Famille libre

Bonjour,

Soit (f_i, i entier dans [0,n]) la famille de fonctions définies sur [a,b] par f_i(x)=|x-a_i|, où (a0,...,an) est une subdivision de [a,b].

On note E l'ensemble des fonctions qui sont affines sur chaque intervalle [ai,ai+1].

Je dois montrer que cette famille est libre dans E, et je bloque. Est-ce que si je montre qu'elle est libre sur chacune des restrictions [a_i,a_i+1] j'aurai montré qu'elle est libre sur [a,b] ?

Bonjour,

Pour montrer la liberté d'une fonction, il faut et il suffit de démontrer que la famille est libre pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle où on souhaite montrer la liberté. En effet, nos fonctions doivent être libre sur [a;b] et ceci pour tout x.

Il suffit donc de considérer des valeurs de x bien choisi pour pouvoir conclure.

C'est par exemple en prenant successivement la valeur X=0 pour des dérivation successive qu'on montre que la famille des polynômes {1;X;X²;....;Xⁿ} est libre dans l'ensemble des polynômes.

Ici, c'est le même principe sauf qu'on ne va pas prendre une valeurs de x mais peut-être un intervalle dans lequel x va se balader pour enlever les valeurs absolues vu qu'on ne sait pas travailler avec des valeurs absolues de toute façon.

Bon courage!

Ok. Donc si on se restreint à chacun des intervalles [ai,ai+1], on peut virer les valeurs absolues. Et en prenant une combinaison linéaire nulle de ces fonctions, on peut peut-être dériver (si on prend l'intervalle ouvert) et aboutir à un système d'équations ??

Sinon j'ai trouvé une autre méthode: j'ai pris une combinaison linéaire nulle (les scalaires sont b0,...,bn), j'ai isolé b0.f0. -(b1.f1+...+bn.fn) est dérivable en a0, donc pour que b0.f0 le soit aussi, il est nécessaire que b0=0. Et de proche en proche je montre que les scalaires sont nuls, donc la liberté de la famille.

Bonsoir,

Ta deuxième idée est excellente en effet. Sachant que la subdivision est toujours stricte c'est à dire que a0<a1, il existe bien un ouvert assez petit pour que les fonction x|--> |x-a_i| soient dérivable en a0 (et de dérivée égale à -1 d'ailleurs). Ce qui entraîne donc que la dérivée à gauche et à droite de la fonction x|-->b0*|x-a0| soient égale c'est à dire -b0=b0 <=> b0=0.

Aucun soucis donc!