démonstration (nombres premiers)

Bonjour, il y a une démonstration que je n'ai pas très bien compris à propos de l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Voici deux liens:
http://astroplus.perso.neuf.fr/capes/Lecon12.pdf (page 2)
http://www.capes-de-maths.com/lecons/lecon13.pdf (page 3, ce lien est plus précis).
En fait, Je ne comprend pas l'hérédité de la récurrence:
1/. Pourquoi consacrer 2 écritures différents pour n+1 avec les p et les q
2/. En quoi le lemme de Gauss permet-il de résoudre cette récurrence?
3/. pourquoi diviser n+1 par pk?
4/. Pourquoi dire que (n+1)/pk a une décomposition unique (hypothèse de récurrence) permet de dire que n+1 a une décomposition unique?
5/. Dans le deuxième lien, pourquoi étudier le cas des exposants?
En fait, j'ai besoin qu'on explique cette hérédité.
Merci infiniment pour votre aide, je vous suis très reconnaissant.

Bonsoir,

Voici une démonstration qui n'est pas des plus simple en effet. Elle est d'ailleurs rarement faite en terminale même en spé ce qui montre encore un sacré niveau de ta classe ou de tes recherches, c'est admirable.

Alors, pour la partie existence, je pense que tu as compris la récurrence.
Maintenant, nous cherchons à montrer l'unicité et ceci toujours par récurrence, d'ailleurs.

Cependant, on ne sait pas encore qu'il y a une décomposition unique, c'est pour cela qu'on va considérer que n+1 admet deux décompositions différentes en facteurs premiers (nous sommes presque par l'absurde mais elle est juste mal rédigée en quelque sorte).

Pour le lemme de Gauss, il est utilisé pour réussir à montrer l'existence d'un i tel que P1=Qi.
Si tu as un doute sur cela, pourrais-tu écrire le lemme de Gauss pour que nous voyons exactement où le raisonnement bloque pour toi.

Le but de cette première étape est de diviser n+1 par un des facteurs premiers pour appliquer l'hypothèse de récurrence (nous avons l'unicité pour un facteur de moins dans la décomposition en facteur premier).

Enfin, dans cette démonstration, nous n'avons pas la fréquence d'apparition des Pi vu qu'on ne considère à aucun moment que les facteurs premiers sont tous différents. Par conséquent, il faut recommencer si nous voulons vraiment démontrer la propriété énoncée car la propriété précise que les pi sont tous différent ce qu'on n'a pas démontré ici.

En espérant que cela devienne un peu plus clair ainsi.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

Merci pour votre réponse.

Le lemme de Gauss: Si p est premier, alors "p divise ab" implique "p divise a" ou "p divise b"
Du coup: Soit a, b et c trois entiers strictement positifs. Si a divise le produit bc et si a est premier c avec , alors a divise b.
Corollaire: Si un nombre premier divise un produit de facteurs premiers, alors il égale à l'un d'eux.
Rappel: un nombre est premier avec tout nombre qu'il ne divise pas.


Si j'ai bien compris:
n+1= (p1^a1)×...×(pk^ak)= (q1^b1)×...×(qm^bm)

pk divise (p1^a1)×...×(pk^ak), donc pk divise (q1^b1)×...×(qm^bm), donc pk est forcément égale à l'un des qi d'après le corollaire. Par exemple, pk divise qm donc pk=qm (c'est plus clair maintenant à propos de lemme de Gauss).

[(n+1)/pk] < n+1 donc hypothèse de récurrence: [(n+1)/pk] admet un décomposition unique en facteurs premiers, mais pourquoi dire que (n+1)/pk a une décomposition unique (hypothèse de récurrence) permet de dire que n+1 a une décomposition unique?
Dans le deuxième lien, pourquoi étudier le cas des exposants?

En tout cas, j'ai bien compris l'histoire des 2 écritures (proche de l'absurde) et du lemme de Gauss, mais désormais c'est la fin qui bloque.

