[Term ]urgent ex. sur les fonctions et la dérivation

bjr a tous g un pti Dm a faire pour vendredi et je bloque sur une question la voici:on se propose de demontrer qu'il existe une unique fonction f derivable sur IR verifiant les conditions de C
f(-x)f'(x)=1 pour tt nbr reel x
f(0)=-4
on suppose qu'il exite une fonction f qui satisfait les conditions de C
1)demontré que la fonction f ne peut pas s'annuler sur IR
2)on considere la fonction g definie sur IR par g(x)=f(-x)f(x)
a)determiné la derivé de g

voila si je pourrai avoir quelques indications se serai vraiment sympas car du coup de ne peut pas continuer le reste de l'exo
merci d'avance a tous

Bonsoir,

Alors, tu as comme conditions:

Quelque soit le réel x, on a: F(-x)*F'(x)=1
et F(0)= -4

A partir de là, on peut déduire la première question par l'absurde. C'est à dire que tu supposes qu'il existe t tel que F(t)=0 et tu montres que tu arrives à une contradiction.

Pour celà, vu que ta première relation est vraie pour tout réel x, elle est vrai aussi pour -x.

Ce qui donne: Quelque soit le réel x, on a: F(x)*F'(-x)=1

Il ne reste plus qu'à regarde ce que donne cette relation au point t.

Pour la question qui suit, il s'agit de dériver une fonction du type: u(x)*v(x) dont tu dois connaître la dériver, je pense. Mais attention, ici la fonction u est une fonction composée !!! u=FoH avec H(x)=-x.
Dans ton calcul, tu vas voir apparaître ta première condition d'ailleurs, ce qui est pratique .

Je te souhaite bon courage pour la suite, en espérant que ton prochain post contienne les réponses à ces deux questions . N'hésite pas à demander des explications si quelque chose n'est pas claire.

@bientôt au sein du forum!

Bonsoir à toutes et tous,

Je vous propose la correction suivante pour cette exercice:

En hypothèse, nous savons que F est dérivable sur R.
De plus, on a:

Pour tout x Є R, F(-x)*F'(x)=1 et F(0)=-4

Pour la question 1), je vais donc la résoudre par l'absurde.
Je suppose donc qu'il existe un t Є R tel que F(t)=0.

Par hypothèse, pour tout x Є R, on a: F(-x)*F'(x)=1
Donc l'égalité est aussi vrai pour -x ce qui nous donne:
Pour tout x Є R, F(x)*F'(-x) =1

Et donc pour x=t, on a: F(t)*F'(t)=1
Or F(t)=0
Donc 0*F'(t)=1 ce qui est absurde car 0≠1

Donc F ne s'annule pas sur R


Pour la question 2), on pose pour tout x Є R, G(x)=F(-x)*F(x)

Pour une question de clarté, je vais définir la fonction H définie sur R telle que H(x)=-x.

On a donc G(x)=FoH(-x)*F(x)

G est donc la multiplication de deux fonctions FoH et F. La première fonction est donc une fonction composée. Il faut donc faire attention lors de la dérivation!!!

G est dérivable sur R comme multiplication de deux fonctions dérivables sur R.

Nous avons donc pour tout x Є R,

G'(x)= (FoH)'(x)*F(x) + FoH(x)*F'(x)

Or (FoH)'(x)= F'oH(x)*H'(x) pour tout x Є R

Donc G'(x)= [(F'oH)(x)*H'(x)]*F(x) + FoH(x)*F'(x)

En conclusion, nous avons donc:

Pour tout x Є R, G'(x)= F'(-x)*(-1)*F(x) + F(-x)*F'(x)

Or par hypothèse on sais que pour tout x Є R, F(-x)*F'(x)=1 mais aussi F(x)*F'(-x)=1

Donc pour tout x Є R, G'(x)=0 !!!

Voilà ce qui conclut l'exercice que nous avait proposé nana17.

Je vais aller un peu plus loin tout de même car il est dommage de s'arrêter là dans l'exercice après tout. Ne sachant pas ce qu'on te demandais après, je vais essayer de voir jusqu'où on aurait pu aller dans cette exercice .

Alors, nous en sommes au fait que nous trouvons G'(x)=0 pour tout x Є R.

Celà veut donc dire que pour tout x Є R, G(x)=α avec α une constante quelconque.

Or G(x)=F(-x)*F(x) et F(0)=-4 par hypothèse.

Donc F(-0)*F(0)=α

Et on peut donc conclure que (-4)²=α c'est à dire que α=16.

Donc pour tout x Є R, G(x)=16.

On conclut donc que pour tout x Є R F(-x)*F(x)=16.

Or d'après la première question, on sait que F ne s'annule pas sur R.
Donc pour tout x Є R, F(-x)≠0 en particulier.

D'où pour tout x Є R, F(x)=16/F(-x)

Or pour tout x Є R, F(-x)*F'(x)=1 c'est à dire que 16*F'(x)=16/F(-x)

Donc 16*F'(x)= F(x) pour tout x Є R.

Nous nous retrouvons devant une équation différentielle homogène linéaire du premier ordre F'(x) - (1/16)*F(x)=0.

Les solution sont e la forme F(x)=A*exp(x/16) avec A une constante.

Or F(0)=-4

Donc A=-4

En conclusion, nous avons trouvé toutes les fonctions F dérivable sur R vérifiant C:

Pour tout x Є R, F(x)= -4*exp(x/16)

Nous avons donc fait des révisions sur le raisonnement par l'absurde, la dérivation, la résolution d'une équation différentielle homogène du première ordre.

En espérant avoir été clair, je vous souhaite à toutes et tous une bonne continuation.

@bientôt au sein du forum!