----------

--------------

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Je vois qu'il y a des professeurs encore ambitieux en seconde et je les félicite et les en remercie d'ailleurs. Car pour te rassurer tout de même la notion de suite n'est vu qu'en première dans les filières scientifiques et les ES doivent l'aborder si mes souvenirs sont bons mais je vérifierai au cas où.
Mais il s'avère que c'est ne fait tout à fait abordable sans rentrer dans la théorie en seconde en utilisant un aspect purement intuitif ce qui est fiat ici ce qui est une très bonne chose.

Ceci étant dit, essayons de comprendre le mécanisme des choses. J'imagine aisément que la premièer question n'a pas dû te poser de problème en effet même si il faut bien comprendre comment fonctionne cette suite et sa manipulation pour pouvoir la faire ce qui n'est pas chose facile ne soi en tout cas.

Pour la deuxième question cela se corse car nous ne savons pas trop comment aborder le problème. La démonstration par récurence n'est pas utilisable en seconde en effet (que tu en parles m'étonne d'ailleurs mais ton avance est intéressant pour l'avenir en tout cas) malgré le fait qu'elle marche très bien ici d'ailleurs.

A brûle pour point je n'ai pas de piste pour une démonstration sans réuccrence surtout pour la suite de Fibonacci. En fait, pour éviter les résurrence il faudrait pouvoir expliciter u_n en fonction de n et ainsi calculer u_3n pour conclure. Mais le passage à l'écriture de la suite de Fibonacci en fonction de n risque d'être assez délicat en seconde même si pour ma part, je veux bien t'emmener sur cette piste là qui évitera la récurrence en quelque sorte.

En fait, après réflexion, il y a peut-être un moyen del e voir directement en utilisant un raisonnement déductif voire presque par l'absurde. Je vais essayer de t'orienter dans ce chemin là à la rigueur ça sera sans doute mieux en espérant qu'on aboutisse de façon la plus rigoureuse possible.

Alors, essayons de voir la parité de u_3(n+1)-u_3n. Que pouvons-nous en dire et pourquoi?

En espérant que cela nous débloquera totalement. Permets-moi une question en aparte, dans quel cadre as-tu cette exercice à faire? C'est à dire dans quel domaine? (analyse, algorithmique, pour le plaisir?).

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bonjour et merci de ta réponse rapide !

J'ai un peu réfléchi à ta question et je pense avoir trouvé !

Etudions la parité de u_3(n+1)-u_3n ce qui revient à u_3n+3-u_3n
Développons :
u_3n+3-u_3n=u_3n+2+u_3n+1-u_3n=u_3n+1+u_3n+u_3n+1-u_3n=2u_3n+1
Donc u_3(n+1) est pair.

C'est correct ? Merci d'avance !

bonsoir,

Alors ce qui est correcte c'est de dier que u_3(n+1)-u_3n est pair. En revanche, on ne sait pas encore la parité de u_3n et donc de u_3(n+1) vu que c'est ce qu'on cherche.

Par contre que pouvons-nous déduire au niveau de la parité de u_3(n+1) et de u_3n vu que la différence est paire? Il y a deux cas, qu'il suffira de traité séparément en fait.

Bon, tu risques de me dire que je fais de la récurrence cachée ici ce qui est un peu vraie mais avec seulement les notion de seconde en considérant la notion de suite admise, je ne peux pas faire mieux avec les moyen du bord dira-t-on.

Bon courage pour conclure!

Bonsoir.

Oui je voulais écrire que : u_3n+3-u_3n est pair, j'avais oublié de taper une partie de la conclusion.

On a donc u_(3n+1)-u_3n paire.
D'où : soit u_3(n+1) et u_3n sont pairs en même temps, soit impairs en même temps.

Mais tu peux m'aider à le relier à problème stp ?

Bonsoir,

Nous avons donc montré que deux termes consécutif étaient de même parité et ceci pour toutes les valeurs de n.

Et comme je l'avais dit, c'est preèsque une récurrence mais cachée. Ici, on aurait donc montrer le caractère héréditaire (soit ils sont tous pairs soit ils sont tous impairs). Et pour tranché, il nous suffit d'avoir l'initialisation et donc de regarder pour deux valeurs de n par exemple vu que notre formule est vraie pour tout n.

Ce n'esst pas très rigoureux comme démarche, je l'avoue car la démarche la plus rigoureuse reste la récurrence pour cette exercice mais là, de façon intuitive vu qu'on a une relation pour toutes les valeurs de n, il suffit donc de vérifier pour une ou deux valeur de n pour trancher entre les deux parité possible.

Est-ce que cela te semble clair?

Bon courage!

