[PCSI] Continuité et point fixe

Citation :

Soit f:R+ -> R+ une fonction continue telle que f(x)/x tend vers a < 1 lorsque x tend vers +infini. Montrer que f possède au moins un point fixe.

J'aurais besoin d'une piste pour commencer.

PS: au fait, avec tous ces devoirs de fin de vacances, j'ai oublié un truc: Bonne année. Tu passes quand ton agrégation ?

EDIT: en fait je n'arrive pas très bien à voir le truc. Pour qu'il y ait un point fixe, il faudrait qu'il y ait une valeur de x non nulle pour laquelle f(x)/x=1 non ? Le truc c'est que la fonction x -> f(x)/x tend vers une valeur stric. inférieure à 1 en l'infini. Mais qu'est-ce qui dit qu'elle atteint la valeur 1 ? Encore une fois je suis dans le flou, mais là je ne comprends vraiment pas. Je dois faire une grosse faute logique comme dirait mon prof de maths ou un truc comme ça.

Posons G(x)=F(x)/x - 1.

Sur quel ensemble est définie G? Quelles sont les limites aux bornes de cette ensemble?

Conclure!