séries numériques

Bonjour,

la seule chose que j'ai très bien compris sur l'étude des séries :
- lim S = 0 la série est convergente
- dans les autres cas la série est divergente.

jusque là pas de souci.
mais ce que je n'ai pas compris c'est ce qu'il y a d'encadré en rouge. comme trouver n x [(1+(2n-1))/2] ???



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Bonsoir,

Cela faisait longtemps et je suis heureux de constater que vous êtes toujours motivé pour comprendre les mathématiques.

Alors, il y a une petite incompréhension à première vue. En effet, j'appelle (S_n) la suite des sommes partielles c'est à dire S_n= ∑_{i=0 à n} U_n. On dira que la série converge si cette suite (S_n) converge c'est à dire s'il existe un réel L tel que Lim_n->+Inf S_n = L

Et en fait, L n'est pas forcément égale à 0 comme tu l'écris dans ton message. Par exemple, la série de terme générale U_n=(1/2)_n est convergente car Lim S_n = 2 (donc ∑(U_n) converge vers 2).

Pour l'exemple, il s'agit de connaître la somme d'une suite arithmétique. Alors si tu ne t'en rappelle plus, je vais te donner un moyen de la retrouver. On considère la suite arithmétique U_n=U₁+(n-1)*r avec r un réel qui est la raison de cette suite. Et si j'exprime un terme on fonction du précédent, on a ceci:

U_n+1=U₁+n*r=U₁ + n*r - r + r = U₁ + (n-1)*r + r
C'est à dire:
pour tout entier n, on a: U_n+1=U_n+r

On souhaite donc calculer la somme de 1 à n des termes de cette suite, on considère donc:

Pour tout entier n non nul, S_n= U₁ + U₂ + .... + U_n

Mais on a aussi: Pour tout entier n non nul, S_n= U_n + U_n-1 + .... + U₁ (je n'ai fait que réordonner les termes)

Maintenant si j'ajoute les deux, j'obtiens:

2*S_n= (U_n + U₁) + (U_n-1+U₂) +...+ (U₁ + U_n)

Or U_n-1+U₂ = U_n-1 + (U₁+r) (car U2=U1+r)
Et de plus, U_n-1+r=U_n

Donc 2*S_n= (U_n + U₁) + (U_n+U₁) +...+ (U₁ + U_n)

Et il y a combien de terme en tout? Je te laisse donc conclure sur la valeur de S_n, je pense que tu comprends mieux d'où provient le 2 du coup.

En espérant que cela soit plus clair en tout cas. Je te conseille de revoir la somme d'une suite géométrique par la même occasion car dans les séries cela risque d'être tout aussi utile.

Bon courage!

Blagu'cuicui a écrit:

Bonsoir,

Cela faisait longtemps et je suis heureux de constater que vous êtes toujours motivé pour comprendre les mathématiques.

Alors, il y a une petite incompréhension à première vue. En effet, j'appelle (S_n) la suite des sommes partielles c'est à dire S_n= ∑_i=0

et "i" c'est quoi?

Blagu'cuicui a écrit:

Et en fait, L n'est pas forcément égale à 0 comme tu l'écris dans ton message. Par exemple, la série de terme générale U[sub]n=(1/2)_n est convergente car Lim S_n = 2 (donc ∑(U_n) converge vers 2).

OK.

Blagu'cuicui a écrit:

Pour l'exemple, il s'agit de connaître la somme d'une suite arithmétique. Alors si tu ne t'en rappelle plus, je vais te donner un moyen de la retrouver. On considère la suite arithmétique U_n=U₁+(n-1)*r avec r un réel qui est la raison de cette suite.

c'est quoi une raison ?

Blagu'cuicui a écrit:

U_n+1=U₁+n*r=U₁ + n*r - r + r = U₁ + (n-1)*r + r
C'est à dire:
pour tout entier n, on a: U_n+1=U_n+r

moi je trouve : Un = U₁ + n*r - r + r = U1 + n*r .


edit : ah non c'est bon.

Blagu'cuicui a écrit:

Maintenant si j'ajoute les deux, j'obtiens:

2*S_n= (U_n + U₁) + (U_n-1+U₂) +...+ (U₁ + U_n)

Or U_n-1+U₂ = U_n-1 + (U₁+r) (car U2=U1+r)
Et de plus, U_n-1+r=U_n

Donc 2*S_n= (U_n + U₁) + (U_n+U₁) +...+ (U₁ + U_n)

Et il y a combien de terme en tout? Je te laisse donc conclure sur la valeur de S_n, je pense que tu comprends mieux d'où provient le 2 du coup.

En espérant que cela soit plus clair en tout cas. Je te conseille de revoir la somme d'une suite géométrique par la même occasion car dans les séries cela risque d'être tout aussi utile.

Bon courage!

je n'ai pas compris cette partie.

Blagu'cuicui a écrit:

Maintenant si j'ajoute les deux, j'obtiens:

les 2 quoi?

Bonsoir,

J'ai été un peu vite dans mes explications sans doute, je vais essayer de reprendre toutes tes interrogations en commençant par corriger une de mes erreurs.

En effet, j'avais défini la suite des sommes partielles ainsi: S_n= ∑_{i=0 à n} U_n

Et en fait, j'écris une bêtise en écrivant cela. En effet, la somme est d'indice i et donc nous considérons le terme U_i bien entendu mais j'ai tapé trop vite et je m'en excuse.

On définit donc la suite des sommes partielles (S_n)_n par:

Pour tout entier n, S_n=∑_n U_i

i est donc l'indice de sommation tout simplement c'est à dire qu'on somme les terme U_i pour i allant de 0 à n. Il s'avère d'ailleurs que dans le cours que tu proposes, ils décident de faire commencer la somme pour i égal à 1 c'est un choix après tout.

