[PSI] Normes

Bonjour,

Dans le cadre d'un exercice, je suis amené à démontrer qu'il n'existe aucune norme sur E (ici le C-ev des matrices carrées d'ordre n) telle que pour tout (A,B) dans E ||AB|| = ||BA||.

Et j'y arrive pas... J'ai essayé de procéder par l'absurde en essayant de contredire une des propriétés de la norme, mais j'ai pas réussi.

Un indice ? =D

Bonjour,

Pour l'instant, je ne vois quel 'absurde en effet. Mais bon, il doit tout de même y avoir une condition sur n car si je prend n=1, j'ai trouvé une norme qui s'appelle valeur absolue et qui correspond tout à fait .

Donc au minimum c'est pour n>1.

Une idée serait de regarder pour n=2 par exemple avec des matrices simples et de mettre en défaut un fondement de la norme c'est à dire ||A||=0 <=> A=0.

Bon courage!

C'est surement le point que tu as cité qu'il faut mettre en défaut, puisque dans la suite de l'exercice on nous introduit des semi-normes. Et certaines semi-normes vérifient apparemment la propriété qu'il faut nier pour les normes.

Le truc c'est que avec ce que tu me dis, je vois pas comment continuer. Même si je mets en défaut la propriété pour n=2, ensuite ? Je vois pas trop comment faire une récurrence sur la taille de la matrice...

On ne peut pas simplement dire:

||AB|| = 0 <=> AB=0 d'une part.
||AB|| = ||BA|| = 0 <=> BA=0 d'autre part.

Donc ||AB|| = 0 <=> AB = BA = 0. Pis ensuite on peut sans doute trouver un A et un B tel que AB=0 mais BA<>0 non (bon après je sais pas trop comment on justifie ça) ? Enfin un truc dans le genre.

Edit de Nakor: On fait si on prend E_ik et E_kj des matrices de base de taille n, on a E_kj.E_ik=0 et pourtant E_ik.E_kj=E_ij non? Ce qui justifie qu'on peut trouver A et B tel que AB=0 mais BA non nul. Donc dis moi si mon idée simple tient la route.^^

Bonjour,

Le but de raisonner en taille 2 est de justement visualiser les matrices qui vont permettre de mettre en défaut le point en question.

Tu as réussi à généraliser directement c'est bien pour ma part, je préfère assurer un raisonnement de base qui sera transposable dans d'autre cas en fait.

L'idée est juste et ta réponse aussi.

Bonne continuation!

Ok d'acc ! C'est d'ailleurs en essayant des matrices 2*2 qu'il m'est venu l'idée des matrices de base.

Je vais avancer dans le reste du DM et je reviendrai surement ce soir pour te demander des pistes pour les questions où je bloque.

Bonne journée !

Alors, dans la suite de l'exo, on travaille avec une semi norme q qui vérifie (P): pour tout A,B dans E, q(AB)=q(BA).

On en arrive à démontrer que q(A)=q(matrices des éléments diagonaux de A).

Et la dernière question est: Mq qu'il existe c>0 tel que q(A)=c.tr(A). (on a montré précédemment que |tr(A)| était une semi norme de E vérifiant (P) )

Je bloque, je vois pas trop par quel côté prendre le problème.

Hmmm,

En gros, on te demande de montrer que notre fonction q est une forme linéaire de E tout simplement. En effet, d'après une propriété qui doit être dans ton cours, on sait que toutes forme linéaire sur l'ensemble des matrice carré est une droite vectoriel et sachant que la trace en est une, on conclut directement.

Bon courage!

Je n'ai pas de telle propriété dans mon cours il me semble... Je vais encore regarder mais je pense que je m'en souviendrai si j'avais appris un truc comme ça.

Je sais que les formes n-linéaires alternées sur un ev de dimension n constituent une droite vectorielle, mais c'est tout.

Hmmm,

Autant pour moi, j'ai tapé trop vite en effet. Alors pour conclure,i l y a un moyen plus simple en fait, c'est de montrer que les deux formes sont égale sur une même base vu que les deux sont des formes linéaires. Enfin, sauf erreur ta semi-norme est bien une forme linéaire, non? Sinon, ça va nous poser quelque soucis (surtout pour montrer l'égalité avec une forme linéaire lol).

Du coup, on regarde directement sur une base c'est à dire les matrice Eij tout simplement.

Bon courage!

ps: en fait j'avais en tête le fait que toute forme linéaire sur l'ensemble des matrices carrés F telle que F(A*B)=F(B*A) est proportionnelle à la trace mais c'est ce qu'on cherche à démontrer autant pour moi donc.

Euh non elle est pas linéaire... et ta remarque vient de me faire voir que j'ai oublié un "petit" détail en tapant la dernière question: les valeurs absolues !

Il faut en fait montrer qu'il existe a dans C+ tel que q=a.f, où f(A)=|tr(A)| pour toute A dans E !

Bon ok!

C'était bizarre en fait vu qu'une norme est positive même une semi-norme alors que la trace n'est pas toujours positive (ça se saurait depuis le temps)?

Ha mince, j'allais dire une bêtise mais je vais l'écrire tout de même. En effet, on sait que sur un espace de dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Alors qu'en est-il des semi-normes?

On a montré que |Tr(A)| est une semi-norme, on a donc le droit de se poser la question. Bon ça nous donnera pas l'égalité mais ça reste une question qu'on peut se poser après tout.

Non, j'avoue que je ne sais pas comment conclure pour le coup. Je ne vois pas car le coup de la base c'était royale mais hélas pas d'application linéaire. D'ailleurs à quoi correspond ton C+ ?

En partant du principe que q(A)=Q(Somme (a_ii*E_ii), on peut conclure que q(A)<Somme |a_ii|*q(E_ii)=Somme |a_ii|

On ne doit pas être loin mais je ne vois vraiment pas comment conclure, désolé!