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 Famille libre

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Nakor

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MessageSujet: Famille libre   Famille libre EmptyDim 9 Mai - 22:34

Bonjour,

Soit (fi, i entier dans [0,n]) la famille de fonctions définies sur [a,b] par fi(x)=|x-ai|, où (a0,...,an) est une subdivision de [a,b].

On note E l'ensemble des fonctions qui sont affines sur chaque intervalle [ai,ai+1].

Je dois montrer que cette famille est libre dans E, et je bloque. Est-ce que si je montre qu'elle est libre sur chacune des restrictions [ai,ai+1] j'aurai montré qu'elle est libre sur [a,b] ?
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MessageSujet: Re: Famille libre   Famille libre EmptyLun 10 Mai - 13:50

Bonjour,

Pour montrer la liberté d'une fonction, il faut et il suffit de démontrer que la famille est libre pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle où on souhaite montrer la liberté. En effet, nos fonctions doivent être libre sur [a;b] et ceci pour tout x.

Il suffit donc de considérer des valeurs de x bien choisi pour pouvoir conclure.

C'est par exemple en prenant successivement la valeur X=0 pour des dérivation successive qu'on montre que la famille des polynômes {1;X;X²;....;Xn} est libre dans l'ensemble des polynômes.

Ici, c'est le même principe sauf qu'on ne va pas prendre une valeurs de x mais peut-être un intervalle dans lequel x va se balader pour enlever les valeurs absolues vu qu'on ne sait pas travailler avec des valeurs absolues de toute façon.

Bon courage!

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Nakor

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MessageSujet: Re: Famille libre   Famille libre EmptyMar 11 Mai - 16:41

Ok. Donc si on se restreint à chacun des intervalles [ai,ai+1], on peut virer les valeurs absolues. Et en prenant une combinaison linéaire nulle de ces fonctions, on peut peut-être dériver (si on prend l'intervalle ouvert) et aboutir à un système d'équations ??

Sinon j'ai trouvé une autre méthode: j'ai pris une combinaison linéaire nulle (les scalaires sont b0,...,bn), j'ai isolé b0.f0. -(b1.f1+...+bn.fn) est dérivable en a0, donc pour que b0.f0 le soit aussi, il est nécessaire que b0=0. Et de proche en proche je montre que les scalaires sont nuls, donc la liberté de la famille.
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MessageSujet: Re: Famille libre   Famille libre EmptyMar 11 Mai - 18:18

Bonsoir,

Ta deuxième idée est excellente en effet. Sachant que la subdivision est toujours stricte c'est à dire que a0<a1, il existe bien un ouvert assez petit pour que les fonction x|--> |x-ai| soient dérivable en a0 (et de dérivée égale à -1 d'ailleurs). Ce qui entraîne donc que la dérivée à gauche et à droite de la fonction x|-->b0*|x-a0| soient égale c'est à dire -b0=b0 <=> b0=0.

Aucun soucis donc!

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