Le plus long chemin "sphérique"

Bonsoir.

Au cours d'un dîner on s'est demandé quel était l'endroit le plus éloigné de Paris sur Terre, et quel était le trajet le plus long en avion qui existe de nos jours.
Et cela m'a fait réfléchir : sur une sphère, quels sont les deux points les plus éloignés ? Le chemin pris en compte pour considérer la distance entre ces deux points est le chemin le plus court, sachant que je parle d'un chemin qui reste sur la sphère, càd qu'il faut rejeter les chemins qui passent par "l'intérieur" de la shère (sinon les deux points les plus éloignés sont tous ceux qui sont diamétralement opposés), donc on reste sur la surface de la sphère (penser aux déplacements sur terre pour comprendre ce que je dis). On va donc avoir à faire à des chemins "courbés".
Quel est donc ce plus long chemin ? Est-ce aussi celui qui sépare deux points diamétralement opposés ?

J'ai essayé de poser le problème pour le résoudre moi même mais j'en suis arrivé à devoir maximiser une fonction contenant beaucoup de variables et je ne vois pas vraiment (sans avoir vraiment cherché en fait) comment m'en sortir. Voici ce que j'ai fait (peut être que ça n'a aucun sens ce que j'ai fait) :

Soit dans l'espace euclidien la sphère de centre A(x_a;y_a;z_a) et de rayon r. Considérons alors deux points M(x_m;y_m;z_m) et N(x_n;y_n;z_n) de la sphère. Ils vérifient donc l'équation de la sphère suivante :

(x-x_a)² + (y-y_a)² + (z-z_a)² = r²

Considérons la distance MN et cherchons quand est-ce qu'elle est maximale.

Après quelques simplifications j'en suis arrivé à ceci :

MN = √(2)*√(r² - (x_a² + y_a² + z_a²) + x_a(x_n + x_m) + y_a(y_n+y_m) + z_a(z_n + z_m) - (x_mx_n + y_my_n + z_mz_n))

Il faut donc maximiser cette fonction de pleins de variables !?? On pourrait élever au carré pour se débarrasser de la racine pour l'instant mais trouver le maximum de MN² nous permet-il d'obtenir le maximum de MN ?

Suis-je parti dans un truc trop compliqué ?
Surtout que la distance MN que je suis en train de chercher n'est pas vraiment la distance que j'ai défini plus haut qui permettrait de répondre au problème initial : quels sont les deux point les plus éloignés sur une sphère ? Comment donc avoir accès à cette distance "courbée" si tu vois ce que je veux dire ? (càd que le chemin dont on cherche la distance reste sur la surface définie par l'équation (x-x_a)² + (y-y_a)² + (z-z_a)² = r²).

Merci d'avance.

Bonsoir,

Problème très intéressant, en effet. Je t'ai donné quelque piste en message privé mais je vais tout de même essayer de simplifier un peu les choses sur la discussion aussi.

Déjà dans un premier temps, on peut considérer que quitte à faire une translation de la sphère, on ne perd pas en généralité si on considère le centre de la sphère confondu avec l'origine du repère. Ainsi, notre sphère est de centre O et de rayon R ce qui simplifie grandement l'écriture de l'équation de la sphère qui devient donc:

x²+ y² + z² = R²

Je rappelle juste en passant pour celles et ceux qui ne seraient pas encore familiarisée avec l'espace et le produit scalaire que cette expression de l'équation de la sphère provient de la définition de la sphère (c'est à dire que tout point M de l'espace appartient à la sphère si et seulement si OM=R <=> OM²=R² car il s'agit de distances et donc de nombre positif). Et je considère bien entendu que le repère est orthonormé car ne l'oublions pas lorsqu'on calcule la distance OM², on effectue en fait le produit scolaire OM.OM via le calcul des coordonnées ce qui sous-entend que le repère est orthogonale ET normé. Sinon, il y aurait des constantes un peu partout car pour rappel:

OM= x*i+y*j+z*k ou (O;i,j,k) est le repère en question (doncl e produit scalaire de OM par OM engendre i.j par exemple qui n'a aucune raison d'être nul si le repère n'est pas orthogonal et de même i.i n'a aucune raison d'être égale à 1 si le repère n'est pas normé).


Bon maintenant que cela est posé, on va peut-être pouvoir simplifier un peu l'expression de la distance MN que tu proposes. D'ailleurs comme tu l'as remarqué, il ne s'agit pas tout à fait del a bonne distance que tu calcules pour l'instant. Mais d'ailleurs, comment définirai-tu cette distance exactement (celle que tu cherches à calculer)? Car on parle bien de LA distance entre M et N sur la sphère. Or intuitivement sur une sphère, pour aller d'un point à un autre il y a énormément de chemin possible (on appelle cela des chemins ce que tu appelles des distances courbes). L'analogie est la même dans le plan d'ailleurs où il nous faut bien définir ce qu'on appelle La distance entre deux points.