Oui, très clair.

Mais je ne vois pas trop comment rédiger la démonstration...

En fait, tu peux commencer par faire ce que nous avons fait c'est à dire montrer que la suite (V_n) définie pour tout entier naturel n par V_n=U_3(n+1)-U_3n est pair.

Ensuite, en déduire la propriété sur la parité de deux terme consécutif

En fait, non, on va peut-être avoir ce qu'on cherche sans récurrence cacher (peut-être un flash, je promet rien pour le coup ).

En effet, étudie de même la parité de la suite (W_n) définie pour tout entier naturel n par W_n=U_3(n+1)+U_3n.

Essaie de conclure sur la parité de U_3n à partir de ces deux suites.

Bon courage!

Bonjour.

J'ai réussi à démontrer que ces deux suites sont paires.

Mais je n'arrive toujours pas à en déduire la parité de u3n !!
Tu peux m'aider stp ?

Bonsoir,

En effet, les deux suites sont paires.

Nous avons pour l'instant:

- V_n et W_n sont pairs pour tout entier naturel n.
- Pour tout entier naturel n, V_n=U_3(n+1)-U_3n
- Pour tout entier naturel n, W_n=U_3(n+1)+U_3n

Et on cosntate en effet que celà ne va pas suffir pour conclure surl a parité de U_3n car si je soustrais W_n à V_n, j'obtiens:

2*U_3n= W_n-V_n c'est à dire U_3n=[W_n-V_n]/2

Et le fait que W_n et V_n soit pairs ne nous permet pas de trouver la parité de U_3n. Il faudrait pour cela montrer que W_n et V_n soient divisible par 4. Mais nous n'avons pas accès à cette donnée par le calcul.

En conséquence, le seul moyen de conclure sera de calculer les termes de U_3n. En effet, nous avons montrer à l'aide de (W_n) et de V_n que deux termes consécutifs de la suite (U_3n) ont la même parité et ceci pour tout n.

Il nous reste donc à calculer celà pour n=0 et n=1 par exemple pour pouvoir conclure. Nous revonons à mon grand regret à une démosntration par récurrence cachée, je ne vois pas d'autre alternative en tout cas.

Bon courage!

Et si on envisageait une démo par l'absurde ?

Une démonstration par l'absurde nous amènerait donc à supposer que:

Il existe un p tel que U_3p soit impair

Nous avons vu que deux terme consécutif avait la même parité. En conséquence tous les termes supérieurs à p sont impairs mais cela repose aussi sur la récurrence en fait (on initialise à n=p et on montre que pour si c'est impaire pour n>p alors c'est impairs pour n+1) et de même tous les termes au-dessous de p sont impairs aussi et on trouve une contradiction en calculant U₃ tout simplement. Mais nous utilisons encore la récurrence ici sans pour autant pouvoir conclure sans.

Car le raisonnement par l'absurde ne revient pas à supposer que tous les termes sont impairs mais seulement qu'il en existe un impairs.

Du coup, autant ici faire un abus en disant que deux termes consécutifs ont la même parité (ce qui revient à l'hérédité de la démonstration par récurrence) et qu'il ne nous reste plus qu'à calculer U₃ (qui reivnet à l'initialisation tout compte fait) pour en déduire qu'ils sont bien tous pairs.

Bon courage!

J'ai démontré que u3n=u3n+1-u3n-1. Je pense qu'on peut démontrer par recurrence avec ce résultat.

Si tu souhaites une démonstration par réccurence ce que nous avons fait suffit en fait.

En effet, soit un entier naturel n non nul, on pose P(n):"U_3n est pair"

Initialisation: on regarde si U_3*1 est pair
Si c'st le cas, on dira que P(1) est vraie.

Ensuite, on suppose que P(n) est vraie et on démontre que P(n+1) est vraie.
C'est à dire qu'on suppose que U_3n est pair et il faut démontrer que U_3*(n+1) est pair.

Or, on a vu en utilisant la suite (V_n) que deux termes consécutif de la suite (U_3n) avait la même parité.
Il ne reste plus qu'à conclure que P(n+1) est vraie

La propriété étant vraie au rang 1 (c'est à dire P(1) est vraie) et étant héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel non nul.

Est-ce que la démarche pour la récurrence te semble claire?

Bon courage!

ps: je rappelle auxélèves des secondes que les suites (programme de 1ère actuelle) et encore plus la récurrence (programme de terminale S actuelle) sont en dehors du programme de seconde et qu'il s'agit donc que d'une "initiation" à la notion.

Merci pour la démo détaillée ! Je voulais dire qu'on pouvait essayer par l'absurde en fait en utilisant le résultat