Merci beaucoup pour votre aide.

"nous n'avons pas la fréquence d'apparition des Pi vu qu'on ne considère à aucun moment que les facteurs premiers sont tous différents.", comment ça?

Bonsoir,

Le lemme de Gauss est bien celui là et le corollaire est quasi direct en fait vu que diviser un nombre premier revient à dire qu'il est soit égal à 1 ou au nombre premier lui-même. Or vu qu'il s'agit d'un nombre premier, il ne peut pas être égal à 1 et le tour est joué. Je voulais que tu en prennes conscience et c'est chose faite à première vu.

La discussion sur les exposants est logique en fait. Tu as fait une remarque ici:

Citation :

pk divise (p1^a1)×...×(pk^ak)

Or cela est vrai seulement si ak n'est pas nul ! Sinon, pk^ak=1 !!! Et du coup pk ne divise plus rien. En fait avant d faire ta remarque, il faudrait rigoureusement faire une mise en facteur par pk ce qui revient à écrire du coup:

n+1 = pk*p1^a1*...*pk^(ak-1)

Et là, j'ai le droit de l'écrire seulement si ak-1 n'est pas négatif sinon, la factorisation n'est plus par un entier mais un nombre rationnel ce qui ne rentre pas dans le cadre de la divisibilité.
Que se passe-t-il si ak=0 ? Et bien, nous somme directement dans le cas de la récurrence vu que nous avons un facteur premier de moins.


Pour la conclusion, n+1 / pk admet donc une décomposition unique par hypothèse de récurrence.

Ce qui signifie donc ? Et bien que les autres formes de n+1 / pk admettent aussi une décomposition unique à savoir:

p1^a1* ... * pk^(ak-1) ET q1^b1*...*qi^(bi-1)* ... * qk^bk

Vu qu'il y a unicité des décompositions en nombres premiers de ces deux nombres qui sont déjà des décomposition en nombre premier (via l'existence déjà démontrée). Par conséquent, pour toutes les valeur de i il existe un j tel que: pi=qj. Et toujours par unicité de la décomposition trouvée, les exposant sont forcément les mêmes par application successive de l'hypothèses de récurrence (c'est ce qu'on appelle une récurrence forte car on l'applique à toutes les étapes précédentes).

Et donc n+1 / pk = p1^a1* ... * pk^(ak-1) (quitte à réordonner les termes et à changer les noms). D'où l'unicité de la décomposition de n+1.

Citation :

"nous n'avons pas la fréquence d'apparition des Pi vu qu'on ne considère à aucun moment que les facteurs premiers sont tous différents.", comment ça?

Dans la première démonstration, il n'y a pas d'hypothèses sur les pi sauf qu'ils sont premiers alors que dans la propriétés. En fait pour réussir à avoir des facteurs premiers tous différents, il va falloir avoir des exposant. Exemple:

12=2*2*4 est une décomposition en facteurs premiers. Cependant, elle n'est pas unique car l'ordre peut changer. Donc on impose que les pi soit dans un certain ordre. Puis ensuite, il faut qu'il soit tous différents. ce qui implique d'écrire donc la décomposition de 12 comme suit:
12=2² * 3

Est-ce plus clair ?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bonjour, et merci pour votre réponse. ça devient plus clair.

n+1= (p1^a1)× (p2^a2)...(pk^ak)= (q1^b1)×(q2^b2)...(qm^bm)
n+1= (p1^a1)× (p2^a2)...(pk^ak-1)×pk= (q1^b1)×(q2^b2)...(qm^bm-1)×qm

Lemme de gauss: on avait dit pk= qm

[(n+1)/pk]= (p1^a1)× (p2^a2)...(pk^ak-1)= (q1^b1)×(q2^b2)...(qm^bm-1)
unicité de [(n+1)/pk] car hypothèse de récurrence.

