Lecture Graphique et dérivées

Bonjour, j'aurai besoin d'une aide pour cet exercice que je ne comprends pas trop



Quand on me demande de déterminer par la calcul, j'y arrive très bien mais lorsque que l'on me parle de graphique, je ne comprends plus rien :S

Alors, pour la question a), j'ai étudié le signe de chaque tangente (courbes vertes) et j'ai trouvé que f'(x) est négative sur ]-oo ; 1] puis positive sur [1 ; +oo[

Pour la question b), j'ai un gros problème. Je me demande comment faire pour trouver les équations des tangentes...

Pour la c), j'ai trouvé :
Plus x s'approche de 1 en étant < à 1, plus les images tendent vers +oo.
Plus x s'approche de 1 en étant > à 1, plus les images tendent vers +oo.
Plus x s'approche de 1/2 en étant > à 1/2, plus les images tendent vers +oo.

Pour la d), j'ai pensé à un théorème qui dit :
"Lorsque la limite de f en a est -oo ou +oo, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe C."
Mais je ne vois pas quoi dire sur les asymptotes...

Enfin, pour la e), je n'y ai pas encore réfléchis..

Merci pour votre aide...
OncheOnche.

Bonsoir et bienvenue parmi nous !

Désolé pour le décalage de la réponse mais cet exercice est très intéressant surtout au niveau de la méthode.

Alors il s'avère qu'en fait grâce au calcul, on arrive à déduire des choses mais nous ne sommes jamais à l'abri d'une faute de calcul et c'est un peu le but de l'exercice. En effet, si on te donne le graphique d'une fonction, il est tout à fait faisable de vérifier si les calculs son cohérent avec la véritable courbe qui représente la fonction.

Il est donc important de savoir bien lire un graphique pour en déduire le plus de chose possible.

Alors comment déduire le signe de la dérivée à partir d'un graphique? C'est simple en fait et tu sais très bien le faire si tu connais la méthode par le calcul. En effet, lorsque tu calcules la dérivée pour avoir son signe, quel est ton but? Car tu n'effectues pas des calculs pour faire des calculs! Tu calcules cela pour avoir accès au variation de la fonction. Et même mieux que cela, il s'agit d'une définition! C'est à dire que si le signe est positif alors la fonction est croissante sur l'intervalle et si le signe est négatif, alors la fonction est décroissante.

C'est cela qu'on se sert le plus souvent car on effectue le plus souvent les calculs. Mais, il faut aussi savoir qu'une définition se lit dans les deux sens. Ainsi, si la fonction est croissante alors le signe de la dérivée est positif et si la fonction est décroissante sur un intervalle alors la dérivée est négative sur cet intervalle.

Ainsi, en lisant le graphique, tu sais reconnaître la croissance ou la décroissance de la fonction et ainsi tu peux déduire directement les intervalles où la dérivée est positive et ceux où elle est négative tout simplement.

J'espère que cela sera plus claire ainsi pour toi sinon n'hésite pas à poser tes questions!

Pour la question suivante, il s'agit de connaître tes classiques. A savoir, qu'une tangente est une droite et qu'une droite à quoi comme équation possible?

Pour la question suivante, ton approche est la bonne mais attention au signe ce n'est pas 1 mais -1. Et attention à ne pas oublier les bornes évidente de l'ensemble de définition comme l'infini par exemple.

Les asymptotes visuellement sont des droites qui se rapproche de la courbe sans jamais la toucher tout simplement. C'est cela que nous dit la définition. Tu n'as pas que des asymptote verticale, il y a aussi des asymptote horizontales et des asymptotes obliques. Par contre, des asymptotes ici sont des droites donc là aussi tu connais la forme de l'équation d'une droite et il ne reste plus qu'à lire les choses sur le graphique.

Le tableau de variation n'est autre que le signe de la dérivée de la question a), les limites, les asymptotes et bien entendu les variations de la fonction c'est à dire la croissance et la décroissance de la fonction en fonction des intervalles que tu auras considéré.

Bon courage et n'hésite pas poser tes questions!

Bonsoir ! Tout d'abord, merci pour votre réponse, cela m'a beaucoup aidé !
Je vous montre donc ce que j'ai trouvé :

a) On sait que :
-Si f est croissante sur un intervalle [a ; b] alors pour tout x dans [a ; b], f'(x) > 0.
-Si f est décroissante sur un intervalle [a ; b] alors pour tout x dans [a ; b], f'(x) < 0.

On se propose donc d'étudier le signe de f afin de trouver le signe de la dérivée :
-Sur l'intervalle ]-oo ; -1[, la courbe est en dessous de l'axe des abscisses, f'(x) est donc négative.
-Sur l'intervalle ]-1 ; -0,75[, la courbe est eau dessus de l'axe des abscisses, f'(x) est donc positive.
-Sur l'intervalle ]-0,75 ; 1/2[, la courbe est en dessous de l'axe des abscisses, f'(x) est donc négative.
-Sur l'intervalle ]1/2 ; +oo[, la courbe est au dessus de l'axe des abscisses, f'(x) est donc positive.

b) Soit A un point de la courbe C de coordonnées (-2 ; -3/2). [1] La tangente à C en A est une droite parallèle à l'axe des abscisses qui possède une équation de la forme y=b où b est un nombre qui mesure la hauteur algébrique (positive ou négative) de la droite par rapport à l'axe des abscisses. On peut donc dire que la tangente à C en A a pour équation y=-3/2.