Enfin, essayons de comprendre les choses dans un autre cadre pour essayer de travailler un peu l'intuitif dans un premier temps. Quelle est l'analogie dans le plan de ta question et quelle serait donc la réponse toujours dans le plan à la question analogue? Maintenant, serait-ce la même chose dans l'espace et comment le prouver?

J'essaierai de te donner plus de piste à l'avenir mais pour l'instant, il faut que je me remette dans le bain et je te fait donc travailler sur l'intuitif dans un premier temps et la simplification du problème au niveau des notations.

Bon courage!

Bonjour,

Je m'auto-répond pour préciser comme je l'avais dit hier soir. Comme tu as du le faire, la distance maximale sur une sphère est bien sûr la distance entre deux extrémité d'un diamètre de la sphère et elle est donc égale à la moitié du périmètre d'un cercle contenu dans la sphère et contenant un diamètre de celle-ci. Or tous les cercles sont identiques à partir du moment où il contienne un diamètre de la sphère. En effet, la sphère est engendrée par rotation d'un cercle principale ce qui explique la remarque précédente. Ainsi, la distance est donc égale à 2*Pi*R/2.

Maintenant, essayons d'aller plus loin et de calculer la distance entre deux points d'une sphère qui j'appelais la distance curviligne mais qui s'appelle plutôt la distance orthodromique.

Comment est-elle définie?

Elle est définie comme le plus court chemin sur la sphère qui relie les deux points considérés. Ainsi, l'analogie entre le plan et la sphère est tout à fait intuitif. Il s'agit encire d'une minimisation de longueur pour calculer la distance.

Maintenant considérons tes deux point M et N fixé sur la sphère et repérés par leurs coordonnées cartésiennes. On considère que le repère est centré au centre de la sphère et donc que O est le centre de la sphère. Le repère est considéré orthonormé pour simplifier les calculs.

Le minimum des chemins est réalisé en considérant le cercle de centre O et passant par M et N. Ceci pour le moment est admis, nous chercherons à la rigueur à voir comment le démontrer plus tard même si intuitivement cela est tout à fait logique en faisant un dessin.

Donc la distance a calculer est donc l'arc MN, noté arc(MN) sur le forum. On a donc la longueur de l'arc à calculer mais cette longueur se calcule assez simplement en multipliant le rayon du cercle (et donc de la sphère) par l'angle OMN (l'angle géométrique suffit ici, pas besoin de l'orienter pour calculer la longueur d'un arc).

Maintenant, serais-tu calculer le sinus de la moitié de l'angle que nous recherchons en fonction de la distance MN?

Bon courage!

Citation :

Bon maintenant que cela est posé, on va peut-être pouvoir simplifier un peu l'expression de la distance MN que tu proposes. D'ailleurs comme tu l'as remarqué, il ne s'agit pas tout à fait del a bonne distance que tu calcules pour l'instant. Mais d'ailleurs, comment définirai-tu cette distance exactement (celle que tu cherches à calculer)? Car on parle bien de LA distance entre M et N sur la sphère. Or intuitivement sur une sphère, pour aller d'un point à un autre il y a énormément de chemin possible (on appelle cela des chemins ce que tu appelles des distances courbes). L'analogie est la même dans le plan d'ailleurs où il nous faut bien définir ce qu'on appelle La distance entre deux points.

Et bien LA distance entre deux points sur le plan de la sphère est je pense l'arc de cercle qui rejoins ces deux points. Je ne sais pas si c'est démontrable que cette distance est la plus courte sur une sphère, tout comme je ne sais pas si c'est démontrable que la plus courte distance entre deux points dans le plan est la ligne droite qui joint ces deux points.

Citation :

Enfin, essayons de comprendre les choses dans un autre cadre pour essayer de travailler un peu l'intuitif dans un premier temps. Quelle est l'analogie dans le plan de ta question et quelle serait donc la réponse toujours dans le plan à la question analogue? Maintenant, serait-ce la même chose dans l'espace et comment le prouver?

Dans le plan, l'analogie serait sur un cercle, et sur un cercle les deux points les plus éloignés sont ceux qui sont diamétralement opposés, et la distance qui les sépare est alors un demi-périmètre égale à pi*R avec R le rayon du cercle.

Je pense en fait que c'est la même chose dans l'espace (tu le confirmes d'ailleurs dans ton message suivant), reste à le démontrer.

Ensuite, pour répondre aux questions de ton autre message :

Citation :

Maintenant, essayons d'aller plus loin et de calculer la distance entre deux points d'une sphère qui j'appelais la distance curviligne mais qui s'appelle plutôt la distance orthodromique.

Comment est-elle définie?