Par contre, vu les que tu poses par la suite, je vais faire un petit laïus tout de même sur les séries. En effet, la notion de séries numériques est intimment liées à deux notions incontournable. La première est la notion de suite car c'est en connaissant les bases sur les suites qu'on peut comprendre et manipuler les sommes partielles de suites. Et la deuxième notion incontournable est la notion de limite car c'est la recherche de limite des sommes partielles par exemple qui permet de savoir si une série converge ou non. En fait, il y a d'autre moyen pour conclure sur la convergence mais il s'agit tout de même de convergence et comme le mot l'indique, il s'agit donc d'une notion d'infini qu'il y a derrière et donc de limite.

Ensuite, la notion technique qu'il faut savoir gérer c'est la notion de somme et le calcul de somme. Comment calculer des sommes via quelles techniques peut-on simplifier une somme par exemple.

La raison d'une suite arithmétique c'est la valeur qu'il faut ajouter pour passer d'un rang au suivant. DE même que la raison d'une suite géométrique est la valeur par laquelle il faut multiplier un rang pour connaître le suivant.

Les suites géométrique se rencontre par exemple dans les calculs d'intérêt bancaire. J'ai un budget qui ne bouge pas et il y a un taux d'intérêt de q pour cent alors l'année suivante il y aura sur mon compte (1+q/100)*B avec B le budget actuel par exemple. Pour la suite arithmétique, elle se retrouve par exemple dans le fait que tu dépense temps chaque mois pour un forfait par exemple. En effet, tu prend un budget sur l'année et tous les mois tu enlèves le forfait et bien le mois suivant se calcule en retranchant le prix du forfait de ce qu'il restait et ainsi de suite.

En espérant que ces deux notions soient plus claires en tout cas car elles sont à la base de l'étude des suites et elles sont vraiment primordiale dans les études de séries pour quelques calculs de sommes et en l'occurrence celle que tu proposes.

Est-ce qu'avec l'explication sur la suite arithmétique tu comprends mieux d'où vient le -1 dans l'expression suivante: U_n= U_& + (n-1)*r ?

Enfin, pour "l'addition des deux" cela fait référence à l'addition des deux façon d'exprimer S_n que j'avais écrit juste au-dessus en fait.

En espérant que cela sera plus clair dans un premier temps et dans un deuxième temps que je pourrais répondre à tes questions plus clairement encore pour les prochaines que tu poseras.

Bon courage!

ok, je pense avoir compris les séries arithmétiques.

par contre, je ne comprend pas pourquoi Sn = Un + Uo. en gros la somme de tout les termes équivaut à la somme du premier et dernier terme ???
ça me parait peu.

Bonsoir,

En effet, cela serait peu si c'était bien ce que tu écrivais. Or ce n'est pas tout à fait le cas. En effet, as-tu compris comment j'obtenais cette ligne là:

2*S_n= (U_n + U₁) + (U_n-1+U₂) +...+ (U₁ + U_n)

?


Car tout réside dans cette astuce d'écrire la somme S_n de deux façons différentes puis ensuite d'ajouter ces deux façons. La conclusion réside dans l'expression de U_n qui est une suite arithmétique ici et c'est cela qui nous permet de passer l'expression quasi finale que j'écrivais dans un autre message. Mais avant de revenir à cette expression, est-ce que celle qui est écrite au-dessus te paraît claire?

Bon courage!

Blagu'cuicui a écrit:

Bonsoir,

En effet, cela serait peu si c'était bien ce que tu écrivais. Or ce n'est pas tout à fait le cas. En effet, as-tu compris comment j'obtenais cette ligne là:

2*S_n= (U_n + U₁) + (U_n-1+U₂) +...+ (U₁ + U_n)

?

justement non

j'ai bien remarqué que 2*S = (le dernier terme + le premier terme) + (le deuxième terme + l'avant dernier) + (le troisieme + l'avant avant dernier)... etc.

je te crois.

mais je n'ai pas compris pourquoi faire ça.

Bonsoir,

L'intérêt ici, c'est de redémontrer la formule en fait. Il s'avère qu'en regardant deux fois la somme et en arrangeant les termes ainsi, on va pouvoir utiliser une propriété de la suite non négligeable.

En effet, nous savons que U_n+1=U_n+r vu que notre suite est arithmétique de raison r.

En particulier, si on regarde la deuxième parenthèse, on peut dire que U₂=U₁+r par exemple.

Du coup, nous faisons apparaître dans cette deuxième parenthèse, (U_n-1+U₂)=(U_n-1+U₁+r)

Or de la même manière, U_n=_n-1+r
Donc en arrangeant les termes de cette parenthèses, j'obtiens bien: (U_n-1+U₂)=(U_n+U₁)

Et ceci nous donne donc une autre façon d'écrire la deuxième parenthèse pour se ramener à une quantité égale à la première parenthèse. Est-ce que tu arrives à te convaincre que je peux faire cela avec tous les regroupements de termes de cette sommes?

Ainsi, j'obtiens: 2*S=(U_n+U₁)+...+(U_n+U₁)

Et combien, ai-je de parenthèses dans cette somme?

Bon courage!

ok, je pense avoir compris.

Blagu'cuicui a écrit:

Ainsi, j'obtiens: 2*S=(U_n+U₁)+...+(U_n+U₁)

Et combien, ai-je de parenthèses dans cette somme?

Bon courage!

une paire ?

Bonsoir,

Il n'y a pas que deux parenthèses tout de même. En effet, nous avons combien de termes regroupé par deux 2*S ? Ou si tu préfères, combien de terme nous avions dans la somme S? C'est la même chose vu que dans 2*S, on a regroupé les termes par deux.

Bon courage!