Soit B un point de la courbe C de coordonnées (-3/2 ; -2). D'après [1], on peut dire que la tangente à C en B a pour équation y=-2.

Soit C un point de la courbe C de coordonnées (0 ; -1/2). Pour trouver l'équation de la tangente, on se propose de calculer le coefficient directeur h de la tangente à C en C en choisissant 2 points M (-2 ; 1,25) et N (1 ; -1,25) et en appliquant la formule :
h = (yn - ym) / (xn - xm)
AN : h = (-1,25-1,25) / (1+2) = -2,5/3
On peut donc dire que la tangente à C en C a pour équation y=-2,5/3.

Soit D un point de la courbe C de coordonnées (1 ; 1/2). D'après [1], on peut dire que la tangente à C en D a pour équation y=1/2.

c) -Plus x s'approche de -1 en étant inférieur à -1, plus les images tendent vers +oo.
-Plus x s'approche de -1 en étant supérieur à -1, plus les images tendent vers +oo.
-Plus x s'approche de 1/2 en étant inférieur à 1/2, plus les images tendent vers -oo.
-Plus x s'approche de 1/2 en étant supérieur à 1/2, plus les images tendent vers +oo.
-Plus x s'approche de +oo, plus les images tendent vers 1/2.
-Plus x s'approche de -oo, plus les images tendent vers -oo.

d) On sait qu'une droite asymptote à une courbe est une droite telle que, lorsque l'abscisse ou l'ordonnée tend vers l'infini, la distance de la courbe à la droite tend vers 0.

Une asymptote verticale a pour équation x = a où a est un nombre réel. On peut donc dire que plus x se rapproche de la valeur a, en restant plus petite ou plus grande que a, mais sans jamais être égale à a, plus y se rapproche de l'infini. On a donc ici des asymptotes qui ont pour équation :
x = -1
x = 1/2

Une asymptote horizontale a pour équation y = b où b est un nombre réel. On peut donc dire que lorsque x s'approche autant qu'on veut de l'l'infini (mais sans jamais atteindre l'infini), y s'approche de b. On a donc ici une asymptote qui a pour équation :
y = 1/2

Une asymptote oblique a pour équation y = ax + b où a est différent de 0 et est le coefficient directeur de la droite et où b est l'ordonnée à l'origine. On a donc ici une asymptote qui a pour équation :
y = 1x - 1/2

e)


Merci de me dire si quelque chose est faux.. J'ai passé toute l'après-midi sur cet exercice
Bien à vous, OncheOnche.

Bonsoir,

C'est un bon travail que tu as fourni mais il y a quelques erreurs de fond qu'il reste encore à voir. En effet, la croissance ou la décroissance d'une fonction ne se lit pas par rapport à l'axe des abscisses mais au fait que la courbe soit croissante ou décroissante. Regarde le tableau de variation que tu as fait à la dernière question cela t'aidera à rectifier les choses.

La question suivante est plutôt bien traitée mais attention l'équation de la tangente en C est de la forme y=a*x+b avec a le coefficient directeur que tu as calculé mais il reste encore l'ordonnée à l'origine. Pourquoi ne pas carrément tracer cette droite pour mieux lire l'ordonnée à l'origine.

Pour le reste, toutes les méthodes sont exactes comme quoi tu sais faire bien plus de choses que tu l'écrivais. Fais-toi plus confiance!

Bon courage!

Bonjour,
Encore merci d'avoir corrigé mes erreurs.
Donc pour la question a) je m'aide du tableau de variations et pour la question b) j'ai mis :
Soit C un point de la courbe C de coordonnées (0 ; -1/2). Pour trouver l'équation de la tangente, on se propose de calculer le coefficient directeur h de la tangente à C en C en choisissant 2 points M (-2 ; 1,25) et N (1 ; -1,25) et en appliquant la formule :
h = (yn - ym) / (xn - xm)
AN : h = (-1,25-1,25) / (1+2) = -2,5/3
On cherche ensuite l'ordonnée à l'origine. Sur le graphique, nous pouvons voir qu'il sagit de -1/2.
On peut donc dire que la tangente à C en C a pour équation y=-2,5/3x - 1/2.

Merci beaucoup de m'avoir aidée, maintenant je comprends la totalité de l'exercice et j'ai surtout appris à rédiger pour que la personne qui lit me comprenne \o/

Bonsoir,

C'est un très bon travail! Cet exercice pourra te servir de base de révision car comme tu l'as constaté cet exercice malgré le fait qu'il ne s'agisse que de lecture graphique normalement, il reprend toute la base de l'étude d'une fonction ainsi que tout ce qui touche à la représentation d'une fonction (tangente, asymptote verticale, asymptote horizontale et asymptote oblique).

Je te souhaite une bonne continuation et n'hésite pas à poser tes questions surtout et à faire un tour dans le livre d'or ou la page d'actualité du site associé (accessible sur le portail du forum).

Bonjour,
Merci beaucoup pour vos réponses, cela m'a beaucoup aidé.
Je n'hésiterai pas à repasser si j'ai besoin d'aide
Bonne continuation, votre forum est super