Dm

Bonjour

Voila Suite de mon Dm, je voudrais juste que tu m'aide a trouver les réponses (sans me les donner bien sur )

https://nsa22.casimages.com/img/2012/04/27/120427034259367883.png

Pour l'instant j'en suis a l'exercice 2.

1. Pour tout xЄN f(x)>0 car 1>0 et 1+x²>0 donc F est strictement croissante sur R

2. G(x) = F(x) + F(-x)

G'(x) = F'(x) + F'(-x)

G'(x) = f(x) + f(-x)

G'(x) = 0

G'(x) = 0 donc G est une fonction constante et pour tout xЄN , G(x) = k (avec kЄR)

Étant donnée que G'(x) = 0 on a :

F'(x) + F'(-x) = 0

F'(-x) = -F'(x)

F(-x) = -F(-x)

On a donc F(-x) = -F(x) donc F est impaire

3) a. Tan(x) = (Sin(x))/cos(x)

Tan'(x) = (Cos²(x) + Sin²(x))/Cos²(x)

Tan'(x) = 1+ tan²(x)

b. J'ai pas très bien compris comment faire mais j'ai essayé sa :

Si F(tan(x)) = x alors F(tan(x)) - x <=> x - x = 0

donc F(tan(x)) = x

4) Tan(x) = 1 <=> F(tan(x)) = x donc F(tan(1)) = 1

5) L'intégrale a calculer ne serai pas :

A = ∫(de -π/2 a π/2) 1/1+x²

Merci

Bonsoir,

La première question est drôle mais fausse. Tu ne confondrais pas le signe de la fonction et les variations de cette fonction ? Je te laisse revoir cette question.

La première partie de la deuxième question est fausse car tu as mal dérivé la fonction composée: x |-> F(-x).
La fin est juste dès que tu auras la bonne dérivée d la fonction G.

La question 3)b), comment montres-tu qu'une fonction est constante ? Je pense qu'avec cette méthode là, tu devrais pouvoir conclure avec la question 3)a).

La question 4), il faut reprendre la base, lorsque tu appliques une fonction à une égalité, il faut appliquer la fonction sur les deux membres de l'égalité sinon, cela n'a pas de sens mathématiques.

Pour la dernière question, je te laisse faire un graphique car les bornes d'intégration ne sont pas exacte. Et pou le calcul, d'après toi quel est l'intérêt de toute l'étude effectuée dans ce problème ?

Bon courage!

Bonsoir

Je ne pensais pas avoir fait autant d’erreurs...

Bref je vais essayé de les corrigées.Pour la 1ere question, on a F qui est la primitive de f donc la dérivé de F est f et on a F'(x) = f(x) non ?

f(x) = 1/1+x² donc pour tout xЄN f(x) n'est pas strictement positif ???

Et on sait que si une fonction f définie sur un intervalle I admet en tout point de I une dérivée positive elle est croissante .

Pour la 2eme question, je suis allé trop vite en faite je trouve sa :

G(x) = F(x) + F(-x)

G'(x) = F'(x) + F'(-x)

G'(x) = f(x) + f(-x)

G'(x) = 1/1+x² + 1/1-x²

En mettant au même dénominateurs, je trouve alors G'(x) = (-2)/x^4-1

Je crois que j'ai faux car une fonction constante a une dérivée nulle...

Pour la 3eme question j'ai posé g(x) = F(tan(x)) - x et donc on a :

g'(x) = f(tan (x)) -1

g'(x) = (1)/(1+tan²x) -1

g'(x) = (tan²x)/(tan²x + 1)

g'(x) = (tan²x)/(tan'x)

mais je ne trouve pas 0 donc je ne peux pas montrer que la fonction est g est constante...

Citation :

La question 4), il faut reprendre la base, lorsque tu appliques une fonction à une égalité, il faut appliquer la fonction sur les deux membres de l'égalité sinon, cela n'a pas de sens mathématiques.

devrait-je appliquer la fonction F a l'égalité comme cela :

tan x = 1

F(tan x) = F(1) <=> F'(tan x) = F'(1) <=> f(tan x ) = f(1) <=> (1)/(1+tan²x) = 1/2

j'ai continuer le calcule jusqu’à trouver 2x = tan x ...Je crois que je suis perdu

Merci

J'ai répondu un peu vite sur la première question. En effet, ta démarche est juste, je pensais qu'on cherchait la croissance de f et non de F. Cela est dû au fait que sur le forum j'ai tendance à écrire toutes les fonctions en majuscule pour simplifier la lecture et cela a posé un quiproquo sur cette question; au temps pour moi.

Pour la deuxième question, il y a toujours une erreur dans la dérivée. En effet que vaut la dérivée de la fonction x|-> F(-x) ? Juste cette fonction là si pour toi il s'agit de la fonction F'(-x) quelle serait à ce moment là, la différence avec la dérivée de la fonction x|->F(x) ? Par ailleurs, est-ce que x|->-x et x|->x ont la même dérivée ?
Je te laisse revoir tes calculs.

