Fonction Logarithme népérien.

Bonjour à tous, j'ai un exercice de math qui me pose vraiment problème, j'aurais besoin de votre aide!
Voici l'énoncé:

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi[ par f(x) = lnx - 1/lnx.
On nomme (C) la courbe représentative de f et T la courbe d'équation y = lnx dans un repère orthogonal (O;i;j).
1) Etudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +infi.
2)a) Déterminer la limite de [f(x) - lnx] en +infi. Interpréter graphiquement cette limite.
b) Préciser les positions relatives de (C) et de T.
3) On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C) passant par le point O.
a) Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]1;+infi[.
Démontrer que la tangente Ta ) (C) au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si f(a) - af'(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi[ par g(x) = f(x) - xf'(x).
b) Montrer que sur ]1;+infi[, les équations g(x) = 0 et (lnx)^3 - (lnx)² - lnx - 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie par R par u(t) = t^3 - t² - t - 1, montrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur R.
d) En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe T sont donnnées grace à la calculatrice.
Tracer cette tangente le plus précisément possible.
4) On considère une réel m et l'équation f(x)=mx d'inconnue x.
Par lecture grahique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1;10].


Alors, pour ce qui est de mon travail :
1) On calcul la dérivé de f(x). Soit f'(x) = 1/x - 1/(1/X) = 1/x - x/1 = -x²/x = -x.
x étant négatif, on sait que la fonction est négative à l'extérieur des racines et positive à l'intérieur des racines.
Pour les limites: en 1 = -1 et en +infi = -infi.
2)a)lim de [f(x) - lnx] en +infi donne : lnx - 1/lnx - lnx = 1/lnx = 1/+infi = 0. C'est une asymptote horizontale.
Et puis à partir de là, je bloque complètement. Je comprend les questions, mais le problème est la résolution et surtout la méthode.

J'espère que vous pourrez m'aider.
A bientot, et merci d'avance. Kikou!

Bonsoir,

Il y a forcément une erreur de calcul rien qu'en regardant ta dérivée. En effet, on doit dériver une addition de fonction. Donc pour l'instant c'est facile c'est la somme des dérivées. Mais dans l'une des deux fonctions, il y a la fonction x |--> 1/[Ln(x)] c'est à dire une fonction du type 1/u avec u un fonction qui ne s'annule pas.

Or que vaut la dérivée de la fonction 1/u en fonction de u et de u' (si on suppose que u est dérivable et ne s'annule pas bien entendu)?

Je te laisse donc reprendre ton calcul.

Cette exercice est loin d'être évident surtout qu'il est écrit de manière assez filé c'est à dire que toutes les questions s'enchaînent de manière logique ce qui implique de bien comprendre ce qu'on attend de nous à chaque question mais aussi globalement. Il faudrait donc d'abord lire l'intégralité de l'énoncé pour avoir une vue d'ensemble de l'exercice et ainsi voir dans quels domaines nous allons travailler pour mieux cibler notre recherche. Par exemple, où as-tu déjà entendu parler de différence de deux fonctions qui tendent vers 0 ? Dans la notion d'asymptote! Mais est-ce qu'une asymptote doit forcément être une droite? non pas forcément, elle peut être une courbe qui serait la représentation d'une fonction tout simplement.

Je te laisse revoir la première question dans un premier temps puis nous verrons la suite par la suite.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surout!

Bonjour, et excusez-moi pour les erreurs de départ. Je reprend :

1) f'(x) = 1/x - [(-1/x) / (lnx)²] = 1/x + 1/x(lnx)² = [(lnx)²+1] / x(lnx)².
Comme le déno x est positif, alors f ' est du signe de (lnx)² +1 qui est positif entre les racines car (lnx)² est > 0.
Donc f ' > 0 pour x ]1;+infi[
et f est croissant sur cet intervalle.
lim f(x)= 0 - (+infi) = -infi.
x--> 1

Et lim f(x)= +infi - 0 = +infi.
x-->+infi

2)a) f(x)-lnx = lnx - 1/lnx - lnx = -1/lnx
lim [f(x)-lnx]=lim (-1/lnx) = 0
x-->+infi

Donc T d'équation y=lnx est asymptote à C.

b) On a vu que f(x)-lnx=-1/lnx
Or -1/lnx est tjrs < 0 sur ]1;+infi[
d'où f(x)-lnx < 0
donc f(x) < lnx. Et ainsi, C est en dessous T.

