inf.} f(x) = 0


3.a. Calculer f'(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1] = u(x) / v(x)

--> f’= (u’v – uv’) / v²

Avec :

u(x) = e^xln(5)
u’(x) = ln(5)e^xln(5)

ET

v(x) = e^2xln(5) -1
v’(x) = 2ln(5) e^2xln(5)

DONC :

f’(x) = [(ln(5)e^xln(5))(e^2xln(5) -1) - (e^xln(5))(2ln(5)e^2xln(5))] / [e^2xln(5)-1]²
f'(x) = [(ln(5)e^3xln(5) - ln(5)e^xln(5)) - (2ln(5)e^3xln(5))] / [e^2xln(5)-1]²
f'(x) = [ ln(5) [e^3xln(5) - e^xln(5) - 2e^3xln(5)] ] / [e^2xln(5)-1]²

Je simplifie comment le numérateur ici?

Les questions 2)a) et b) sont justes!

Pour la question 3)a):

Citation :

f'(x) = [ ln(5) [e^3xln(5) - e^xln(5) - 2e^3xln(5)] ] / [e^2xln(5)-1]²

On peut déjà simplifier le calcul en effectuant la soustration puis en mettant -e^xln(5) en facteur ce qui sonne:

f'(x) = [ ln(5) [- e^xln(5) - e^3xln(5)] ] / [e^2xln(5)-1]²

Donc f'(x) = [ -ln(5)e^xln(5) [1 + e^2xln(5)] ] / [e^2xln(5)-1]²

Maintennat, il est aisé d'en déduire le signe de f'(x) grâce au carré, aux exponentielles et au addition.

Je te laisse donc conclure.

Bon courage!

1.
-f(x) = - 5^x / (5^2x -1)


Je vais calculer F(-x) :

f(-x) = 5^-x / [5^-2x – 1]
f(-x) = [ 1/5^x ] / [ 1/5^2x - 1 ]
f(-x) = [ 1/5^x ] / [ 1/(5^2x) - (5^2x / 5^2x ]
f(-x) = (1/5^x) / [(1 - 5^2x) / 5^2x ]
f(-x) = (1/5^x) * [5^2x / (1 - 5^2x)]
f(-x) = 5^2x / [5^x - 5^3x]
f(-x) = [5^x(5^x)] / [5^x(1 - 5^2x)]
f(-x) = 5^x / (1 - 5^2x) = - 5^x / (5^2x -1)

On a donc : -f(x) = f(-x) : la fonction est bel et bien impaire!


2.a. Etudier la limite à droite en 0 de f :
Je cherche tout d'abord la limite en 0⁺ de f(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

lim_x-->0⁺ xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1.
lim_x-->0⁺ 2xln(5) = 0⁺ --> lim_X-->0⁺ e^X = 1 --> lim_x-->0⁺ e^2xln(5) -1 = 0⁺

Donc :

Lim_x-->0⁺ f(x) = +Inf.


2.b. Montrer que pour tout réel x>0, f(x) = 1 / [5^x – 5^-x].

1 / [5^x – 5^-x] = 1 / [5^x - (1/5^x)]
= 1 / [(5^2x -1) / 5^x] = 5^x / (5^2x -1) = f(x).
-->En déduire la limite de f en +Inf. :

lim_x-->+Inf. 1 = 1
lim_x-->+Inf. 5^x = +Inf.
lim_x-->+Inf. 5^-x = 0
DONC :
lim_x-->+Inf. 5^x - 5^-x = +Inf.

Donc :
Lim_{x--> + Inf.} f(x) = 0


3.a. Calculer f'(x) :

f(x) = 5^x / [5^2x -1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1] = u(x) / v(x)

--> f’= (u’v – uv’) / v²

Avec :

u(x) = e^xln(5)
u’(x) = ln(5)e^xln(5)

ET

v(x) = e^2xln(5) -1
v’(x) = 2ln(5) e^2xln(5)

DONC :

f’(x) = [(ln(5)e^xln(5))(e^2xln(5) -1) - (e^xln(5))(2ln(5)e^2xln(5))] / [e^2xln(5)-1]²
f'(x) = [(ln(5)e^3xln(5) - ln(5)e^xln(5)) - (2ln(5)e^3xln(5))] / [e^2xln(5)-1]²
f'(x) = [ ln(5) [e^3xln(5) - e^xln(5) - 2e^3xln(5)] ] / [e^2xln(5)-1]²
f'(x) = [ ln(5) [- e^xln(5) - e^3xln(5)] ] / [e^2xln(5)-1]²
f'(x) = [ -ln(5)e^xln(5) (1 + e^2xln(5)) ] / [e^2xln(5)-1]²


2.b. En déduire le sens de variation de f sur ]0 ; +Inf.[.

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) sir ]0 ; +Inf.[ :



Donc, f(x) est décroissante ]0 ; +Inf.[.


4. Graphique.


5.a. Résoudre l’équation f(x) = 2/3.
Ce que j'ai fait me semble bon ici non?

Bonjour,

Le tableau de signe est juste ainsi que le tableau de variation (qui l'a toujours été mais au moins il est justifié ici ). Sinon dans ton tableau de variation n'oublie pas d'y mettre les limites que tu as déjà calculé. Cela mange pas de pain et ça permet pour toi d'avoir un récapitulatif précis et concis sur ta fonction (non négligeable pour éviter de relire toutes les questions pour chercher des informations).

La question 5)a) n'était pas bonne par contre.

