Binôme

(Ca fait toujours parti du DM "Récurrence-Sommes" alors je sais pas.^^ C'est vrai que le binôme de newton est une somme)

Il me reste un dernier exercice, je pense avoir réussi les autres:

Exercice 4 a écrit:

Montrer que pour tout entier naturel nЄN, il existe p Є N tel que:

(1+√2)^n = √(p+1) + √p

J'ai essayé mais j'arrive pas. J'ai essayé avec le binôme de Newton, en dissociant les cas pairs et impairs, mais j'arrive pô...

Re-bonsoir!

Alors, regardons de plus près tout ceci. Nous sommes cantonné dans une réflexion liée aux sommes ET à la récurrence.

Donc je dirai bien que ton exercice sans la récurrence à plein nez mais tu n'es pas habituer à ce genre de récurrence je pense car ici, on ne te demande pas d'expliciter le p mais juste de montrer qu'il en existe un tout simplement.

Alors le but va être de trouver un p pour chaque n tel qu'on ait l'égalité entre les deux membre (hypothèse de récurrence en gros).

Donc si on initialise pour n=0, quelle valeur de p convient?

On suppose ensuite l'existence d'un p pour le rang n, et il va falloir trouver l'existence d'un q qui marche pour le rang n+1.

A partir de là, est-ce que tu as des idées plus précise?

Bon courage!

Oups j'ai oublié de dire que j'ai aussi essayé la récurrence. Mais j'ai pas abouti malheureusement...

Bonsoir,

Bon après réflexion durant la journée, j'ai l'impression que ma récurrence n'abouti pas non plus. Bien dommage tout ceci, il est plus vicieux que je ne l'aurai cru, cette exercice. Essayons autre chose à ce moment là:

1)Calcule-moi la valeur de p pour les quatre premier termes de cette suite c'est à dire n=1, 2, 3, 4.

2)Que peux-tu conjecturer sur la "localisation" de p (où trouves-tu le p dans l'expression en quelque srte) lorsque n est paire? Et lorsque n est impaire?

3) Ensuite, je pose n=2q avec q un entier quelconque. En sciendant la somme en deux (somme des pairs et somme des impairs), montrer que p=2*(∑_{k=0 à q} (2k+1 parmi 2p)* 2^k)²

4) Trouver la valeur de p lorsque n=2q+1

Normalement, le chemin est impécable là. La valeur de p à la question 3 tombe un peu du ciel à la première lecture mais après réflexion, tu vas comprendre d'où il provient.

Bon courage!

Je vais essayer d'y réfléchir, merci. Apparemment certains de ma classe ont réussi le cas où n est pair mais pas celui ou n est impair.

Voici un autre exercice où je bloque (aussi une question de récurrence) :

Exercice 5 a écrit:

On désire clore la somme suivante: S(p,q)= ∑(k=0 jusqu'à q)(nCr(p+k,k)/2^(p+k)) + ∑(k=0 jusqu'à p)(nCr(q+k,k)/2^(q+k))

1) Comparer S(p,q) et S(q,p)
2) Déterminer S(p,0) et S(0,q)
3) En utilisant la relation de Pascal sur les coefficients binomiaux, établir que pour tout (p,q) couple d'entiers naturels non nuls:

S(p,q) = (1/2)*(S(p,q-1) + S(p-1,q))

4) En déduire la valeur de S(p,q). On pourra faire une récurrence sur n = p+q

Je bloque à la dernière question...

Je vais sans doute découper cette conversation car cette exercice est d'un autre style vu que l'autre n'utilise en fait pas la récurrence alors qu'ici, il s'agit bien d'une récurrence.

Alors, il faut déjà se simplifier la vie, on sait d'après 1) que S(p,q)=S(q,p) par conséquent, on peut suppose que p<q si p différent de q.

Ensuite, on a la relation les questions 2) et 3 qui nous permettent de fixer les idée. Car en effet, si on "développe" la question 3), on a finir par arriver à la base S(0,p) et S(0,q) (il suffit de regarder ce que donne S(p,q-1) et de constater qu'on descent bien d'une unité en q à chaque coup et de même en p dans l'autre terme et sachant que l'ensemble des naturel est minoré, il y a donc une fin à cette récurrence tout simplement).

Maintenant essyons de raisonner un peu car on ne connaît pas la forme de S(p,q) donc faire une démonstration sans rien connaître serait bien compliqué. On sait que S(0,0)=2. Et de plus S(1,0)=S(0,1)=2 aussi d'après 2). donc n=0 (qui implique p=q=0= et n=1 (qui implique p=0 et q=1) sont authentifié.

Maintennat si n=2, on a p=1 et q=1 (on ne considère par le cas (0;2) car on sait que S(0,q)=2 pour toutes valeurs de q donc pour q=2 aussi).

On a S(1,1)=(1/2)*[S(1,0)+S(0,1)]=2

Si n=3, on a p=1 et q=2 (on a aussi (0;3) p=0 ou q=0 n'a aucun intérêt et on a aussi (2;1) mais la symétrie s'ne charge).
Donc S(1,2)=(1/2)*[S(1,1)+S(0,2)]=2

Si n=4, on a deux cas: soit p=1 et q=3 soit p=2 et q=2
Donc S(1,3)=(1/2)*[S(1,2)+S(0,3)]=2 et S(2,2)=(1/2)*[S(1,2)+S(2,1)]=(1/2)*2*S(1,2)=S(1,2)=2

Conjecture: S(p,q)=2 pour tout p et q? Reste à le démontrer si c'est le cas maintenant.