Rotation

Bonsoir, comment résoudre cet exercice ?

Citation :

Donner l'expression complexe de la rotation de centre A(1;2) et d'angle pi/6.
Quelle est l'image de la droite (d) d'équation 2x+y+1=0 par cette rotation ?

J'ai pensé à faire : M€(d)<--> M(a;-2a-1) a€R, et à remplacer dans l'expression de la rotation sachant que l'affixe du point M est z = a + i(-2a-1) mais je n'arrive pas à conclure une fois que j'ai l'écriture algébrique de l'affixe de l'image de M par la rotation.

Merci d'avance.

Bonsoir,

Les idées sont plutôt bonnes. Mais en effet, elles ont du mal à aboutir. Pourquoi ne pas écrire la rotation sous forme exponentielle?

Ainsi, il ne reste plus qu'à trouver l'image de la droite par une rotation. ET là, il faut être intuitif. En effet qu'est-ce qui caractérise une droite? Ou pour être plus clair: "avec quel objet pouvons-nous déduire l'équation d'une droite?". Il y a plusieurs méthodes après tout, essaie de voir celle qui te convient le mieux ou convient le mieux à l'exercice sans doute.

Bon courage!

Un vecteur... Par exemple un vecteur normal à cette droite a pour coordonées (2;1).

C'est une idée en effet.

Et l'idée est d'autant plus bonne qu'on sait calculer la rotation d'un vecteur pour en déduire ces nouvelles coordonnées vu qu'on sait à priori tout dem êem que l'image d'une droite est une droite par rotation (sinon, il faudrait le montrer mais bon là ça commence à devenir un peu plus ennuyeux ).

Bon courage!

Donc dans l'expression de la rotation, je remplace par l'affixe du vecteur et l'affixe obtenu de l'image c'est nécessairement l'affixe d'un vecteur alors ? j'en déduis donc l'équation de la droite obtenue de la forme ax + by +c = 0 et pour avoir la constante "c" je remplace par les coordonnées de A puisque A est invariant par la rotation ?

Bonsoir,

On peut en effet remplacer les coordonnées cartésienne du vecteur par son affixe dans le plan complexe puis appliquer la rotation pour trouver les coordonnées du vecteur normal à la droite que nous recherchons. Tu constates juste le fait que cela n'est pas très visuel ni intuitif car on a du mal à se dire que ce qu'on trouve est l'affixe d'un vecteur et non l'affixe d'un point (vu que cela se note de la même façon). Donc il y a plus intuitif et visuel comme solution mais bon l'idée n'est pas mauvaise en soi.

Par contre, rien ne nous dit que A appartient à notre nouvelle droite. En effet, on effectue la rotation d'une droite. Sachant que le seul point invariant d'une rotation est son centre. Dire que A le centre de notre rotation sera sur l'image de notre droite c'est donc dire que A appartient à notre droite vu qu'on effectue l'image de tous les points de la droite et seulement ceux là.
Or tu pourras vérifier que les coordonnées de A ne vérifie pas l'équation de notre droite et par conséquent, ne pourra appartenir à l'image de celle-ci.

Une droit est défini par un vecteur normal et un point en effet. Donc ici, il nous resterait simplement à prendre l'image de n'importe quel point de notre droite pour avoir ce qu'on cherche.

Maintenant, une autre méthode plus intuitive est de dire qu'une droite est défini simplement par deux points. Ce qui évite donc de parler de vecteur directeur ou de vecteur normal. Par conséquent, considérer l'image de deux points suffit pour définir la nouvelle équation de droite.

Est-ce que cela te semble cohérent?

Je te laisse reprendre tes calculs.

Bon courage!

Ahhh pas mal. Je vois tout à fait comment faire.

Merci beaucoup pour ton aide, les calculs étaient faciles à faire.

A bientôt !