Dans la suite, tu fais la même erreur dans la dérivation. Tu as des fonctions composées ici et x|->F[tan(x)] n'a rien à voir avec la fonction x|-> F(x) et donc la dérivée est tout à fait différente.

Je te laisse revoir la dérivée de la fonction f o g lorsqu'on sait que f et g sont dérivables.

Bon courage!

Bonjour

Citation :

Pour la deuxième question, il y a toujours une erreur dans la dérivée. En effet que vaut la dérivée de la fonction x|-> F(-x) ? Juste cette fonction là si pour toi il s'agit de la fonction F'(-x) quelle serait à ce moment là, la différence avec la dérivée de la fonction x|->F(x) ? Par ailleurs, est-ce que x|->-x et x|->x ont la même dérivée ?
Je te laisse revoir tes calculs.

Je ne vois pas très bien ou tu veux en venir...

La fonction x|-> F(-x) et la fonction x|->F(x) n'ont elles pas des dérivées opposées ? Et si c'est le cas on a bien G'(x) = 0 et donc la fonction G constante. la fonction x|->-x et la fonction x|->x ont des dérivées opposées ( -1 et 1).

Citation :

Dans la suite, tu fais la même erreur dans la dérivation. Tu as des fonctions composées ici et x|->F[tan(x)] n'a rien à voir avec la fonction x|-> F(x) et donc la dérivée est tout à fait différente.

Je te laisse revoir la dérivée de la fonction f o g lorsqu'on sait que f et g sont dérivables.

Je ne m'étais pas rendu compte que c'était une fonction composée, j'ai repris mon calcul et cela me donne sa :

h(x) = F(tan(x)) - x

h'(x) = g'(x)*f'(g(x)) - 1

h'(x) = (1+tan²(x))/(1+tan²(x)) - 1

h'(x) = 0 donc h est constante et on a bien F(tan(x)) = x

Pour la question 4 je ne vois pas trop comment traiter cette question mais j'ai essayer sa :

tan x = 1 <=> F(tan x) = F(1) <=> F'(tan x) = F'(1) <=> 1 = F'(1) <=> F(1) = x

Je ne pense pas que sa soit bon mais je ne vois pas de quel autre manière je pourrais m'y prendre...

Merci

Bonsoir,

Je suis d'accord sur le fait que les fonctions ont des dérivée opposée mais pourquoi écrivais-tu la même dérivée ?

La dérivée de la fonction x|->F(-x) est x|-> - F'(-x) mais le "-" n'apparaissait nul part dans tes calculs et cela te posait des soucis pour conclure.

La dérivée de ta fonction auxiliaire h est exacte maintenant et ta conclusion est donc laquelle ?
Pour tout réel x, on a: F(tan(x)) = ?

Cela pourrait peut-être t'aider. Tu as peut-être un petit soucis dans la forme de la réponse mais d'après toi F(1) va être de quelle forme ? Est-ce qu'il s'agira d'une valeur donnée ou d'une variable ? Il n'y a pas à passer par la dérivation, il suffit juste de passer par l'application de la fonction F sur l'égalité et d'utiliser la question précédente.

Bon courage pour la suite!

Citation :

La dérivée de ta fonction auxiliaire h est exacte maintenant et ta conclusion est donc laquelle ?
Pour tout réel x, on a: F(tan(x)) = ?

On a pour tout x réel : F(tan x) - x = k <=> F(tan x) = x + k (avec k réel)

Donc on a :

tan x = 1

F(tan x) = F(1)

x + k = F(1)

Citation :

Cela pourrait peut-être t'aider. Tu as peut-être un petit soucis dans la forme de la réponse mais d'après toi F(1) va être de quelle forme ? Est-ce qu'il s'agira d'une valeur donnée ou d'une variable ?

Je pensais que F(1) serai une valeur donnée et non une variable mais je trouve que F(1) = x + k donc est une variable...

Sachant la valeur de F en 0, peut-être qu'il est possible de connaître la valeur de k.

En fait, tu as oublié une donnée non négligeable de notre problème qui est dans l'énoncé et qui définit justement la fonction F. Il s'agit d'une primitive d'une fonction ! Par conséquent, F est une fonction. Cependant, ici, on nous demande de résoudre d'abord l'équation tan(x)=1 avant de calculer F(1). Car ici, F(1)=x n'est pas une réponse fausse mais le x n'est pas une variable ici en fait. En effet, il s'agit du x tel que l'égalité tan(x)=1 soit vérifiée. Il faut donc expliciter cette valeur là.

En espérant que l'exercice en lui même est plus clair ainsi en tout cas.

Bon courage pour conclure !