3)a) L'équa d'une tgte est y=f '(a)(x-a)+f(a)
ce qui donne y=f '(a)x -a*f '(a)+f(a)
L'ordonnée à l'origine de la tgte est donc -a*f '(a)+f(a)
Et cette tangente passe par O si l'ordonnée à l'origine vaut zéro donc si : -a*f '(a)+f(a)=0 soit f(a)-a*f '(a)=0

b) g(x)=f(x)-x*f '(x) = lnx -1/lnx -x*[(lnx)²+1]/x(lnx)² = lnx - 1/lnx - [(lnx)²+1]/x(lnx)²
mais je n'arrive pas à simplifier mon calcul afin de retrouver g(x)=[(lnx^3)-(lnx)2-lnx-1]/(lnx)2
Donc g(x) = 0 équivaut à (lnx)^3- (lnx)2 - lnx - 1 = 0

c) u'(t) = 3t² - 2t - 1
t² étant toujours positif, il suffit d'étudier la fonction polynome (3t²-4t-1)
Avec delta = 16 et Racine de delta = 4.
On trouve t1 = 1 et t2 = -1/3.
D'où u'(t) < 0 pour -1/3 < x < 1.
On vois grâce au tableau de variation que u(t) est décroissante sur [-1/3;1] et croissante pour le reste.
On a donc lim de u(t) en -infi = -infi.
lim de u(t) en +infi = +infi.
u(-1/3) = -3/10
u(1) = -2
Mais comment montrer que u(t) s'annule une seule fois sur ]1;+infi[ ?

d) On a (lnx)3- (lnx)2 - lnx - 1 = 0 pour une seule valeur de x ]1;+infi[.
Et f(a)-a*f '(a)=0 pour une seule valeur x=a avec a ]1;+infi[
Donc il existe une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.

4) f(x)=mx a pour solution l'abscisse des points d'intersection de la droite y=mx et de C.
Mais je reste bloquée là...


Merci pour votre aide, à bientot.

Bonjour,

La dérivée est correcte et son étude aussi. Les limites sont justes mais effectue les limites séparrement au lieu d'écrire -Inf+0 car cela n'est pas ce qu'il y a de plus correct en soi. Il est préférable de calculer les limites des deux entité à part puis de conclure tout simplement.

On a donc une fonction qui est croissante sur son intervalle de définition et nous parcourons l'ensemble des réels pour les images de la fonction. C'est à dire que nous partons de ]1;+Inf[ pour arriver dans R.

Grâce à la croissance de la fonction, nous pouvons déjà en déduire quelque chose d'après le théorème des valeurs intermédiaires (si tu as vu le dit théorème bien entendu). Mais pour le moment, il n'y a pas de question sur le sujet.

La 2)a) est tout à fait juste, on déduit bien que nous avons une asymptote à l'infini qui est défini par la courbe T.
La 2)b) se déduit directement par l'étude du signe de la différence qui a été très bien faite ici.

La 3)a) est tout à fait correcte et elle est bien rédigé en plus.

La 3)b) quant à elle est en fait calculatoire. Ton calcul est juste, nous avons bien:

ln(x)-1/ln(x) - ( [ln(x)]² + 1 )/[Ln(x)]²=0

Et si nous mettions tout au même dénominateur vu que [Ln(x)]²>0 sur l'intervalle de définition, on pourrait multiplier tout par [Ln(x)]² sans changer les solutions de l'équation.

Je te laisse reprendre ton calcul.

Pour l'étude de la fonction u, elle est juste mais je ne comprend pas le rapport avec t²>0 pour faire une étude d'un polynôme. U' est une fonction polynôme du second degré, on cherche les racines tout simplement.

On arrive donc au fait que u est croissante entre -Inf et -1/3, décroissante entre -1/3 à 1 et croissante de 1 à +inf

Tu as caclulé U(-1/3) et U(1) ce qui est tout à fait logique pour terminer le remplissage du tableau de variation. On arrive donc à une fonction qui croît de -Inf et U(-1/3)=-3/10. Donc sur cette portion là, la fonction reste strictement négative. Puis ensuite, elle décroît encore donc elle reste encore strictement négative jusqu'à U(1)=-2. Et c'est donc sur ]1;+Inf[ que la fonction u va s'annuler une unique fois.

Pourquoi? Connais-tu le théorème des valeurs intermédiaires? La fonction U est croissante sur ]1;+Inf[, de plus U(1)=-2 et lim u(t) = +inf en +inf. Or 0 appartient à l'intervalle image [-2;+Inf], donc la fonction admet une unique racine sur l'intervalle ]1;+Inf[.

Pour la d), tu es un peu expéditive. En effet, nous apliquons tout de même notre fonction u à Ln(a) ce qui n'est pas une mince à faire en soi. Mais bon, la fonction logarithme parcours bien l'intervalle [0;+Inf] sur ]1;+Inf[ et donc nous allons pouvoir conclure. Il ne faut pas oublié que nous cherchions des racine en t nous et non pas en Ln(a), il faut donc qu'il existe un t tel que t=Ln(a) pour toutes les valeurs de a que nous prenons dans ]1;+Inf[.
Est-ce que tu comprends la difficulté à ce moment là de l'exercice ?

Pour la question 4), ton interprétation est tout à fait juste. Et la question revient donc à se demander combien il y a de point d'intersection en fonction de la valeur de m tout simplement.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!