Dérivabilité (+ pourcentages)

Bonsoir !

Alors j'ai une question qui me trotte dans la tête : depuis l'année dernière, mes profs de maths ont insisté fortement sur le fait qu'il ne fallait ABSOLUMENT pas dire (par exemple) : f est dérivable sur ]-1;4]U[5;+infini[ mais qu'il fallait dire : f est dérivable sur ]-1;4] et sur [5;+infini[.
Pourquoi ? Car voici ce que je me dit : l'ensemble de dérivabilité de la fonction c'est l'ensemble de définition de la fonction dérivée et on dit bien par exemple qu'une fonction est définie sur une réunion d'intervalles ! Donc pourquoi ne pas dire qu'une fonction est dérivable sur une réunion d'intervalles et scinder en plusieurs intervalles, comme on le fait pour le sens de variations ? Pourtant dans tous mes bouquins ils ne se gênent pas pour dire par exemple : "f est dérivable sur R*". Se "trompent-ils" ? Ou alors sont-ce mes profs qui se "trompent" ? J'ai même vu marqué qque part : "f est continue sur R*" ! Peut-on donc aussi dire qu'une fonction est continue sur une réunion d'intervalles ? Vais-je bientôt apprendre qu'une fonction peut être croissante sur ]-1;4[u]4;+infini[ ?


Et une fois qu'on a dit sur quoi la fonction est dérivable. Supposons que j'écoute mes profs et que je dise : "f est dérivable sur ]-1;4] et sur [5;+infini[". En passant au calcul de la dérivée, au moment d'écrire les quantificateurs, puis-je maintenant écrire : "∀xЄ]-1;4]U[5;+infini[, f'(x)=..." ou là aussi au niveau des quantificateurs je dois scinder en intervalles : "∀xЄ]-1;4], ∀xЄ[5;+infini[, f'(x)=..." ?

Voilà, merci d'avance !

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PS : J'en profite pour poser une autre question qui n'a rien à voir :

Je ne suis pas fou, quand on écrit 74%, on écrit bien 74/100 ? Donc 74% = 0.74 ?????
Car en chimie, on nous fait apprendre cette définition du rendement r d'une réaction :
r=(n_{expérimental}/n_théorique)*100 (par exemple voir ici : http://www.fundp.ac.be/sciences/enligne/transition/chimie/fichesderevision/revision7/rendement.htm)
Pourquoi diable rajoute un "*100" ? Car sans le "*100", si on calcule par exemple n_{expérimental}/n_théorique = 0.74, comme 0.74 = 74% (si on se fie à ce que j'ai dit plus haut), alors on n'a pas besoin de rajouter un "*100" !
Et en fait on a pleins de formules comme cela où on rajoute un "*100" ! A quoi bon ?

Bonsoir,

Question tout à fait pertinente et il est assez normal qu'aucun élève ne perçoit le problème (j'ai mis beaucoup de temps à la comprendre pour être tout à fait franc d'ailleurs). En effet, le soucis se trouve dans la démonstration et lorsqu'on écrit un théorème, on ne voit pas la démonstration et c'est ça le problème!

Alors comme commence la démonstration qu'une fonction est dérivation en un point?

"Soit x dans I tel que x+h reste dans I pour h assez petit."

Mais il y aussi une démonstration plus général qui commence ainsi:

Soit x et y dans I tel que x différent de y, on cherche à savoir si [F(y)-F(x) ]/ (y-x) admet une limite fini lorsque y tend vers x.


Alors maintenant considérons, ton ensemble ]-1;4]U[5;+infini[. Au niveau ensembliste, un élément appartient à cette ensemble s'il est dans un des intervalles qui le compose. Or rien empêche du coup que x soit dans ]-1;4] et y dans [5;+Inf[. Bon, là, tu pourrais me dire que je chipote et qu'il existe une définition (la première que je cite justement) qui permet de rester dans un voisinage de x et donc de résoudre le problème.

Alors allons-y pour le contre exemple. Et si je considère une fonction défini par morceaux. Par exemple, elle vaut x+1 sur ]-1;4] et elle vaut Racine(x) sur [5;+Inf[. Ce n'est pas du out exclu et ma fonction est bien défini. Le soucis c'est que ça dérivée n'est pas la même sur l'un ou l'autre de l'itnégrale. Il faudra donc que tu fasse une distinction de cas dans tous les cas pour dire qu'elle est dérivable sur ]-1;4] et sur [5;+Inf[ ce qui revient bien à dire qu'elle est dérivée sur chaque intervalle mais pas dérivable sur l'union des intervalles. Par contre, la dérivée quant à elle est définie sur l'union.

Donc au lieu d'adapter el vocabulaire, on le fixe dès le départ tout simplement. Dire que F est dérivable sur R* sous entend en fait que la dérivée sur R₊* et celle sur R_-* sont les mêmes mais bon je trouve pour ma part que c'est tiré par les cheveux de dire que F est dérivable sur R* ce qui n'a pas de sens en soi vu que lors de la démonstration, on devra distingué x dans R₊* et x dans R_-* pour conclure.

Pour la croissance, je parle pour ma part de croissance sur un intervalle et non pas sur une réunion d'intervalle en effet. Un peu pour les mêmes raisons d'ailleurs. On montre d'abord la croissance sur chaque intervalle et ensuite, on peut comparer les extrémité pour savoir s'il y a croissance globale par exemple. Mais a priori, nous sommes d'abord croissante sur un intervalle et ensuite on avise.


Enfin, F' est nue fonction qui est à ensemble de définition qui lui esst une réunion (un ensemble de définition est l'ensemble des points qui admettent une images par F', il n'y a donc pas de contre indication pour écrire une union d'intervalle car x est fixé, il n'y a pas de calcul de limite qui sous entendrait une continuité dans l'intervalle par exemple). Donc aucun soucis pour écrire que pour tout x dans la réunion, nous avons F'(x) = ...


Enfin, pour ton site de probabilité, tu peux le rayer totalement de tes favoris je pense! En effet, écrire un calcul avec des unités, je n'ai jamais vu ça!! On fait des calculs sur des nombres sans unité et on donne un sens au résultat en revenant au réel via les unités mais jamais au grand jamais on écrit des calculs avec des unités, cela n'a aucun sens mathématique. En physique, je pense que le pourcentage n'a pas la même valeur qu'en mathématiques. En effet, on le constate bien dans les formules d'ailleurs, lorsqu'on écrit le résultat qui est pourtant 74 si on multiplie par 100 alors qu'on marque 74%. La raison, je pense revient à la lecture: 74% doit se lire ainsi: "74 pour 100". C'est idiot mais en gros on devrait écrire "0.74 pour 1". C'est un tableau de comparaison, je pense qu'il faut le voir ainsi et c'est pour cela qu'on multiplie par 100. Mais j'avoue qu'il faudrait directement demander à un professeur de physique car je n'ai pas de réponse vraiment très précise sur le sujet sauf celle que je donne qui est celle qui me convient en soi mais est-ce la véritable raison, je ne serai le dire. En gros, d'après ce que je dit % serait une """"unité"""" en physique plus qu'un calcul et je le vois ainsi pour la part.

Bon courage pour la suite!