(p1^a1)× (p2^a2)...(pk^ak-1)= (q1^b1)×(q2^b2)...(qm^bm-1) UNIQ (hypo r)

n+1=(p1^a1)× (p2^a2)...(pk^ak-1)×pk= (q1^b1)×(q2^b2)...(qm^bm-1)×qm UNIQUE car on a déjà montrer pk=qm.
C'est fini! le tour est joué: n+1 est unique. La récurrence s'achève normalement, mais il y a encore le sujet des exposants.

Venons en aux exposants:

Si αk = 1 alors βm = 1. En effet sinon qm diviserait l’un des pi
avec i ≠ k ce qui est absurde puisque qm = pk et les pi sont
premiers 2 à 2 distincts.
Si αk > 1 alors βm > 1. En effet sinon pk diviserait l’un des qi
avec i ≠ m ce qui est encore absurde car pk = qm et les qi
sont premiers distincts 2 à 2.

En fait, cette histoire d'exposant est trés logique. J'ai très bien compris ce raisonnement par l'absurde, mais quel est son objectif: montrer que les exposants sont strictement positif? (mais ceci peut être déjà une condition initiale: a1,a2,...ak et b1,b2,...,bm appartient à N*). Est-ce pour montrer l'unicité des exposants? [non car on a déjà montré et fini la récurrence: (p1^a1)× (p2^a2)...(pk^ak-1)= (q1^b1)×(q2^b2)...(qm^bm-1) donc ak-1=bm-1, donc ak= bm ]

En tout cas, je pense que j'ai compris pourquoi dire que (n+1)/pk a une décomposition unique (hypothèse de récurrence) permet de dire que n+1 a une décomposition unique: en fait on savait déjà que pk=qm. Mis en facteur on a aussi montrer l'unicité des autres pi et des qj avec leur exposants. Mais en fait, j'ai l'impression qu'on a pas démontré l'unicité des exposants de pk et qm, quoique si car ak-1= bm-1 .

Je vous cite:"Enfin, dans cette démonstration, nous n'avons pas la fréquence d'apparition des Pi vu qu'on ne considère à aucun moment que les facteurs premiers sont tous différents. Par conséquent, il faut recommencer si nous voulons vraiment démontrer la propriété énoncée car la propriété précise que les pi sont tous différent ce qu'on n'a pas démontré ici."

En fait, je pense que les conditions initiale sont mal posé, il faut être très précis dans l'énoncé de la propriété et il faudrait préciser toutes les conditions avant de se lancer dans la démo:

Théorème (énoncé approximatif): Tout entier n>ou=2 peut être écrit de façon unique comme produit de facteurs premiers.

L'énoncé est approximatif car il n'est pas si clair de savoir ce que signifie «unique» : on peut écrire 6=2×3=3×2 mais il faut évidemment considérer que c'est la même chose. Pour pouvoir comprendre voire utiliser le théorème, cet énoncé suffira bien ; mais pour le démontrer, il faut être plus précis.

Théorème (énoncé précis) Tout entier n>ou=2 peut être écrit comme produit de facteurs premiers et cette décomposition en facteurs premiers est unique. De plus, si on dispose de deux écritures
n=(p1^a1)× (p2^a2)...(pk^ak) et n=(q1^b1)×(q2^b2)...(qm^bm)
dans lesquelles k>ou=1, m>ou=1, les entiers p1<p2<..<pk et q1<q2<...<qm sont tous premiers et rangés en ordre croissant, les exposants a1,a2, ...,ak et b1,b2, ...,bm sont tous des entiers strictement positifs, alors ces deux écritures sont les mêmes au sens précis suivant : k=m et pour tout i avec
[1] inférieur ou égale à [i] inférieur ou égale à [k=m], pi=qi et ai=bi.

Avec cet énoncé plus précis, je pense que l'histoire des exposants sert à démontrer qu'ils sont strictement positifs. Mais cette histoire d'exposants est en plus dans la récurrence, est-ce ceci?