Elle est définie comme étant la portion de cercle (=arc de cercle) reliant ces deux points. Le cercle ainsi défini est alors entièrement contenu dans la sphère et il est de centre O comme tu le dis ensuite. Je suis partant pour qu'on le démontre plus tard.

Citation :

Donc la distance a calculer est donc l'arc MN, noté arc(MN) sur le forum. On a donc la longueur de l'arc à calculer mais cette longueur se calcule assez simplement en multipliant le rayon du cercle (et donc de la sphère) par l'angle OMN (l'angle géométrique suffit ici, pas besoin de l'orienter pour calculer la longueur d'un arc).

Ah ? Pourtant, la formule : angle OMN = arc(MN)/R ne donne-t-elle pas l'angle en radian car on a à faire à un quotient de distances ? Pourquoi angle géométrique alors ?

PS : ce n'est pas l'angle MON au fait plutôt ?

Citation :

Maintenant, serais-tu calculer le sinus de la moitié de l'angle que nous recherchons en fonction de la distance MN?

Appelons α l'angle MON.
Tu me parles de la distance MN et je vais considérer que tu parles cette fois ci de la distance "droite" MN, càd la norme du verteur MN.

Et bien, si on prend la bissectrice de l'angle α, je crois bien qu'elle coupe perpendiculairement la droite MN. Donc après il est facile d'exprimer le sinus de α/2 en fonction de MN car on est dans un triangles rectangle.

sin(α/2) = (MN/2)/R = MN/2R

Bonsoir,

En fait pour le plan, la question ne se pose même pas car sur le cercle, il y a seulement deux chemins possibles pour relier les deux points. La distances et donc définie (et c'est une définition) comme étant la plus courtes des deux tout simplement. Il s'agit en fait d'une définition-propriété car bien entendu, il y a la question de l'existence et de l'unicité qui se pose mais vu qu'il n'y a que deux chemins, l'existence et l'unicité sont une trivialités dans le cas d'une marche sur un cercle dans le plan.

Pour l'angle, il s'agit bien en effet de l'angle MON, désolé j'ai été un peu rapide dans ma réponse. Sinon, l'angle est bien en radians mais cela n'implique pas qu'il soit orienté. En effet qu'on parcourt l'arc dans un sens ou dans l'autre la longueur de l'arc ne change pas. En conséquence, l'angle aura pour unité le radian. Et c'est là, qu'il ne faut pas confondre entre orientation d'un angle qui n'est que le choix d'une orientation du plan en fait et l'unité qu'on prend pour un angle. Mais il ne s'agit que d'un problème d'unité en effet. L'angle géométrique suffit car son orientation ne nous intéresse pas du tout mais en revanche l'unité de l'angle doit être le radian pour être cohérent. En effet, le périmètre d'un cercle nous donne 2*Pi si le cercle est de rayon 1 ce qui est bien égale à l'angle 360° qui est le même que 2*Pi radian bien entendu.

Citation :

Tu me parles de la distance MN et je vais considérer que tu parles cette fois ci de la distance "droite" MN, càd la norme du verteur MN.

En effet, désolé de l'imprécision pour le coup. C'est là, qu'on constante que la rigueur en mathématiques n'est pas négligeable (et que je ne suis pas encore bien remis de mes vacances aussi ). Donc la distance ici c'est bien la longueur du segment [MN].

Citation :

Et bien, si on prend la bissectrice de l'angle α, je crois bien qu'elle coupe perpendiculairement la droite MN. Donc après il est facile d'exprimer le sinus de α/2 en fonction de MN car on est dans un triangles rectangle.

Alors dans un cas générale, une bissectrice n'a comme propriété que de couper un angle en deux tout simplement (et que chaque point de celle-ci est situé à la même distance des deux côtés formant l'angle c'està dire que le projeté sur l'un ou l'autre de côté donne la même distance à la bissectrice). En revanche ici, pour pouvoir dire que la bissectrice coupe le côté opposé du triangle de façon perpendiculaire, il va falloir utiliser une propriété du triangle. Laquelle?

Sinon, le reste est tout à fait juste. Maintenant, tu constates que tu peux conclure pour la distance orthodromique entre deux point aillant déjà calculer la distance cartésienne entre les deux points. Est-ce que cela te paraît déjà plus clair ainsi?

Maintenant, on peut aller un peu plus loin, en se disant que sur la terre, les points M et N sont repérés non pas de façon cartésienne mais par leur longitude et leur latitude. Quel lien relie ces deux angles (je rappelle que la longitude et la latitude ne sont que des valeurs d'angles par rapport à un axe de référence) au coordonnées polaires dans un premier temps? Enfin, comment exprimer les coordonnées cartésiennes en fonction des coordonnées polaires?

Le but ici étant d'explicité une formule permettant le calcul de la distance orthodromique à l'aide des données connues c'est à dire latitude et longitude.

Bon courage!