Fonction bornée

Bonsoir! =)

J'ai de nouveau un petit problème sur lequel je bloque =S

Soit a appartenant à ]0,+infini[, on a f[0,+inf[ -> R dérivable telle que f'+af soit bornée.
Montrer que f est bornée.

Voilà je ne trouve vraiment pas la bonne piste pour commencer cet exercice =S Pourriez vous m'aider?

Merci beaucoup!

Bonsoir,

Dans un premier temps essayons de se donner quelques moyens d'avancer. Qu'est-ce que cela signifier: "F'+a*F est bornée" ?

Ensuite, essaie de voir ce qu'on peu faire de cela connaissant les résolutions d'équation différentielle dans un premier temps.

Bon courage!

f'+af est bornée ssi il existe un M tq |f'+af|<ou=M <=> -M <ou= f'+af <ou= M

On sait que la solution de l'équation homogène sera de la forme f(x)=ke(A(x)) avec A une primitive de a.

Et sinon je ne vois pas trop ou on veut en venir avec cet exercice...

Bonsoir,

Je croyais que a était une constante strictement positive, non? Du coup, on a une forme explicite de la primitive de l'équation différentielle homogène.

Donc on a un encadrement de l'équation différentielle du premier ordre. Cela devrait nous aider à conclure non?

En tout cas pour ma part, je considère l'exercice ainsi sinon, ça me paraîtrait bizarre.

Bon courage!

Oui je pense que vous avez raison, a est une constante. Donc la solution de l'equation homogène est f(x)=k*e(-ax) mais je ne vois pas le rapport entre cette solution et l'encadrement de l'équation =/ Et si on trouve un encadrement de l'equation quel est le rapport avec le fait que f soit bornée =/

Bonsoir,

Essayons de voir les choses autrement alors si pour l'instant tu ne vois pas le rapport. En effet, considérons l'énoncé suivant:

Nous faisons les mêmes suppositions mais au lieu de considérer que F'+aF est bornée, considère qu'elle est carrément constante. Pouvons-nous conclure que F est bornée?

Bon courage!

Si elle est constante on a f'+af=alpha on trouve f(x)=k*e(-ax)+alpha/a qui est bornee. Mais l'equation n'est pas forcement egale a une constante... J'ai vraiment du mal a comprendre =\

Bonjour,

Alors si c'est égale à une constante, notre fonction est bien bornée. Certes notre équation n'est pas constante mais essayons de comprendre le chose de façon plus brute à ce moment là.

J'appelle G la fonction défini par G(x)=F'(x)+aF(x). On a donc le fait que G est bornée sur ]0;+Inf[. Du coup, notre fonction n'est pas constante certes mais elle est déterminée. Si on, considère G connu que vaut la solution de l'équation différentielle F'+aF=G ?

Conclure sachant que G est bornée.

Bon courage!

G(x) bornée <=> |G(x)|<ou= M

La solution de F'+aF=G est f(x)=k*e(-ax) + solution particulière mais on ne peut pas la connaitre puisqu'on ne sait pas ce que vaut G =S
Je n'arrive pas à voir quand il faut utiliser que G est bornée...

Je suis vraiment désolée, ca doit être simple mais je ne trouve pas =S et je vous fais perdre votre temps...

Pourriez vous m'aider à finir cet exercice avant demain, il faut que je le rend et j'aimerais vraiment comprendre sachant que j'ai un examen sur ce chapitre très bientot =S

Merci beaucoup pour votre aide!