étude de fonction

bonjour
il y a un autre excercie qui me pose quelques difficultées: le voici

Excercie 2:

A) ETUDE D'UNE FONCTION

Soit f la fonction définie sur [0;7] par:
f(x)= 10 / (0.1 + e^-0.5x)

1) soit f' la fonction dérivée de f sur [0;7]
a) Monter que f'(x)= 5e^-0.5x / (0.1+e^-0.5x)²
b) Déterminer le signe de f'(x) sur [0;7] puis dressee le tableau de signe de f.

j'ai déjà trouver la première réponse:

1a) f(x) écrit sous la forme: U/V
Donc f'(x)= ( U'*V - U*V' ) / V²
où:
U= 10 U'= 10
V= 0.1+e^-0.5x V'= 0.1+(-0.5)e^-0.5x
V²= (0.1+e^-0.5x)²

f'(x)= [10*0.1+e^-0.5x]-[10*(-0.4)e^-0.5x] / (0.1+e^-0.5x)
f'(x)=[1+e^-0.5x]-[-4e^-0.5x] / (0.1+e^-0.5x)
f'(x)= 5e^-0.5x / (0.1+e^-0.5x)


mais je bloque pour la question b)
pouvez vous m'aider!!!!!

Merci d'avance

Bonsoir,

Dans un premier temps, je vais faire une remarque globale au niveau de ta rédaction:

Citation :

f'(x)= ( U'*V - U*V' ) / V²

Cette égalité n'a pas de sens en mathématiques. En effet:

F'(x) est un nombre réel ici
(U'*V - U*V') / V² est une fonction composée de fonction U et V et de leur dérivée respective.

Il y a vraiment une différence fondamentale entre ces deux objets. En effet, un fonction: F: R -> R qui à tout réel x associe un réel F(x) (qu'on écrit aussi x|-> F(x) ) est une fonction. Alors que F(x) est bien un réel en soi, sa valeur est fixe.

En fait, je pense qu'il est préférable de voir les fonction (F, U, V, ...) comme de simple lien reliant des nombres réels entre-eux tout simplement. En effet, la fonction F relie le réel x au réel F(x). Il s'agit d'une différence de fond non négligeable si on souhaite être rigoureux d'une part mais même sans parler de rigueur, si on souhaite écrire une égalité mathématique qui est juste.

Car si on voulait vraiment être rigoureux, l'égalité F'(x)= (U'*V - U*V')/ V² n'a aucun sens mathématiques et donc aucune valeur dans un devoir si on applique rigoureusement les choses. Je sais qu'en pratique cela passe très bien dans une copie en classe car les professeurs connaissent leurs élèves mais en fin de journée pour un correcteur de bac, je ne suis pas sûr et certain que cela passera (c'est dire qu'il y aura tous les points).


Sinon, pour en venir à l'exercice en lui-même, fait attention aux erreurs d'étourderies. En effet, tu as ici, eu la chance que tes erreurs se compensent pour donner le bon résultat. Mais il y a pourtant une erreur qui est présente deux fois de suite.

En effet, quelle est la dérivée d'une fonction constante? Exemple, soit G(x)=α avec α un réel quelconque? Je pense qu'au niveau de la démarche, cela sera plus claire. Sinon, n'hésite pas à demander surtout car cette erreur ne doit surtout pas apparaître dans une copie.

Enfin, pour la question b), que savons-nous de la fonction exponentielle au niveau de son signe? Je pense que cela va te permettre de conclure normalement.

Bon courage!

j'ai pas bien comprit tes explications!

Bonsoir,

Qu'est-ce qui n'est pas compris ou obscure pour l'instant?

Je reprend dans les grandes lignes.

Premièrement, on ne peut pas écrire pour une fonction F que F=4 par exemple. En effet, F est une fonction alors que 4 est un nombre. Je suis revenu dans mon dernier message sur la définition même d'une fonction c'est à dire qu'une fonction n'est autre qu'un lien entre deux ensembles. En l'occurrence, les deux ensembles sont les plus souvent des ensembles de nombres réels.

On écrira donc que pour tout x, F(x)=4 sur notre exemple. Car F(x) est bien un nombre et 4 aussi. Et vu qu'il s'agit de deux nombre réel, on peut les comparer et dire qu'il sont égaux égaux sur cet exemple.

Cette remarque était en rapport avec le fait que tu écrives: F'(x)= (U'*V-U*V' ) / V². Et donc U, V, U' et V' sont des fonctions (tous les terme de droite dans l'égalité est une fonction c'est à dire un lien entre deux ensembles) alors que F'(x) est un nombre. Nous ne pouvons donc pas écrire cette égalité car il n'y a pas de lien entre une fonction et un nombre tout simplement.

Est-ce que c'est plus clair ainsi au niveau de la théorie ou de problème que ton égalité soulève au niveau théorique?

Sinon, l'autre remarque était en rapport avec un soucis de dérivation. En effet, si on reprend ta démarche, tu pose U(x)=10 et V(x)= 0.1 + e^-0.5x

On constate donc que U est une fonction constante car pour toutes les valeurs de x de l'ensemble de définition de F, on a U(x)=10 et 10 est bien une constante car ne dépendant pas de x.

Maintenant, que vaut la dérivée de la fonction U? C'est à dire que vaut le nombre U'(x) pour x dans l'ensemble de définition de la fonction F?

Remarque: avant de dérivée une fonction, il faut mieux regarder l'ensemble de définition de celle-ci surtout qu'ici, F est une fonction qui est sous la forme d'un quotient, il peut donc y avoir des valeurs interdites pour x. Et cela se met en évidence avant d'effectuer la dérivation pour éviter les problèmes après (connaître le signe sur le bon ensemble par exemple).

Est-ce que tout ceci te paraît plus claire maintenant ou y a-t-il encore des zones d'ombre dans la démarche que je propose ou les remarques que j'ai pu faire? N'hésite pas à poser tes questions en tout cas mais essaie d'être précis lorsque tu ne comprends pas car là c'était plutôt vague et du coup, j'essaie de m'adapter dans le flou ne sachant pas exactement ce que tu n'as pas compris (dès fois rien que le fait de formuler une demande permet d'y répondre d'ailleurs si on a de la chance ).

Bon courage !