Comme F(0) = 0 on peut en déduire que k = 0

Citation :

En fait, tu as oublié une donnée non négligeable de notre problème qui est dans l'énoncé et qui définit justement la fonction F. Il s'agit d'une primitive d'une fonction ! Par conséquent, F est une fonction. Cependant, ici, on nous demande de résoudre d'abord l'équation tan(x)=1 avant de calculer F(1). Car ici, F(1)=x n'est pas une réponse fausse mais le x n'est pas une variable ici en fait. En effet, il s'agit du x tel que l'égalité tan(x)=1 soit vérifiée. Il faut donc expliciter cette valeur là.

Donc si c'est le x telle que tan(x)=1 sa veut dire que F(1) = 1 ??? En remplaçant le x par 1 dans F(1) = x

Quelle est la valeur de x pour que tan(x)=1 ?

Je ne pense pas que Tan(1) soit égale à 1.

Je te laisse revoir ce calcul/raisonnement.

La dernière question relève de la définition d'une intégrale.

Bon courage!

Non je me suis trompé, c'est tan(pi/4) qui est égale a 1. Donc on a F(1) = pi/4 n'est-ce pas ?

Exact !!!!

Il ne te reste plus qu'à interpréter tout cela pour conclure le problème dans sa globalité.

A titre culturel, ce que tu viens de calculer est ce qu'on appelle l'arctangente de 1. Car tout comme il existe des arccos et des arcsin (respectivement cos^1 et sin^-1 qu'on appelle aussi les fonctions réciproques des fonctions cosinus et sinus), la fonction tan a aussi sa réciproque qui est Arctan (elle permet de passer justement de R à ]-π/2;π/2[ ). Et même mieux encore ici, tu as réussi à donner une définition à cette fonction comme étant la primitive de la fonction f qui s'annule en 0 ce qui lui donne une autre définition que la simple fonction réciproque de la fonction tangente.

Bonne continuation!

Bonsoir,

Je n'arrive pas a résoudre la dernière question.

Je sais qu'il faut utiliser une intégrale mais je n'arrive pas a déterminer les bornes de celle-ci.

Je sais qu'une borne est 1 mais pour l'autre je n'ai aucune idée. Peut-être cela donne une intégrale de ce style la par exemple :

∫(de -∞ a 1) f(x) dx

Merci

Bonsoir,

Nous n'allons pas aller jusqu'à l'infini pour cette intégrale car elle va être bornée par l'axe des abscisses et la courbe (C).

En effet, notre primitive s'annule en 0 d'après l'hypothèse F(0)=0.

Du coup, comment s'écrit cette primitive ? Ou différemment, que vaut sous la forme d'une intégrale F(x) pour toutes les valeurs réelles de x?
Enfin, si on borne cette intégrale à 1, cela revient à calculer quelle image par la fonction F ?

Bon courage pour la conclusion de ton exercice !

[quote]En effet, notre primitive s'annule en 0 d'après l'hypothèse F(0)=0.

Du coup, comment s'écrit cette primitive ? Ou différemment, que vaut sous la forme d'une intégrale F(x) pour toutes les valeurs réelles de x?

Citation :

r tout x réelles, F(x) = x

[quote]Enfin, si on borne cette intégrale à 1, cela revient à calculer quelle image par la fonction F ?

C'est l'image de tan pi/4

J'ai pas très bien donc l'intégrale c'est : ∫(de x a 1) f(x) dx ???

Merci

Je ne suis pas d'accord avec l'écriture de F(x) vu qu'elle s'écrire sous la forme d'une intégrale à la base.

Il s'agit de l'intégrale de 0 à x de notre fonction f tout simplement. En effet, cette intégrale s'écrirait bien F(x) - F(0) (différence entre la borne sup de l'intervalle et la borne inf de l'intervalle de la primitive de f).
Mais vu que F(0)=0, nous retrouvons exactement que F(x)=Int [0;x] f(x)dx

Est-ce que la définition de la primitive est bien comprise ainsi ?

Du coup, l'aire que nous cherchons n'est pas l'intégrale de x à 1 mais ?

Bon courage!

Citation :

Du coup, l'aire que nous cherchons n'est pas l'intégrale de x à 1 mais ?

celle de 0 à x ?

Bon c'est pas grave je vais d'abord allez revoir le cours sur les intégrales et primitives car c'est un peu flou pour moi encore...

Merci

Relis la totalité de l'exercice, il y a une cohérence à la totalité des questions qui t'a échappé pour l'instant j'ai j'impression.

La dernière question est en fait la seule question de l'exercice et toutes les autres te permettent d'arriver à répondre à la dernière si tu arrives à bien comprendre le cheminement suivi.

Bon courage!

Bonjour,

Alors pour la dernière question j'ai essayé ceci :

∫(0 a 1)f(x) dx = [F(x)](0 a 1)

= F(1) - F(0)

= pi/4

Alors ???

Bonsoir,

C'est excellent ! En effet, l'intégrale de 0 à 1 de f est bien égale à l'aire algébrique sous la courbe jusqu'à la droite x=1.

Bonne continuation!