En effet, tu écris:

Citation :

ln[(e^xln(5)) / (e^2xln(5) -1)] = Ln(2/3)
ln(e^xln(5)) – ln(e^2xln(5) -1) = ln(2/3)
xln(5) – 2xln(5) –ln(1) = ln(2/3) (<= cette conclusion est aberrante !!! Ln(a-b) N'est PAS égale à Ln(a)-Ln(b). Contre-exemple: Ln(2-1)=Ln(1)=0 et Ln(2)-Ln(1)=Ln(2)>0)

Alors lorsque le passage au logarithme (que tu as effectué sans préciser que les deux membres étaient strictement positifs d'ailleurs) ne fonctionne pas, il y a peut-être un autre moyen a utiliser:

Le changement de variable c'est à dire poser X= ? As-tu une idée du changement de variable à poser?

Bon courage!

On pourrait poser X = e^xln(5)

C'est une bonne idée en effet !!!

On a donc la contrainte selon laquelle X est strictement positif (vu qu'il s'agit d'une exponentielle) cela seravira peut-être a faire le trie dans ce qu'on trouvera. Tu devrais arriver à une équation du second degré en X donc.

Bon courage!

5.a. Résoudre l’équation f(x) = 2/3.
f(x) = 5^x / [5^2x – 1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

Je pose X = e^xln(5)

f(x) = 2/3
[e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1] = 2/3
X / (X² -1) = (2/3)
X = (2/3) * (X²-1)
X = (2/3)X² - (2/3)
0 = (2/3)X² - X - (2/3)

Delta = b² - 4ac = (-1)² - 4[(2/3)*(-2/3)] = 1 -4(-4/9) = 1 + 16/9 = 9/9 + 16/9 = 25/9.

X₁ = [-b - Racine(Delta)]/(2a) = [1 - Racine(25/9)] / (4/3) = [1 - Racine(25/9)] * (3/4) = [3 - 3Racine(25/9)] / 4 = -2/4 = -1/2.

X₂ = [-b + Racine(Delta)]/(2a) = [1 + Racine(25/9)] / (4/3) = [1 + Racine(25/9)] * (3/4) = [3 + 3Racine(25/9)] / 4 = 8/4 = 2.

DONC :

e^xln(5) = -1/2
xln(5) = ln(-1/2) --> ln(-1/2) n'existe pas.

ET

e^xln(5) = -2
xln(5) = ln(2)
x = [ln(2)] / [ln(5)]

Une seule solution : x = [ln(2)] / [ln(5)]

Citation :

exln(5) = -1/2
xln(5) = ln(-1/2) --> ln(-1/2) n'existe pas.

Ca n'existe pas dès le départ !!! On ne pas surtout pas au logarithme pour conclure que ça n'existe pas car justement tu NE peux PAS appliquer le logarithme népérien .

Sinon, nickel !!

J'écris directement que ça n'existe pas donc?

L'exponentielle est strictement positif donc X doit être strictement positif.

Donc X=-1/2 est exclus.

C'est une rédaction possible en fait.

5.a. Résoudre l’équation f(x) = 2/3.
f(x) = 5^x / [5^2x – 1] = [e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1]

Je pose X = e^xln(5)

f(x) = 2/3
[e^xln(5)] / [e^2xln(5) -1] = 2/3
X / (X² -1) = (2/3)
X = (2/3) * (X²-1)
X = (2/3)X² - (2/3)
0 = (2/3)X² - X - (2/3)

Delta = b² - 4ac = (-1)² - 4[(2/3)*(-2/3)] = 1 -4(-4/9) = 1 + 16/9 = 9/9 + 16/9 = 25/9.

X₁ = [-b - Racine(Delta)]/(2a) = [1 - Racine(25/9)] / (4/3) = [1 - Racine(25/9)] * (3/4) = [3 - 3Racine(25/9)] / 4 = -2/4 = -1/2.

X₂ = [-b + Racine(Delta)]/(2a) = [1 + Racine(25/9)] / (4/3) = [1 + Racine(25/9)] * (3/4) = [3 + 3Racine(25/9)] / 4 = 8/4 = 2.

DONC :

e^xln(5) = -1/2
L'exponentielle est strictement positif donc X doit être strictement positif.
Donc X=-1/2 est exclus.

ET

e^xln(5) = -2
xln(5) = ln(2)
x = [ln(2)] / [ln(5)]

Une seule solution : x = [ln(2)] / [ln(5)]


5.b. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation : f(x) = -2/3.
x = -[ln(2)] / [ln(5)] ??

La réponse est juste mais tu n'as pas l'air convaincu.

Donc pourquoi est-elle juste?

Parce que c'est l'inverse de ce qu'on a trouvé à la question précédente.

C'est l'opposé plutôt mais pourquoi la réponse serait elle aussi l'opposée?

Après tout nous n'avons étudier la fonction que sur ]0;+Inf[ pour l'instant, non?

Ben on sait que la fonction est impaire donc que f(-x) = -f(x)

f([ln(2)] / [ln(5)]) = 2/3
f(-[ln(2)] / [ln(5)]) = -2/3 non?

J'en demandais pas plus pour ma part mais il faut le marquer car sinon comment savoir que tu as compris que c'était le fait que la fonction était impaire qui t'as permis de conclure .

Nickel !!

5.b. Ben on sait que la fonction est impaire donc que f(-x) = -f(x)

f([ln(2)] / [ln(5)]) = 2/3
f(-[ln(2)] / [ln(5)]) = -2/3


Et voilà!
Merci pour le coup de main en tout cas!