En résumé, javascript:emoticonp('')

Veuillez m'excuser pour le petit smyley, je n'ai pas fait exprès. Je voulais le visualiser mais en fait je l'ai envoyé.
J'en reviens à ce que je disais:
En résumé, mon explication concernant l'hérédité de la récurrence est-elle juste?
mon explication concernant les fréquences des pi avec des conditions initiales avant de commencer la récurrence est-elle correcte? Et les exposants,quel en est leur objectif d'étude suite à mon explication à leur propos.
Je vous remercie profondément, je comprend de mieux en mieux. En factorisant n+1 par pk, j'ai vite compris l'hérédité, toujours est-il qu'il faut que mon explication soit correcte.

Ce lien peut peut être répondre à ce que vous m'avez car on démontre l'écriture de n lors de la décomposition en facteurs premiers: http://xmaths.free.fr/TS/cours/indications.php?nomexo=TSpremdm04

Je vous cite: "Enfin, dans cette démonstration, nous n'avons pas la fréquence d'apparition des Pi vu qu'on ne considère à aucun moment que les facteurs premiers sont tous différents. Par conséquent, il faut recommencer si nous voulons vraiment démontrer la propriété énoncée car la propriété précise que les pi sont tous différent ce qu'on n'a pas démontré ici."

Merci beaucoup

Bonjour,

Tu semble avoir saisi toutes les idées sauf celle de l'unicité des exposants, j'ai l'impression.

Pour montrer que pour tout i il existe un j tel que pi=qj c'est assez simple. Ensuite, rien ne nous dit que:

pi^ai = qj^bj et c'est là que cela se complique un peu et qu'il faut jouer sur les exposant.

Je reprend le raisonnement que pour pk il existe un j tel que pk=qj (rien ne nous dit qu'il s'agisse de qm après tout vu qu'on ne sait pas encore que l'égalité entre les deux décompositions donne en fait la même décomposition).

On simplifie donc par pk à gauche ce qui revient à simplifier par qj à droite et donc par hypothèse de récurrence (nous avons un nombre premier en moins dans la décomposition, donc on peut l'appliquer, il y a donc unicité des décomposition restante)

Soit ak-1=0 (c'est à dire qu'on a plus de pk) et à ce moment là:

(p1^a1)× (p2^a2)...* pk-1^ak-1= (q1^b1)×(q2^b2)...(qj^bj-1)

Mais, on a forcément j=m car les nombres premiers on été choisi de telle sorte que:
p1<p2<...<pk
q1<q2<...<qm

De plus, si bm>1, cela signifierait donc qu'il y aurai l'existence d'un i différent de k tel que pi=qm ce qui n'est pas possible vu qu'on a par hypothèse:

p1<p2<...<pk et les inégalités sont STRICTES !!!


Donc bj=1.

Et on pourrait faire ce raisonnement pour tous les pi si ai n'est pas égale à bi, alors c'est qu'il y aurait un autre facteur premier égale à un pi ou à un qi ce qui impliquerait donc une absurdité à cause de l'ordre croissant de rangement.


Pour faire simple: Dès qu'on a l'unicité de la décomposition, on a forcément pi=qi pour tout i. Il nous reste à montrer que les exposants sont égaux.


La propriété exacte est celle-ci:

Pour tout entier naturel n,
Il existe un entier k
Il existe un k-uplet de nombres premiers (p1, ..., pk)
Il existe un k-uplet de nombre naturel (a1, ..., ak)

tels que:
p1<p2<...<pk et n= (p1^a1)*...*(pk^ak)


Il existe ensuite un moyen plus simple d'écrire cette propriété à partir du moment où on maîtrise bien la notion d'ensemble de nombre:

Soit P l'ensemble des nombre premier.
Pour tout entier n on a:

Il existe une suite d'entier (a_i) presque tous nuls tel que: n= ∏_{pЄP iЄN} p^a_i

Vu que les a_i sont presque tous nuls, le produit considéré est bien un produit de nombre premier fini ce qui est bien ce qu'on cherche à écrire.

Bonne continuation!