Les projecteurs

Bonjour, j'ai plusieurs questions sur les projecteurs.

Déjà au début, je ne différenciais pas "projecteur", et "projection". Mais maintenant je pense que ça va mieux (si jamais tu as des question pour vérifier si j'ai bien compris, je suis preneur !)

Ensuite, on avait démontré que si p est un projecteur de E, Im(p) = {x dans E; p(x) =x} .

Je me suis pas posé de questions au début, mais maintenant ça me parait bizarre. :s Qu'est-ce qui différencie le projecteur de l'identité dans ce cas-là ? La bijectivité de l'identité ? Si on a Im(p)=E alors p = Id_E ?

De plus, si p est un projecteur, p(x)=x. Mais alors pourquoi l'image d'une projection n'est pas égale à x (puisqu'une projection est un projecteur si j'ai bien compris) ? Par exemple Si F est un sev de E et G un supplémentaire, alors il existe un unique x_F dans F et x_G dans G tel que x=x_F + x_G. Et la projection sur F parallèlement à G est égale à x_F...

Bref, faut vraiment que je clarifie toute cette histoire au plus vite (et attention, après j'arrive avec les hyperplans :p).

Bonjour,

La notion de projection n’est pas des plus évidente en effet mais essayons de clarifier un maximum les choses. On parle de projection d’un espace sur un autre.

La différence entre projection est projecteur est plus une question de définition. En effet, un projection p est une application d’un espace vectoriel F parallèlement à un supplémentaire G (qui est aussi un sous espace vectoriel). Ainsi, le noyau de cette application c’est l’ensemble des points tels que l’image de ces points soient nulles, Ker(p)={x dans E/ p(x)=0} et on a exactement Ker(p)=G.

En effet, nous allons utiliser le fait que pour tout x dans E, il existe un unique couple (y,z) tel que y dans F et z dans G tel que x=y+z. Ainsi, nous avons p(x)=y. Donc p(x)=0 <=> y=0 et z dans G <=> x=z dans G <=> Ker(p)=G.

Ton soucis étant surtout l’image du projecteur essayons de voir cela d’un peu plus près. Nous avons par la propriété fondamentale d’un projecteur p_op=p. Est-ce que déjà cette propriété te paraît claire ? Car cela se démontre et c’est justement la base de la démonstration pour la définition de l’image. Donc n’hésite pas à poser la question si besoin était.

Soit y dans Im(p), il existe x dans E tel que p(x)=y. Donc p[p(x)]=p(y). Or p[p(x)]=p(x). Donc p(x)=p(y). Par linéarité de p, on a p(x-y)=0. Donc x-y est dans Ker(p). Or, y est dans Im(p) qui est un espace vectoriel Donc x-y est aussi dans Im(p). Or si je prend x dans Im(p) intersecté avec Ker(p) alors x appartient à Im(p) donc il existe u dans E tel que p(u)=x. Donc p[p(u)]=p(x). Or x est dans Ker(p) donc p(x)=0. D’où p(u)=0. Or p(u)=x donc x=0.

En conclusion, y-x=0 c'est-à-dire y=x donc p(x)=x !! Donc Im(p)={x dans E/ p(x)=x}.

On a de plus, Im(p)=F ceci se démontre plutôt facilement car si x est dans Im(p) alors p(x)=x. Donc x est dans F ce qui nous donne l’inclusion gauche droite. Et pour l’autre, je prend y dans F, alors p(y)=y par définition. D’où y est dans Im(p). D’où l’égalité.

Enfin, pour ta question par rapport à l’identité. En effet, Si imp(p)=E alors c’est une projection sur {0} parallèlement à E c'est-à-dire qu’il s’agit bien de l’identité qui estl ‘unique projecteur qui vérifie cela.

En espérant que cela clarifiera les choses.

Bon courage !