Réflexion d'axe quelconque

Bonjour.

Comment trouver l'expression complexe d'une réflexion d'axe quelconque ?
Par exemple, l'expression complexe de la reflexion d'axe la droite d'equation y=3x-7 ?

merci d'avance

Bonjour,

Ce n'est pas des plus évident en fait. En effet, sachant qu'on ne connaît que les réflexions d'axe les réels (ou parallèle à celui-ci) ou d'axe les imaginaires pures (ou parallèle à celui-ci), il faut donc essayer de s'y ramener.

Et pour cela, il va falloir commencer par connaître l'équation de notre droite mais pas dans le plan réel mais dans le plan complexe.

Donc la première question, qu'il faut se poser est la suivante:

Soit (O,u,v) le plan complexe et un point M d'affixe z,
Comment caractériser une droite dans le plan complexe?

Bon courage!

Par l'affixe d'un vecteur directeur ?

Ok, l'affixe du vecteur directeur nous donnerait quoi comme caractéristique pour la droite?

Je ne demande pas l'équation mais seulement ce qui pourrait caractériser la droite (on peut s'amuser à chercher l'équation d'une droite dans le plan complexe aussi d'ailleurs mais ça ne servira pas pour conclure ici).

Bon courage!

bah ça nous donnerait l'angle qu'elle forme avec l'axe réel

Nickel!

A partir de là, tu connais la rotation d'angle donné et de centre donné. Donc tu peux faire un changement de repère pour te ramener à ce qu'on sait faire c'est à dire déterminer des réflexion d'axe des droites parallèles aux axes.

Est-ce que la démarche te semble claire?

Bon courage!

Pour connaître l'angle, si mes souvenirs sont bons, faut prendre arctan(k) avec k le coefficient directeur de la droite ? Car je crois que le coefficient directeur d'une droite c'est la tangente de l'angle qu'elle forme avec l'axe des abscisses.

Si je prend un exemple simple.
Considérons la droite D d'équation y=x.

Alors D est l'image de l'axe réel par la rotation de centre O et d'angle arctan(1) = pi/4.

Après je peux faire mon changement de repère en laissant le point O comme centre et en considérant ma droite comme l'axe des réels. Mais je ne vois pas pour l'instant comme utiliser mon angle pi/4

En effet, nous avons bien Tan(alpha)=a coefficient directeur réel de notre droite.

Ici, nous sommes dans le cas simple où il n'y a pas de translation à faire c'est à dire que O appartient à notre droite.

Maintenant, si je considère l'axe des réel comme axe de symétrie comme obtient-on l'image M' à partir de M sachant que M a pour affixe z?

De plus, comme obtient-on M" l'image de M par la rotation d'angle Pi/4 et de centre O?

Il s'agit ensuite d'une simple composition de fonction pour conclure.

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage!

C'est pas très clair là. Peux-tu me le réexpliquer un peu plus en détails stp ?

Mais j'ai pensé à autre chose. L'écriture d'une réflexion est de la forme : z'=(alpha)z^barre + bêta

Si je considère ma droite, je n'ai juste qu'à prendre deux points de la droite, et comme ils sont invariants par la réflexion, j'obtiens un système d'équation à deux inconnues et je trouve donc alpha et bêta !?

Ce que tu proposes est juste en effet.

Sinon, la symétrie d'axe celui des réel s'écrit F(z)=z^(bar)

Donc après rotation de mon repère, ma symétrie axiale s'écrit comme cela, tu es d'accord?

Si j'applique la rotation à z, j'ai donc R(z)=e^iPi/4*z.

Doncp our arriver à appliquer la fonction F à z directement, il faut d'abord que j'applique la rotation inverse car FoR(z)=R^-1[z^(bar)]

Donc Fo(R^-1)(z)=R[z^(bar)]

Et pour revenir au repère initiale, il faut que j'applique R (vu que j'ai appliqué R^-1 au départ) ce qui nous donne: R*F*(R^-1)(z)=(RoR)(z^(bar))

Or lorsqu'on applique deux fois lR cela revient à faire une rotation de même centre et d'angle 2 fois celui de la rotation R. Ainsi, on trouve que notre symétrie axiale ici à pour équation S(z)=i*z^(bar).


Et il s'avère en fait que dès que l'axe de la symétrie est une droite passant par O et faisant un angle a avec l'axe des réels, alors sont équatino est S(z)=e^2ia*z^(bar).

La démonstration la plus simple est de revenir à la forme supposée c'est à dire z'=a*z^(bar)+b.

Vu qu'on passe par O, on a forcément b=0.

donc l'équation est de la forme z'=a*z^(bar)

Enfin, par définition d'une syémtrie axiale, on a forcément |z'|=|z| car O est sur ma médiatrice de [MM'] tout simplement. De plus, |z^(bar)|=|z|

On a donc |a|=1

Il nous reste plus qu'à conclure en regardant l'argument de l'égalité z'=a*z^(bar) et en se souvenant que Arg[z^(bar)]=-Arg(z) et que [Arg(z')+Arg(z)] / 2 = alpha (l'angle que fait la droite avec l'axe des réels) par définition de la symétrie axiale.

Or [Arg(z')+Arg(z)]/2=(1/2)*Arg(a)=Alpha
Donc Arg(a)=2*Alpha

D'où z'=e^i2*Alpha*z^(bar).

En espérant que cela soit plus clair ainsi.

Bon courage pour la suite!